ФЭНДОМ


  • Страница 0 - название энциклопедической статьи.
  • Страницы 1, ... - доп. материал, связанный с энциклопедической статьей, указывать в "Ссылки".
  • Страница: инфо , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25

Уточнение первого закона Кеплера и функция разделения Править

Kepler

Иоганн Кеплер. Сайт http://www.vestnik.com

Рассмотрим взаимодействие двух тел массами m1 и m2 при условии, что m1 < m2. Как известно из классической механики, при обращении этих тел вокруг центра масс (ЦМ) они совершают движение по окружностям разного радиуса: m1 - r1, m2 - r2 (грубое приближение). Также известно, что отношение центростремительных ускорений (a1 / a2) прямо пропорционально отношению их расстояний до ЦМ (r1 / r2) и обратно пропорционально отношению их масс (m2 / m1):

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{r_1}{r_2}, \frac{a_1}{a_2} = \frac{m_2}{m_1} \Rightarrow \frac{m_2}{m_1} = \frac{r_1}{r_2} $ .

Кеплер при выводе своих трех законов сделал "несимметричный" переход от круговых орбит к [ http://ru.wikipedia.org/wiki/Эллипс эллиптическим]: Солнце S "остановил", а планету m "заставил" совершать эллиптическое движение вокруг Солнца, поместив Солнце в одном из фокусов - в точке F.

Ввиду того, что массы планет во много раз меньше массы Солнца ЦМ ≈ F ≈ S - совпадение трех точек.

Логичнее (= симметричнее) было бы "заставить" и Солнце двигаться по эллипсу вокруг центра масс. Тогда первый закон Кеплера несколько видоизменяется:

планета и Солнце двигаются вокруг центра масс по внешнему и внутреннему эллипсам:

  • левый фокус внешнего эллипса - афелий внутреннего эллипса;
  • центр масс - в правом фокусе внутреннего эллипса.

Следует здесь указать, что эллипсы Солнца и планеты находятся в одной плоскости. Точки O1, ЦМ и O2 могут и совпадать. Такое изменение первого закона Кеплера ведет к очередному пересмотру второго и третьего законов Кеплера.

Рассмотрим вывод двух полезных соотношений, вытекающих из уточненного первого закона Кеплера. На рисунке "Элементы орбит двух взаимодействующих тел" следующие обозначения:

  • внешний эллипс с параметрами a1 (большая полуось), e1 (эксцентриситет);
  • внутренний эллипс с параметрами a2 (большая полуось), e2 (эксцентриситет);
  • центр масс с параметрами r1, r2 (расстояния от масс m1 и m2 до центра масс), e3 = m1 / m2 (можно трактовать как эксцентриситет центра масс), m1 < m2.

Для этих параметров можно составить следующие уравнения:

  • r1 + r2 = a1 (1 + e1);
  • m1 / m2 = r2 / r1 = e3;
  • a2(1 + e2) = r2.

Путем несложных преобразований с ними можно получить соотношение:

$ \frac{a_2}{a_1} = \frac{e_3}{1 + e_3} \frac{1 + e_1}{1 + e_2} . $

Если e1, e2 ≈ 0 или e1, e2 << 1, то

$ \frac{a_2}{a_1} = e_3 . $
$ \frac{a_2}{a_1} = \frac{e_3}{1 + e_3} $

Такой случай применялся при выводе аномального магнитного момента электрона (a1 → a0, a2 → rp, e3 = me / mp).

Ris 23

К следствиям первого закона Кеплера

Рассмотрим вывод второго соотношения. Пусть орбиты тел m1 и m2 (эллипсы) рассматриваются по отношению к плоскости XOY, проходящей через центр масс (ЦМ). Начало системы координат - точка O - совпадает с центром масс. Тогда i - угол наклона плоскостей орбит m1 и m2 относительно XOY.

Как известно из ОТО, эллиптические орбиты тел вращаются в пространстве вокруг оси Z, т.е. перицентры и апоцентры орбит m1 и m2 совершают вращение. Точки A и E описывают в пространстве окружности разного диаметра или, иными словами, образуются плоскости апоцентра (верхняя плоскость - пунктирная овальная линия с радиусом KE) и перицентра (нижняя плоскость - пунктирная овальная линия с радиусом CD). Каждая точка орбиты m1 совершает колебательное движение по боковой поверхности усеченного конуса. Обозначим угол между образующей конуса ED и прямой EB (EB || OZ, EB - нормаль к плоскостям апоцентра и перицентра) через α.

Найдем связь между углами i и α.

$ \operatorname{tg\alpha} = \frac{BD}{EB} . $
BD = AB - AD, AB = 2 a1 cos i, AD = 2 AC = 2 (2 a1 - r1) cos i.
BD = 2 a1 cos i - 2 (2 a1 - r1) cos i.
EB = 2 a1 sin i.

