ФЭНДОМ


  • Страница 0 - название энциклопедической статьи.
  • Страницы 1, ... - доп. материал, связанный с энциклопедической статьей, указывать в "Ссылки".
  • Страница: инфо , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25

Рис 13

Учет размера электрона в АММЭ

При наличии орбитальных скоростей протона и электрона эти 2 сферы уже не будут совпадать. Вначале по орбите будет двигаться гравитационная сфера (протон), а за ней - электромагнитная сфера.

Электромагнитную сферу за пределами гравитационной сферы назовём "призраком" электрона. "Призрак" электрона - электромагнитный виртуальный посредник между протоном и электроном.

В I положении точки электрона 1 и 2, испуская виртуальные фотоны, ограничивают поток виртуальных фотонов через центр масс (конус). В момент достижения ими электромагнитной сферы (точка В) сам электрон будет находиться во II положении.

Рассмотрим подробнее радиусы-векторы, связывающие эти две сферы и электрон.

Площадь, ометываемая радиусом-вектором $ \vec{r} $ (протон-электрон) распадается на:

  • площадь, ометываемую электромагнитным радиусом-вектором
$ \vec{r} $эл = $ \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BO_2} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{OB_2} , $
  • площадь, ометываемую гравитационным радиусом-вектором
$ \vec{r} $гр = $ \overrightarrow{AO_2} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OO_2} . $

Поэтому

S($ \vec{r} $) = S($ \vec{r} $эл) + S($ \vec{r} $гр) = S($ \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BO_2} $) + S($ \overrightarrow{AO_2} $).
Рис 13а

Знаки ометываемых площадей

В этом уравнении запись S($ \vec{r} $) означает:

  • площадь фигуры S, ометываемая радиусом-вектором $ \vec{r} $ при вращении вокруг какой-то точки (начала или конца этого вектора, вокруг произвольной точки и т.п.)

Ранее при вычислении площадей фигур, ометываемых радиусом-вектором (планетные и электронные орбиты) при вращении вокруг начала вектора, площади приписывался по умолчанию знак "+". Если тот же вектор будет описывать площадь фигуры при вращении вокруг конца этого вектора, то площадь необходимо брать со знаком "-". Наглядно это показано на рисунке.

"Призрак" электрона - виртуальный электромагнитный посредник между протоном и электроном. Поэтому $ \overrightarrow{BO_2} $ заменяется на $ \overrightarrow{O_2 B} $ и площадь, описываемая этим вектором, будет со знаком "-":

$ \vec{r} $эл = $ \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{O_2 B} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{O_2 B} $.

В случае протяженного электрона (re = α2 a0) необходимо учитывать и радиус-вектор самого электрона. Конец этого вектора - $ \vec{r_e} $ - описывает окружность (граница электрона). Вместо вектора $ \overrightarrow{O_2B} $ тогда будет, например, вектор $ \overrightarrow{1B} $. При вращении точки 1 вокруг электрона будут меняться и $ \overrightarrow{1B} $ и $ \vec{r_e} $. Ометываемая при этом фигура (приблизительно) - Δ 1B2, площадь которой вычисляется просто.

Рис 14

Протяженный электрон

В итоге тогда имеем:

S($ \vec{r} $) = S($ \vec{r} $эл) + S($ \vec{r} $гр) = S($ \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{O_2 B} $) + S($ \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{O O_2} $) = S($ \overrightarrow{AO} $) + S($ \overrightarrow{OB} $) - S($ \overrightarrow{O_2 B} $) + S($ \overrightarrow{AO} $) + S($ \overrightarrow{O O_2} $).

Площади S($ \overrightarrow{AO} $) ≈ S($ \overrightarrow{OB} $) ≈ 0 и их можно не учитывать. Остается:

S($ \vec{r} $) = S($ \overrightarrow{O O_2} $) - S($ \overrightarrow{O_2 B} $).

Для упрощения вычислений сделаем перенос точки B в точку A и получаем:

S($ \overrightarrow{OO_2} $) = 2 S(Δ O1 O 2) = 2 (1 / 2)a0 re = a0 re ,
S($ \overrightarrow{O_2 B} $) = 2 S(Δ A 2 O1) = 2 (1 / 2) (rp + a0)re = re (rp + a0) .

Окончательно имеем:

S($ \vec{r} $) = a0 re - re (rp + a0) = - re rp .

