Содержание

Интерпретации 20-го века[править | править код]

Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей случайной величины , принимающей целочисленные значения с вероятностями

где — параметр биномиального распределения, иногда называемый «вероятностью положительного исхода»; одно из основных распределений вероятностей, порождаемых конечным множеством независимых случайных экспериментов (испытаний).

Традиционная интерпретация. Пусть — последовательность независимых случайных величин (так называемых бернуллиевских случайных величин), каждая из которых может принимать лишь два значения и с вероятностями и соответственно. Случайные величины можно трактовать как результаты независимых испытаний, причём в случае «положительного исхода» и в случае «отрицательного исхода» -го испытания. Если общее количество испытаний фиксировано, то такая схема называется испытаниями Бернулли, причём суммарное количество «положительных исходов»

подчиняется биномиальному распределению с параметрами .

Эвентологическая интерпретация. Проводится множество из случайных экспериментов. В результате -го эксперимента событие наступает с вероятностью или не наступает с вероятностью ; все вместе эти события образуют множество событий

независимых в совокупности. Такая схема проведения экспериментов называется схемой испытаний Бернулли. Случайная величина

равная сумме индикаторов событий из и интерпретируемая как число событий из множества , наступающих в результате независимых случайных экспериментов, подчиняется биномиальному распределению с параметрами .

Производящая функция биномиального распределения — -ая степень бинома , разложение которой в сумму по формуле бинома Ньютона (отсюда название «биномиальное распределение») имеет вид:

Моменты биномиального распределения выражаются формулами:

асимметрия

эксцесс

Характеристическая функция

Функция распределения биномиальной случайной величины имеет вид

где — целая часть , причём справедливо так называемое «нормальное приближение»

где — функция распределения стандартного нормального распределения, а равномерно для всех . Существуют и другие нормальные приближения биномиального распределения с остатками более высокого порядка точности.

При функция биномиального распределения выражается в терминах функции стандартного нормального распределения асимптотической формулой (теорема Муавра-Лапласа)

где — бета-функция Эйлера.

Если количество независимых экспериментов велико, а вероятность мала, то биномиальные вероятности приближенно выражаются в терминах распределения Пуассона:

При этом если и , то равномерно относительно всех из открытого интервала имеет место асимптотическая формула

где .

Многомерным обобщением биномиального распределения в теории вероятностей считается полиномиальное распределение.

Ложность постулатов[править | править код]

Биномиальное распределение интерпретаций 20-го века основано на трех ложных постулатах:

  • Биномиальное распределение — распределение одной случайной величины;
  • Биномиальное распределение появляется в последовательности независимых испытаний (экспериментов);
  • Математическое ожидание биномиального распределения равно , где - конечное число независимых испытаний с двумя взаимно исключающими исходами каждое: положительный исход 1 c вероятностью и отрицательный исход 0 с вероятностью .

Доказательство ложности постулатов  [1][2].

Теорема 1. Биномиальное распределение не является распределением одной случайной величины.

Доказательство.

Если энциклопедически известно известно [3], что биномиальное распределение является частным случаем традиционной интерпретации полиномиального распределения как совместного распределения вероятностей независимых случайных величин при сокращении в нём числа случайных величин до двух, то подставляя условие в формулу традиционной интерпретации полиномиального распределения

получим формулу биномиального распределения не одной случайной величины, а двух случайных величин

что и требовалось доказать.

Примечание. Характер зависимости второй случайной величины от первой описан ниже.

Доказательство ложности второго и третьего постулатов.

Теорема 2. Биномиальное распределение не появляется в последовательности независимых испытаний (экспериментов) и его математическое ожидание не равно .

Доказательство.

Допустим, что

математическое ожидание биномиального распределения, появляющегося в последовательности независимых испытаний (экспериментов). Тогда при выполнении условия

математическое ожидание этого распределения будет больше единицы, что противоречит аксиоматике Колмогорова, согласно которой сумма всех вероятностей распределения, включая и его математическое ожидание, должна быть равной единице.

Теорема 2 доказана.