Тогда (для удобства записи: i = ι(йота))

$ \operatorname{tg\alpha} = \frac{2 a_1 \cos \iota - 2 (2 a_1 - r_1) \cos \iota}{2 a_1 \sin \iota} = \frac{a_1 \cos \iota - (2 a_1 - r_1) \cos \iota}{a_1 \sin \iota} = \frac{(r_1 - a_1) \cos \iota}{a_1 \sin \iota} = \frac{1}{\operatorname{tg \iota}} (\frac{r_1}{a_1} - 1). $

Учитывая уравнения:

  • $ r_1 + r_2 = a_1 (1 + e_1) $;
  • $ r_2 = a_2 (1 + e_2) $;
  • $ r_1 = \frac{m_2}{m_1} r_2 $;
  • $ \frac{a_2}{a_1} = \frac{e_3}{1 + e_3} \frac{1 + e_1}{1 + e_2} $

и после несложных преобразований находим:

$ \frac{r_1}{a_1} = \frac{1 + e_1}{1 + e_3} $.

Подставляя это выражение в уравнение для tg α, получаем:

$ \operatorname{tg \alpha} = \frac{1}{\operatorname{tg \iota}} (\frac{1 + e_1}{1 + e_3} - 1). $

После преобразования приходим к уравнению:

$ \operatorname{tg \alpha} \operatorname{tg \iota} = \frac{e_1 - e_3}{1 + e_3}. $

Напомним, что углы α и i (ι) меняются от и до 90°.

Найдем условие устойчивости орбиты тела m1 (= планетной орбиты). Введем дополнительные условия: Ω - угловая скорость вращения тела m1 по орбите, ω1 ≈ 0 - начальная угловая скорость всей массы облака - глобулы. Вращение тела m1 вокруг m2 (точнее - вокруг центра масс) происходит под действием силы тяготения F. Так как тело m1 вращается вокруг ядра (≈центр масс), значит, оно обладает кинетической и потенциальной энергиями относительно ядра. Ядро - первый нулевой уровень для вращающихся тел.

Глобула находится в плоскости диска Галактики. Поэтому в качестве второго нулевого уровня необходимо принять эту плоскость диска Галактика. В итоге мы имеем два нулевых уровня: образующееся ядро глобулы и плоскость диска Галактики. В случае Солнечной системы нулевой уровень (плоскость) почти совпадает с плоскостью эклиптики.

Ось Z - ось вращения вещества глобулы. ЦМ (≈ ядро глобулы) - первый нулевой уровень (= нулевая точка). Плоскость XOY (≈ плоскость диска Галактики) - второй нулевой уровень (= нулевая плоскость).

Наглядный пример: ванна с водой и с закрытым отверстием на дне. Когда отверстие закрыто пробкой - нулевой уровень = плоскость дна. После открывания отверстия - нулевой уровень = отверстие. Какое-то время они (нулевые уровни) сосуществуют вместе.

Пусть тело m1 находится в точке E (апоцентр). Вследствие вращения перицентра и апоцентра можно сказать, что на m1 действует сила F(ω) в плоскости апоцентра. ω - угловая скорость вращения апоцентра (относительно точки K). Определим проекции силы тяготения F, действующей на m1. Первую проекцию находим вдоль направления F(ω) - она все время параллельна нулевой плоскости. Обозначим ее F1. Вторую проекцию рассматриваем вдоль образующей ED усеченного конуса - F2.

Тогда условие устойчивости орбиты:

M1 = M2 (вращающие моменты в точке E).
M1 = (F(ω) + F1)(K - ЦМ).
F(ω) = m1 ω12 KE. F1 = F cos i. KE = r1 cos i. (K - ЦМ) = r1 sin i.

Получаем:

$ M_1 = (m_1 \omega^2 KE + F \cos \iota) r_1 \sin \iota = (m_1 \omega^2 r_1 \cos \iota + F \cos \iota) r_1 \sin \iota = (m_1 \omega^2 r_1^2 + F r_1) \sin \iota \cos \iota = (m_1 \omega^2 r_1^2 + F r_1)\frac{\sin 2\iota}{2}. $

Аналогично находим и M2:

M2 = F2 (ЦМ - L).
F2 = F sin (α + i). ЦМ - L = r1 cos (α + i).

Тогда

$ M_2 = F \sin (\alpha + \iota) r_1 \cos (\alpha + \iota) = F r_1 \frac{\sin 2(\alpha + \iota)}{2}. $

Получаем:

$ (m_1 \omega^2 r_1^2 + F r_1) \frac{\sin 2 \iota}{2} = F r_1 \frac{\sin 2(\alpha + \iota)}{2} $.

Упрощение:

$ (m_1 \omega^2 r_1 + F) \sin 2 \iota = F \sin 2 (\alpha + \iota) $.

Окончательно имеем:

$ (\frac{m_1 \omega^2 r_1}{F} + 1) \sin 2\iota = \sin 2(\alpha + \iota) $.

Производим замену m1 r1 / F, где F - сила притяжения между телами m1 и m2:

$ F = \gamma \frac{m_1 m_2}{R^2} $.

Принимаем R = aср (среднее расстояние) между m1 и m2 . Расстояние между m1 и m2 в апоцентре:

$ A = r_1 + r_2 = a_1 (1 + e_1) $.

Расстояние между m1 и m2 в перицентре (АМ):

$ P = a_1(1 - e_1) + 2 a_2 $.

