ФЭНДОМ


  • Страница 0 - название энциклопедической статьи.
  • Страницы 1, ... - доп. материал, связанный с энциклопедической статьей, указывать в "Ссылки".
  • Страница: инфо , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25

Итак, вначале взаимодействия не было - у тела m кинетическая энергия K и потенциальная энергия П равны 0. Энергия связи также Eсв = 0, так как системы M ↔ mc нет. Тело обладает только E0 ≠ 0 (собственная энергия тела). Тогда полная энергия Eполн' тела m (вводя штрих для первого состояния):

Eполн' = K' + П' + E0 + Eсв' .

В Солнечной же системе (зона взаимодействия) тело m обладает уже как кинетической K, так и потенциальной П энергиями относительно Mc (ЦМ), а также собственной энергией E0. Если тела взаимодействуют гравитационно, то по первому закону Кеплера Mc и m станут двигаться вокруг центра масс (ЦМ). Тогда полная энергия Eполн' ' (два штриха - второе состояние) тела m будет равна:

Eполн' ' = K' ' + П' ' + E0 + Eсв' ' ,

где

Кинетическая энергия K, потенциальная энергия П и энергия связи Eсв обусловлены взаимодействием тел.

Согласно закону сохранения и превращения энергии для замкнутой Вселенной:

Eполн' = Eполн' '

или

K' + П' + E0 + Eсв' = K' ' + П' ' + E0 + Eсв' ' .

Учитывая, что K' = П' = Eсв' = 0, получаем:

0 = K' ' + П' ' + Eсв' ' .

Откуда

Eсв' ' = - (K' ' + П' ') .

Так как в системе два тела, то энергия связи распределяется между m и Mc поровну. Энергия связи, приходящаяся на одно тело:

Eсв = Eсв' ' / 2 = - (K' ' + П' ') / 2 .

Опуская штрихи, получаем:

Eсв = - (K + П) / 2 .

Зная энергию связи Eсв, нетрудно рассчитать соответствующую ей массу - "добавочную" массу:

Δm = Eсв / c2 = - (K + П) / 2 c2 .

Солнечная система - гравитационное поле Править

Eсв = $ - \frac{1}{2} (K + \Pi) = - \frac{1}{2} (\frac{m v^2}{2} - \frac{\gamma M_c m}{r}) = \frac{1}{2} (\frac{\gamma M_c m}{r} - \frac{m v^2}{2}) . $
$ \Delta m = \frac{1}{2 c^2} (\frac{\gamma M_c m}{r} - \frac{m v^2}{2}) . $

Для Меркурия (n = 1, r = 58 млн. км, m = 3,3×1023 кг, v = 48 км/с):

$ \frac{\gamma M_c m}{2 c^2 r} = \frac{6,7\times10^{-11}\times1,9\times10^{30}\times3,3\times10^{23}}{2\times(3\times10^8)^2\times5,8\times10^{10}} = 4,0\times10^{15} $ (кг);
$ \frac{1}{4} m (\frac{v}{c})^2 = \frac{1}{4} \times 3,3 \times 10^{23} \times (\frac{4,8 \times 10^4}{3 \times 10^8})^2 = 2,1 \times 10^{15} $(кг).

В общем же случае Π = 2|K|. Если Eсв = 0, то

$ \frac{\gamma M_c m}{2 c^2 r} - \frac{1}{4} m (\frac{v}{c})^2 = 0 . $

Откуда

vэл (= v) = $ \sqrt{\frac{2 \gamma M_c}{r}} = \sqrt{2} v' , $

где

Так как П = 2|K|, то

Eсв $ = \frac{\gamma M_c m}{4 r} $

и

$ \Delta m = \frac{\gamma M_c m}{4 c^2 r} $ - "добавочная" масса для Солнца и планет.

Истинные значения масс Солнца и планет тогда равны:

$ M_c' = M_c + \Delta m = M_c + \frac{\gamma M_c m_n}{4 c^2 r} ; $
$ m_n' = m_n + \Delta m = m_n + \frac{\gamma M_c m_n}{4 c^2 r} . $

Следовательно, в точных расчетах по Солнечной системе эти добавки необходимо учитывать.