Двойка появилась в формулах потому, что Δ A 1 2 и Δ O 1 2 равнобедренные. Заменяя re = α2 a0 и rp = (me / mp) a0 , имеем:

S ($ \vec{r} $) = - α2 (me / mp) a02 .

Ранее в написанной формуле для АММЭ

μан / μБ = [Sэлл / π a02] + [S(FП1П2) / π a02] + [Sp / π a02] + [Se / π a02]

обозначение Se следует понимать как S($ \vec{r} $e):

Se = S($ \vec{r} $e) = - α2 (me / mp) a02 ,

где Se - площадь, описываемая радиусом-вектором электрона.

Подставляя вместо S (числители) соответствующие выражения, получаем:

μан / μБ = $ \frac{\pi a_0^2 \sqrt{1 - (\frac{m_e}{m_p})^2}}{\pi a_0^2} + \frac{\frac{\alpha}{2}a_0^2\frac{1}{1 + \frac{m_e}{m_p}}(1 - \frac{m_e}{m_p})^2}{\pi a_0^2} + \frac{\pi a_0^2(\frac{m_e}{m_p})^2}{\pi a_0^2 } - \frac{\alpha^2a_0^2 \frac{m_e}{m_p}}{\pi a_0^2} $.

Окончательно для АММЭ:

μан / μБ = $ \sqrt{1 - (\frac{m_e}{m_p})^2} + \frac{\alpha}{2 \pi} \frac{1}{1 + \frac{m_e}{m_p}}(1 - \frac{m_e}{m_p})^2 + (\frac{m_e}{m_p})^2 - \frac{\alpha^2}{\pi} \frac{m_e}{m_p} $ .
Рис 15

Геометрия атома водорода

Следует еще раз напомнить, что ранее в некоторых пунктах были рассмотрены движения электрона по различным орбитам с радиусами a0, r1', re и расчеты производились при 1 обороте вокруг соответствующего центра. Размеры на рисунке не соблюдены.

При рассмотрении движения электрона в электрическом поле протона за 1 полный оборот электрона происходит одновременное смещение электрона на угол α. Это смещение мы интерпретировали как "движение" электрона в магнитном поле протона по окружности радиуса r1'. Исходя из таких представлений, приходим к выводу T0 = T1' и r1' = α a0. Если re = α2 a0 или re = α r1', то и Te = T1'. T0, T1', Te - периоды обращений вокруг O1, O2, O3 ("Протяженный электрон").

Физический аспект Править

Упростим сначала вышенаписанную формулу для АММЭ. Так как me / mp << 1, то, применяя разложения в степенные ряды, имеем:

  • $ \sqrt{1 - x^2} = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{8}x^4 - ... , $
  • $ \frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^2 - ... , $

и, учитывая первые два члена, получаем:

μан / μБ = $ 1 - \frac{1}{2}(\frac{m_e}{m_p})^2 + \frac{\alpha}{2 \pi}(1 - \frac{m_e}{m_p})^3 + (\frac{m_e}{m_p})^2 - \frac{\alpha^2}{\pi} \frac{m_e}{m_p} . $

После раскрытия скобок и группировки следует:

μан / μБ = $ 1 + \frac{\alpha}{2 \pi} - \frac{\alpha}{2 \pi}(2 \alpha + 3)\frac{m_e}{m_p} + \frac{1}{2 \pi}(3 \alpha + \pi)(\frac{m_e}{m_p})^2 - \frac{\alpha}{2 \pi}(\frac{m_e}{m_p})^3 . $

Учитывая, что

$ \frac{\alpha}{2 \pi}(\frac{m_e}{m_p})^3 $ ~ 10−13

и приравнивая его к 0, получим окончательно:

μан / μБ = $ 1 + \frac{\alpha}{2 \pi} - \frac{\alpha}{2 \pi}(2 \alpha + 3) \frac{m_e}{m_p} + \frac{1}{2 \pi}(3 \alpha + \pi)(\frac{m_e}{m_p})^2 . $

Будем учитывать члены более высокого порядка и тогда получим:

$ 1 - \frac{1}{2}(\frac{m_e}{m_p})^2 + \frac{1}{8}(\frac{m_e}{m_p})^4 + \frac{\alpha}{2 \pi}[1 - \frac{m_e}{m_p} + (\frac{m_e}{m_p})^2](1 - \frac{m_e}{m_p})^2 + (\frac{m_e}{m_p})^2 - \frac{\alpha^2}{\pi} \frac{m_e}{m_p} . $

