Наука:Песочница

Гипераналитическая функция

---

Итак, два величайших математика, а впоследствии и многочисленные физики, не увидели связи $\alpha$ с формулой (1). Простейшая гипотеза состоит в том, что у них не было персональных ЭВМ и алгоритмов длинной арифметики. Это действительно принципиально важно, потому что интеграл неберущийся, а работать надо с подинтегральной функцией, которая появляется после тождественного преобразования интеграла:

$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x}{\sigma})^{2}}dx=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-nL}{\sigma})^{2}}dx. \;\;\;(2)$ 

Более существенной причиной отсутствия интереса к правой части возможно было предположение, что она не интереснее левой. На самом деле справа находится уже совершенно новый математический объект - гипераналитическая функция, конкретный пример которой назовём решётчатой функции (РФ).

Таким образом, РФ есть

$\mathbb{R}(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-nL}{\sigma})^{2}}. \;\;\;(3)$

Рис. 1. График РФ.

Все расчёты проводились при значениях L=1 и $\sigma$ = 0.4992619105929628.

Для тех кто любит объяснение смысла любого математического преобразования можно сказать, что в результате преобразования (2) бесконечное количество частей непрерывной исходной функции размещаются без разрыва на отрезке [-0.5,0.5]. Тем самым создаётся возможность выполнить известный математический фокус - превратить полученную суммарную функцию в ряд Фурье (Барон Жан Батист Жозеф Фурье (21 марта 1768, Осер, Франция — 16 мая 1830, Париж)).

Однако, очевидно, что гипераналитическая функция не может быть разложена в ряд Фурье, так как она не интегрируется в элементарных функциях. В силу этого гипераналитическая функция не может быть разложена на чётную и нечётную функцию, в то время как произвольная аналитическая функция f может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций в интервале [a,b]:

$f(x)=g(x)+h(x)$, где $g(x)=\frac{f(x-a)-f(b-x)}{2}$, $h(x)=\frac{f(x-a)+f(b-x)}{2}$. 

Благодаря этому $\mathbb{R}(x)$ может быть разложена в бесконечный ряд по двум примитивным гипераналитическим функциям путём последовательных попыток разложения на чётную и нечётную функцию. Таким образом, гипераналитическая функция может быть формально разложена в как бы ряд Фурье самым простым способом, но в отличие от ортонормированного ряда Фурье полученный ряд таковым не является. Благодаря этому получаемое разложение демонстрирует необычные свойства, отсутствующие в ортонормированных пространствах.

Представляет интерес и второе свойство гипераналитических функций - высокая скорость сходимости коэффициентов разложения к нулю. Известно, что существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса $C^k$, а экспоненциальное — аналитическим функциям. Отсюда и следует возможность существования гипераналитических функций, для которых убывание коэффициентов Фурье по определению соответствует тетрации - следующему гипероператору после возведения в степень.

Разложение РФ

---

Для наглядного подтверждения второго свойства гипераналитических функций приведём графики разностей, возникающих при последовательном вычитании членов разложения из $\mathbb{R}(x)$.

Рис. 2. Первая разность. $\;\;\; \;\;$ Рис. 3. Вторая разность - $\overline{\mathbb{V}}(2\times2\pi x).$ $\;$ Рис. 4. Третья разность - $\mathbb{W}\left(1\times2\pi x\right).$

Рис. 5. Четвёртая разность - $\overline{\mathbb{V}}(4\times2\pi x).$ $\;\;\;$ Рис. 6. Пятая разность - $\mathbb{W}\left(3\times2\pi x\right).$

Таким образом, абсолютное значение пятой разности уменьшается на 77 порядков. Введём следующие определения:

$\mathbb{R}\left(0\right)=\mathbb{R}_{max}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{-n}{\sigma}\right)^{2}}$, 

$\mathbb{R}\left(1/2\right)=\mathbb{R}_{min}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{1/2-n}{\sigma}\right)^{2}}.$ 

Теперь введём параметр тонкой структуры $\alpha$ как функцию от $\sigma$:

$\alpha\left(\sigma\right)=\frac{1}{2}\frac{\mathbb{R}_{max}-\mathbb{R}_{min}}{\mathbb{R}_{max}+\mathbb{R}_{min}}. \;\;\;(4)$ 

Выбор названия и обозначения этого параметра обусловлен тем, что

$\alpha\left(0.4992619105929628\right)=\alpha.$

Следует отметить, что число $\pi$ в последней формуле введено для компенсации $\pi$ в $\hbar = h / 2 \pi$. Оставшаяся в определении двойка присутствует также и в формуле (4). Таким образом, никаких других математических констант в формуле (4) не может быть по определению.

Теперь аппроксимация $\mathbb{R}(x)$ будет иметь вид:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle A\left(x\right)=\frac{\mathbb{R}_{max}+\mathbb{R}_{min}}{2}(1+2\alpha cos\left(2\pi x\right))\\ +2\sum_{i=1}^{\infty}\alpha^{4^{i}}\left(cos\left(2i\times 2\pi x\right)-1\right)\\ +\frac{2}{\mathbb{W}_{max}}\sum_{i=1}^{\infty}\alpha^{9{i}^2}\left(cos\left(3 \times (2i-1)\times 2\pi x\right)-cos\left((2i-1) \times 2\pi  x\right)\right). }