Отсюда следует среднее расстояние между m1 и m2:

aср = $ \frac{A + P}{2} = \frac{a_1(1 + e_1) + a_1(1 - e_1) + 2 a_2}{2} = \frac{a_1 + a_1 e_1 + a_1 - a_1 e_1 + 2 a_2}{2} = \frac{2 a_1 + 2 a_2}{2} = a_1 + a_2 $.
aср = $ a_1 + a_2 = a_1 + a_1 \frac{e_3}{1 + e_3} \frac{1 + e_1}{1 + e_2} = a_1(1 + \frac{e_3}{1 + e_3} \frac{1 + e_1}{1 + e_2}) $.

Тогда получаем:

F = γ m1 m2 / aср2 = $ \gamma \frac{m_1 m_2}{a_1^2(1 + \frac{e_3}{1 + e_3} \frac{1 + e_1}{1 + e_2})^2} $

или

$ F = \gamma \frac{m_1 m_2}{a_1^2(1 + \frac{e_3}{1 + e_3} \frac{1 + e_1}{1 + e_2})^2} $.

Продолжаем далее:

$ \frac{m_1 r_1}{F} $ = m1 r1 / [γ m1 m2 / aср2] = aср2 $ \frac{r_1}{\gamma m_2} $.
aср2 r1 = $ a_1 (1 + \frac{e_3}{1 + e_3} \frac{1 + e_1}{1 + e_2})^2 r_1 $.

Используя ранее выведенное

$ r_1 = a_1 \frac{1 + e_1}{1 + e_3} $,

получим:

aср2 r1 = $ a_1^3 (1 + \frac{e_3}{1 + e_3} \frac{1 + e_1}{1 + e_2})^2 \frac{1 + e_1}{1 + e_3} $.

Замена:

$ B = (1 + \frac{e_3}{1 + e_3} \frac{1 + e_1}{1 + e_2})^2 \frac{1 + e_1}{1 + e_3} $ ≠ 0.

Тогда

aср2 r1 = $ B a_1^3 $ и r1 aср2 / γ m2 = $ \frac{B a_1^3}{\gamma m_2} $.

С другой стороны имеем:

F = γ m1 m2 / aср2 и F = m1 v12 / aср.
γ m1 m2 / aср2 = m1 v12 / aср.

Откуда

v1 = (γ m2 / aср)1/2.

Период:

T = 2 π aср / v1 = 2 π aср / (γ m2 / aср)1/2 = 2 π (aср3 / γ m2)1/2

или

T2 = 4 π2 aср3 / γ m2.

Угловая скорость тела m1 по орбите:

$ \Omega = \frac{2 \pi}{T} $ или $ \Omega^2 = \frac{4 \pi^2}{T^2} $ = 4 π2 / (4 π2 aср3 / γ m2) = γ m2 / aср3.

Получаем

aср3 / γ m2 = $ \frac{1}{\Omega^2} $.

Подставляем вместо aср и имеем:

aср3 / γ m2 = $ \frac{a_1^3(1 + \frac{e_3}{1 + e_3}\frac{1 + e_1}{1 + e_2})^3}{\gamma m_2} = \frac{1}{\Omega^2} $

или

$ \frac{a_1^3}{\gamma m_2} = \frac{1}{(1 + \frac{e_3}{1 + e_3}\frac{1 + e_1}{1 + e_2})^3}\frac{1}{\Omega^2} $.

Тогда находим:

$ \frac{B a_1^3}{\gamma m_2} = \frac{(1 + \frac{e_3}{1 + e_3}\frac{1 + e_1}{1 + e_2})^2\frac{1 + e_1}{1 + e_3}}{(1 + \frac{e_3}{1 + e_3}\frac{1 + e_1}{1 + e_2})^3} \frac{1}{\Omega^2} = \frac{1 + e_1}{(1 + e_3)(1 + \frac{e_3}{1 + e_3}\frac{1 + e_1}{1 + e_2})}\frac{1}{\Omega^2} = B'\frac{1}{\Omega^2} $,

где

$ B' = \frac{1 + e_1}{(1 + e_3)(1 + \frac{e_3}{1 + e_3}\frac{1 + e_1}{1 + e_2})} $ ≠0.

Окончательно следует

$ (B'\frac{\omega^2}{\Omega^2} + 1) \sin 2\iota = \sin 2(\alpha + \iota) $.

Рассмотрим полученные уравнения:

  • $ (B'\frac{\omega^2}{\Omega^2} + 1) \sin 2\iota = \sin 2(\alpha + \iota) $,
  • $ \operatorname{tg \alpha} \operatorname{tg \iota} = \frac{e_1 - e_3}{1 + e_3} $,
  • $ \frac{a_2}{a_1} = \frac{e_3}{1 + e_3} \frac{1 + e_1}{1 + e_2} $.

Второе и третье уравнения более "бедные", т.е. они более простые и содержат меньше величин, что, в конечном итоге, дает меньше пищи для размышлений.

Проанализируем более подробно первое уравнение и назовем его функцией разделения.

Примечания Править

Ссылки Править

См. также-Литература Править

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA , если не указано иное.