После раскрытия скобок, отбрасывания членов < 10−12 и группировки, имеем:

μан / μБ = $ 1 + \frac{\alpha}{2 \pi} - \frac{\alpha}{2 \pi}(2 \alpha + 3) \frac{m_e}{m_p} + \frac{1}{2 \pi}(4 \alpha + \pi)(\frac{m_e}{m_p})^2 . $

Физики из квантовой электродинамики и смежных разделов физики с большой гордостью приводят результат совпадения теоретических и экспериментальных значений для АММЭ как факт "прекрасного согласия" теории и эксперимента:

μтеор = 1,00115965237(28), μэкс = 1,00115965241(21).

Теоретическое значение здесь подсчитано по формуле:

μан / μБ = $ 1 + \frac{\alpha}{2 \pi} - 0,328478(\frac{\alpha}{\pi})^2 + 1,184175(\frac{\alpha}{\pi})^3 $

с учетом следующих значений для:

α = 7,29735321×10−3, π = 3,141592653589.

Вычисления дают (с точностью до 10−12):

1 + 0,001161409634 - 0,000001772300 + 0,000000014840 = 1,001159652374.

Наряду с этим значением α, в физике было получено более точное(?) значение: α = 7,2973506×10−3. Это значение не надо отбрасывать и не замечать. Если произвести вычисления по этой же формуле, то получим:

1 + 0,001161409419 - 0,000001772298 + 0,000000014840 = 1,001159651961.

Обозначим эти значения α через αmax и αmin: αmax = 7,29735321×10−3 , αmin = 7,2973506×10−3.

Так как связь между μан / μБ и α почти линейная, то подсчитаем среднее значение μан / μБ:

ан / μБ)ср = (1,001159652374 + 1,001159651961) / 2 = 1,001159652167

или ан / μБ)ср = 1,001159652167(±207), или ан / μБ)ср = 1,00115965216(±21).

Как видно, только верхняя граница (16 + 21 = 37) очень близка к экспериментальному значению 41. Пренебрегая ±21, можно сказать, что 16 далеко отстоит от 41.

Все дальнейшие вычисления будут вестись по αmax (верхняя граница и с учетом ±21).

Наличие квадратного корня в формуле для АММЭ накладывает дополнительные ограничения. Чтобы получить результат с точностью до 10−12, необходимо, чтобы выражение под квадратным корнем вычислялось с точностью до 10−24. Вычисления по этой формуле производились с точностью до 10−48(10−50), т.е. учитывались 48(50) цифр после запятой.

Неупрощенная формула

μан / μБ = $ \sqrt{1 - (\frac{m_e}{m_p})^2} + \frac{\alpha}{2 \pi} \frac{1}{1 + \frac{m_e}{m_p}}(1 - \frac{m_e}{m_p})^2 + (\frac{m_e}{m_p})^2 - \frac{\alpha^2}{\pi} \frac{m_e}{m_p} $

дает следующий результат в вычислениях:

0,999999851695 + 0,001159513640 + 0,000000296608 - 0,000000009231 = 1,001159652712

или 1,00115965250(±21).

Аналогично для формулы:

μан / μБ = $ 1 + \frac{\alpha}{2 \pi} - \frac{\alpha}{2 \pi}(2 \alpha + 3) \frac{m_e}{m_p} + \frac{1}{2 \pi}(4 \alpha + \pi)(\frac{m_e}{m_p})^2 $

имеем:

1 + 001161409834 - 0,000001906803 + 0,000000149681 = 1,001159652712

или 1,00115965250(±21).

Вышенаписанные упрощенные формулы и ряд других, и произведенные по ним вычисления дают право не применять их в дальнейшем, ибо они дают ступенчатое изменение цифр для АММЭ. Вычисления здесь велись, исходя из me / mp = 5,44617364×10−4.

Упростим формулу

μан / μБ = $ \sqrt{1 - (\frac{m_e}{m_p})^2} + \frac{\alpha}{2 \pi} \frac{1}{1 + \frac{m_e}{m_p}}(1 - \frac{m_e}{m_p})^2 + (\frac{m_e}{m_p})^2 - \frac{\alpha^2}{\pi} \frac{m_e}{m_p} , $

введя обозначение A = me / mp и получая физическую часть АММЭ. Тогда

μан / μБ =$ \sqrt{1 - A^2} + \frac{\alpha}{2 \pi} \frac{(1 - A)^2}{1 + A} + A^2 - \frac{\alpha^2}{\pi}A $ - геометрическая часть АММЭ.