Стоит добавить еще, что если добавки Δ m к массам m и Mc не учитывать, т.е. Δ m = 0, то получается закон всемирного тяготения Ньютона:

$ F = \gamma \frac{(M_c + \Delta m)(m + \Delta m)}{r^2} \Rightarrow F = \gamma \frac{M_c m}{r^2} . $

Атом водорода - электромагнитное поле Править

Eсв = $ - \frac{1}{2} (K + \Pi) = - \frac{1}{2} (\frac{m v^2}{2} - \frac{k' e^2}{r}) = \frac{1}{2} (\frac{k' e^2}{r} - \frac{m v^2}{2}) . $
$ \Delta m = \frac{1}{2 c^2} (\frac{k' e^2}{r} - \frac{m v^2}{2}) = \frac{k' e^2}{2 c^2 r} - \frac{1}{4} m (\frac{v}{c})^2 . $

Для электрона (n = 1, a0 = 5,3×10−11 м, v0 = α c = 2,1×106 м/с, me = 9,1×10−31 кг, e = 1,6×10−19 Кл) получаем:

$ \frac{1}{4} m (\frac{v}{c})^2 = \frac{1}{4} m_e \alpha^2 = \frac{1}{4} \times 9,1 \times 10^{-31} \times (7,3 \times 10^{-3})^2 = 1,2 \times 10^{-35} $ (кг) .

Такое выражение использовалось в вычислениях аномального магнитного момента электрона (АММЭ).

$ \frac{k' e^2}{2 c^2 r} = \frac{9 \times 10^9 \times (1,6 \times 10^{-19})^2}{2 \times (3 \times 10^8)^2 \times 5,3 \times 10^{-11}} = 2,4 \times 10^{-35} $ (кг) .

В общем же случае Π = 2|K|. Если Eсв = 0, то

$ \frac{k' e^2}{2 c^2 r} - \frac{1}{4} m_e (\frac{v}{c})^2 = 0 . $

Откуда

vэл (= v) = $ \sqrt{\frac{2 k' e^2}{m_e r}} = \sqrt{2} v' , $

где

Так как П = 2|K|, то

Eсв $ = \frac{1}{4} m v^2 $

и

$ \Delta m = \frac{1}{4} m (\frac{v}{c})^2 = \frac{1}{4} m_e \alpha^2 $ .

Тогда истинные значения масс протона и электрона равны:

$ m_p' = m_p + \Delta m = m_p + \frac{1}{4} m_e \alpha^2 , $
$ m_e' = m_e + \Delta m = m_e + \frac{1}{4} m_e \alpha^2 . $

Именно эти формулы применяются при вычислении аномального магнитного момента электрона (АММЭ). Гравитационной "добавкой" γ mp me / 4 c2 r ~ 10−75 кг можно пренебречь. В атоме водорода Δ m создается за счет кинетической и потенциальной энергий, которые, в свою очередь, "получаются" из окружающей атом водорода электромагнитной энергии. Добавка со стороны магнитного поля (МП) также мала и поэтому здесь не рассматривалась.

Третий закон Кеплера с учетом уточненного первого закона Кеплера Править

Ris 29

Геометрическая иллюстрация уточненного первого закона Кеплера

Пояснения к рисунку:

Рассматриваем движение планеты m1 относительно Солнца Mc как движение планеты m1 относительно ЦМ:

  • $ M_c' = M_c + \Delta m = M_c + \frac{\gamma M_c m_1}{4 c^2 r} ; $
  • $ m_1' = m_1 + \Delta m = m_1 + \frac{\gamma M_c m_1}{4 c^2 r} . $

Следовательно, с одной стороны, сила притяжения между Mc' и m1' равна:

Fгр $ = \gamma \frac{M_c' m_1'}{a_{cp}^2} = \gamma \frac{(M_c + \gamma \frac{M_c m_1}{4 c^2 r})(m_1 + \gamma \frac{M_c m_1}{4 c^2 r})}{a_{cp}^2} = \gamma \frac{M_c m_1}{a_{cp}^2}(1 + \frac{\gamma m_1}{4 c^2 r})(1 + \frac{\gamma M_c}{4 c^2 r}) , $

