https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5


Ивентология Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей случайной величины , принимающей целочисленные значения с вероятностями

где — параметр биномиального распределения, иногда называемый «вероятностью положительного исхода»; одно из основных распределений вероятностей, порождаемых конечным множеством независимых случайных экспериментов (испытаний).

Традиционная интерпретация. Пусть — последовательность независимых случайных величин (так называемых бернуллиевских случайных величин), каждая из которых может принимать лишь два значения и с вероятностями и соответственно. Случайные величины можно трактовать как результаты независимых испытаний, причём в случае «положительного исхода» и в случае «отрицательного исхода» -го испытания. Если общее количество испытаний фиксировано, то такая схема называется испытаниями Бернулли, причём суммарное количество «положительных исходов»

подчиняется биномиальному распределению с параметрами .

Эвентологическая интерпретация. Проводится множество из случайных экспериментов. В результате -го эксперимента событие наступает с вероятностью или не наступает с вероятностью ; все вместе эти события образуют множество событий

независимых в совокупности. Такая схема проведения экспериментов называется схемой испытаний Бернулли. Случайная величина

равная сумме индикаторов событий из и интерпретируемая как число событий из множества , наступающих в результате независимых случайных экспериментов, подчиняется биномиальному распределению с параметрами .


Производящая функция биномиального распределения — -ая степень бинома , разложение которой в сумму по формуле бинома Ньютона (отсюда название «биномиальное распределение») имеет вид:

Моменты биномиального распределения выражаются формулами:

асимметрия

эксцесс

Характеристическая функция

Функция распределения биномиальной случайной величины имеет вид

где — целая часть , причём справедливо так называемое «нормальное приближение»

где — функция распределения стандартного нормального распределения, а равномерно для всех . Существуют и другие нормальные приближения биномиального распределения с остатками более высокого порядка точности.

При функция биномиального распределения выражается в терминах функции стандартного нормального распределения асимптотической формулой (теорема Муавра-Лапласа)

где — бета-функция Эйлера.

Если количество независимых экспериментов велико, а вероятность мала, то биномиальные вероятности приближенно выражаются в терминах распределения Пуассона:

При этом если и , то равномерно относительно всех из открытого интервала имеет место асимптотическая формула

где .

Многомерным обобщением биномиального распределения в теории вероятностей считается полиномиальное распределение.

См.также

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.