Ранее произведенные вычисления предполагали, что me и mp - массы покоя электрона и протона. В действительности же, например, масса электрона другая. Согласно формуле v0 = α c, мы имеем скорость (при αmax) = 2187 км/с. Поэтому необходимо учитывать зависимость массы от скорости для движущегося электрона (СТО):

$ m_e = \frac{m_0(e)}{\sqrt{1 - \frac{v_0^2}{c^2}}} = \frac{m_0(e)}{\sqrt{1 - \frac{\alpha^2 c^2}{c^2}}} = \frac{m_0(e)}{\sqrt{1 - \alpha^2}} . $

Тогда в обозначении получаем:

$ A = \frac{m_0(e)}{m_p} \frac{1}{\sqrt{1 - \alpha^2}} . $

Масса протона изменяется мало и поэтому mp ≈ const, ибо vp << c. Оставим в обозначении A вместо m0(e) - me, подразумевая, что это масса покоя электрона.

$ A = \frac{m_e}{m_p} \frac{1}{\sqrt{1 - \alpha^2}} . $

Вычисления с учетом этой формулы дают:

0,999999851688 + 0,001159513589 = 0,000000296623 - 0,000000009231 = 1,001159652669

или 1,00115965245(±21).

Как было показано ранее, смещение электрона на первой боровской орбите в магнитном поле протона на угол α означает, что периядро (ближайшая точка эллиптической электронной орбиты в атоме водорода) вращается с какой-то скоростью. Скорость электрона при "вращении" в магнитном поле по окружности радиуса r1':

vм = α v0 = α2 c ≈ :16 км/с .

Скорость вращения периядра:

vм' = r1' / T0 = $ \frac{\frac{\hbar}{m c}}{\frac{2 \pi \hbar^3}{k'^2 e^4 m}} = \frac{e^4}{32 \pi^3 \epsilon_0^2 \hbar^2 c} = \frac{e^4}{16 \pi^2 \epsilon_0^2 \hbar^2 c^2}\frac{c}{2 \pi} = \frac{\alpha^2}{2 \pi} c $ ≈ 3 км/с .

Эта скорость много меньше vм, и поэтому зависимостью me(vм') можно пренебречь. Вместо vм' = α2 c / 2 π возьмем vм = α2 c в виду того, что:

  • 16 км/с >> 3 км/с;
  • запись vм = α2 c более простая.

Если вычисления для vм = α2 c дадут небольшое изменение в цифрах, то и, следовательно, для vм' = α2 c / 2 π - тем более, изменения будут еще меньше. Учтя эти условия, получим для массы электрона:

$ m_e = \frac{m_0(e)}{\sqrt{1 - \frac{(\alpha c + \alpha^2 c)^2}{c^2}}} = \frac{m_0(e)}{\sqrt{1 - \frac{\alpha^2 c^2(1 + \alpha)^2}{c^2}}} = \frac{m_0(e)}{\sqrt{1 - \alpha^2 (1 + \alpha)^2}} , $

где m0(e) - масса покоя электрона. Поэтому в обозначении будем иметь:

$ A = \frac{m_e}{m_p} \frac{1}{\sqrt{1 - \alpha^2 (1 + \alpha)^2}} . $

С учетом основной формулы (выведенной) для АММЭ вычисления дают следующий результат:

0,999999851687 + 0,001159513588 + 0,000000296624 - 0,000000009231 = 1,001159652668

или 1,00115965245(±21).

Изменения произошли в 12 знаке, и, значит, скорость vм' = α2 c / 2 π не играет большой роли. Эти изменения потребуются при сверхточных вычислениях. В дальнейшем вместо vм' = α2 c / 2 π будем пользоваться vм = α2 c.

Вычислим полную энергию электрона на первой боровской орбите. Она складывается из кинетической энергии движущегося электрона и потенциальной энергии взаимодействия протона и электрона:

E = K + П = (me v02 / 2) - (k'e2 / a0).

Учитывая, что $ v_0 = \alpha c , k' = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} , \alpha = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 \hbar c} , a_0 = \frac{\hbar^2}{k' e^2 m_e} $, получаем:

E = (me α2 c2 / 2) - me α2 c2 = - (1 / 2)me α2 c2 .

Примечания Править

Ссылки Править

См. также-Литература Править

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA , если не указано иное.