где aср - среднее расстояние между Mc и m1 (= r1 = r). С другой стороны:

F $ = \frac{(m_1 + \frac{\gamma M_c m_1}{4 c^2 r})v_{1 cp}^2}{a_{cp}} = \frac{m_1 v_{1 cp}^2}{a_{cp}} (1 + \frac{\gamma M_c}{4 c^2 r}) , $

где v1 cp - средняя скорость планеты на орбите. Эту скорость найдем с помощью уравнения

$ v_{1 cp} = \frac{\pi (a_1 + b_1)}{T_1} = \frac{\pi a_1 (1 + \sqrt{1 - e_1^2})}{T_1} , $

где T1 - звездный период обращения планеты относительно ЦМ, e1 - эксцентриситет внешнего эллипса. Согласно ранее выведенной формуле

$ a_{cp} = a_1 + a_2 = a_1 (1 + \frac{e_3}{1 + e_3} \frac{1 + e_1}{1 + e_2}) , $

где e3 = m1 / Mc , e2 - эксцентриситет внутреннего эллипса. Тогда

$ v_{cp}^2 = \frac{\pi^2}{T_1^2} a_1^2 (1 + \sqrt{1 - e_1^2})^2 . $

Далее имеем

Fгр = F

или

$ \gamma \frac{M_c m_1}{a_{cp}^2} (1 + \frac{\gamma m_1}{4 c^2 r}) (1 + \frac{\gamma M_c}{4 c^2 r}) = \frac{m_1 v_{1 cp}^2}{a_{cp}} (1 + \frac{\gamma M_c}{4 c^2 r}) . $

После сокращений:

$ \frac{\gamma M_c}{a_{cp}} (1 + \frac{\gamma m_1}{4 c^2 r}) = v_{1 cp}^2 . $

Члены

$ \frac{\gamma M_c}{4 c^2 r} , \frac{\gamma m_1}{4 c^2 r} $

для Солнца и планет находятся в интервале 10−8 - 10−11. Эти члены можно не учитывать и тогда, продолжая, получаем:

$ \frac{\gamma M_c}{a_1 (1 + \frac{e_3}{1 + e_3} \frac{1 + e_1}{1 + e_2})} = \frac{\pi^2}{T_1^2} a_1^2 (1 + \sqrt{1 - e_1^2})^2 $

или

$ \frac{\gamma M_c T_1^2}{\pi^2} = a_1^3 (1 + \frac{e_3}{1 + e_3} \frac{1 + e_1}{1 + e_2}) (1 + \sqrt{1 - e_1^2})^2 . $

По аналогии для системы Mc ↔ m2 имеем (штрих введен для второй планеты m2):

$ \frac{\gamma M_c T_2^2}{\pi^2} = a_2^3 (1 + \frac{e_3'}{1 + e_3'} \frac{1 + e_1'}{1 + e_2'}) (1 + \sqrt{1 - e_1'^2})^2 , $

где

  • e3' = m2 / Mc ;
  • e1' и e2' - эксцентриситеты внешнего и внутреннего эллипсов планеты m2 и Солнца Mc .

Для упрощения дальнейших расчетов необходимо сделать ряд допущений:

  • движение Солнца в парах по отдельности (Mc ↔ m1 и Mc ↔ m2) и при совместном движении (Mc ↔ m1 ↔ m2) примерно одинаково - движение по эллипсу (в случае совместного движения Mc ↔ m1 ↔ m2, строго говоря, форма орбит - не эллипсы, а более сложные кривые) ;
  • слабое гравитационное взаимодействие между m1 и m2 (Fгр ≈ 0) .

Окончательно получаем:

$ (\frac{T_1}{T_2})^2 = (\frac{a_1}{a_2})^3 \frac{1 + \frac{e_3}{1 + e_3} \frac{1 + e_1}{1 + e_2}}{1 + \frac{e_3'}{1 + e_3'} \frac{1 + e_1'}{1 + e_2'}} (\frac{1 + \sqrt{1 - e_1^2}}{1 + \sqrt{1 - e_1'^2}})^2 . $

Если e1 = e2 (e1' = e2'), то 1 + e1 = 1 + e2 (1 + e1' = 1 + e2'). Учитывая, что e3 = m1 / Mc и e3' = m2 / Mc, имеем:

$ 1 + \frac{e_3}{1 + e_3} \frac{1 + e_1}{1 + e_2} = 1 + \frac{e_3}{1 + e_3} = \frac{1 + 2 e_3}{1 + e_3} = \frac{1 + 2 \frac{m_1}{M_c}}{1 + \frac{m_1}{M_c}} = \frac{M_c + 2 m_1}{M_c + m_1} , $
$ 1 + \frac{e_3'}{1 + e_3'} \frac{1 + e_1'}{1 + e_2'} = 1 + \frac{e_3'}{1 + e_3'} = \frac{1 + 2 e_3'}{1 + e_3'} = \frac{1 + 2 \frac{m_2}{M_c}}{1 + \frac{m_2}{M_c}} = \frac{M_c + 2 m_2}{M_c + m_2} . $

Тогда

$ (\frac{T_1}{T_2})^2 = (\frac{a_1}{a_2})^3 \frac{\frac{M_c + 2 m_1}{M_c + m_1}}{\frac{M_c + 2 m_2}{M_c + m_2}} (\frac{1 + \sqrt{1 - e_1^2}}{1 + \sqrt{1 - e_1'^2}})^2 $

или

$ (\frac{T_1}{T_2})^2 \frac{M_c + m_1}{M_c + m_2} = (\frac{a_1}{a_2})^3 \frac{M_c + 2 m_1}{M_c + 2 m_2} (\frac{1 + \sqrt{1 - e_1^2}}{1 + \sqrt{1 - e_1'^2}})^2 . $

Обозначая e1' как e2 , получаем окончательно:

$ \frac{T_1^2}{T_2^2} \frac{M_c + m_1}{M_c + m_2} = \frac{a_1^3}{a_2^3} \frac{M_c + 2 m_1}{M_c + 2 m_2} \frac{(1 + \sqrt{1 - e_1^2})^2}{(1 + \sqrt{1 - e_2^2})^2} . $

Для проверки рассматриваем это последнее уравнение и Таблицу 1. Производим вычисления и приходим к следующему результату:

Таблица 11

N
п/п
Меркурий-планета
e2 = 0,206
Проверяемая формулаАбсолютная погрешность
усл. ед.
Относительная погрешность
%
1 Венера
e1 = 0,007
6,25×1,0000022 = 5,83×1,0000042×1,02
6,25 = 5,94
- 0,31 4,0
2 Земля
e1 = 0,017
16,81×1,0000029 = 15,63×1,0000056×1,02
16,81 = 15,94
- 0,87 5,1
3 Марс
e1 = 0,093
60,84×1,0000001 = 59,32×1,0000003×1,01
60,84 = 59,91
- 0,93 1,5
4 Юпитер
e1 = 0,048
2401×1,0009552 = 2197×1,0019105×1,02
2403 = 2244
- 159 6,6
5 Сатурн
e1 = 0,054
14884×1,0002858 = 13824×1,0005717×1,01
14888 = 13969
- 919 6,1
6 Уран
e1 = 0,046
122500×1,0000436 = 112749×1,0000873×1,02
122505 = 115014
- 7492 6,1
7 Нептун
e1 = 0,008
470596×1,0000514 = 456533×1,0001003×1,02
470644 = 465709
- 4911 1,0
8 Плутон
e1 = 0,253
1065024×0,9999998 = 1061208×0,9999996×0,994
1065023 = 1055839
- 9184 0,8

Из сравнения всех известных и полученных формул третьего закона Кеплера следует, что самой оптимальной будет последняя формула. Увеличивать точность можно и далее, рассматривая дополнительные условия, но я ограничусь этой формулой.

Примечания Править

Ссылки Править

См. также-Литература Править

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA , если не указано иное.