Парадокс биномиального распределения традиционной интерпретации 20-го века[править | править код]

Парадокс заключается в том, что http://wikipedia.ru/wiki/биномиальное распределение традиционной интерпретации 20-го века признаётся распределением одной случайной величины, а на самом деле биномиальное распределение является распределением двух случайных величин, в котором первая случайная величина является действительно независимой, а вторая случайная величина зависима от первой.

Этот парадокс возник из-за ошибки в логике рассуждений и получил повсеместное распространение с середины 20-го века.

Подобно тому, как из полинома (из многочлена) методом дедукции получают бином (двучлен), а из бинома методом индукции получают полином, так и по аналогии из полиномиального распределения (из распределения с числом случайных величин больше двух) методом дедукции обязаны получить биномиальное распределение (распределение с двумя случайными величинами), а из биномиального распределения (из распределения с двумя случайными величинами) методом индукции обязаны получить полиномиальное распределение (распределение с числом случайных величин больше двух).

Этот парадокс на столько распространён и на столько прост, что может быть проиллюстрирован на элементарных примерах.

1. Пусть в полиноме 10 членов. Сократив в нём число членов с десяти до двух, получим два:10:5=2.

2. В биноме 2 члена. Умножив их на 5, получим, что в полиноме 10 членов: 2х5=10.

3. Пусть в полиномиальном распределении 10 случайных величин. Сократив число случайных величин с десяти до двух, по аналогии обязаны получить биномиальное распределение с двумя случайными величинами: 10:5=2. Однако принято считать, что биномиальное распределение это распределение одной случайной величины, иными словами, если 10 разделить на 5, то получится один!

Это первый парадоксальный результат: 10:5=1.

4. Число случайных величин биномиального распределения традиционной интерпретации, равное одному, умножив на 5 получим, что в полиномиальном распределении 5 случайных величин: 1х5=5.

Это второй парадоксальный результат, поскольку изначально исходили из того, что в полиномиальном распределении 10 случайных величин.

Во времена В. Я. Буняковского [04(16).12.1804 - 30.11(12.12).1889] биномиальное распределение, как распределение двух случайных величин и на его основе полиномиальное распределение (оба так ещё не называемые) впервые были опубликованы им в 1846 году [4]

В современной записи биномиальное и полиномиальное распределения Буняковского имеют следующий вид:


Возьмем полиномиальную схему В. А. Севастьянова. Из неё методом дедукции получим биномиальную схему.

Полиномиальная схема Севастьянова заключается в следующим [5]:

ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ СХЕМА (multinomial schema)- схема независимых испытаний, в каждом из которых один и только один из взаимоисключающих исходов , причём вероятности этих исходов не зависят от номера испытаний в полиномиальной схеме, то частоты появления исходов имеют полиномиальное распределение

где целые числа и .

Полиномиальное распределение естественным образом обобщает биномиальное распределение и совпадает с последним при . Следовательно, подставляя в формулу полиномиальной схемы условие , обязаны получить биномиальную схему:

где целые числа и .

Далее докажем три теоремы .

Теорема 1. Биномиальное распределение не является распределением одной случайной величины.

Доказательство. В 1846 году В. Я. Буняковский при разложении бинома по степеням и делении каждого члена разложения на весь бином, усовершенствовал метод Лапласа [6], получил биномиальное распределение (тогда ещё так не называемое), современная форма записи которого приведена выше. Поскольку осуществлено математическое доказательство, то благодаря Буняковскому, биномиальное распределение было и всегда будет (во веки веков!) распределением двух слуяайных величин.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Биномиальное распределение как распределение двух случайных величин не является распределение независимых случайных величин.

Доказательство. Если бы обе случайные величины биномиального распределения были независимыми, то не выполнялось бы условие , согласно которому их сумма числовых значений обязано быть равной , в частности, если случайные величины независимы, то они независимо одна от другой могла бы принять нулевые значения или максимальные значения . Однако в обоих этих случаях не выполнялось бы условие их суммирования .

Теорема 2 доказана.

Теорема 3. В биномиальном распределении только первая случайная величина является независимой, а вторая случайная величина зависима от первой .

Доказательство. Для определённости будем полагать, что вторая случайная величина следует за первой. Промежуток между ними не имеет значения.

Пусть первая случайная величина в первый момент времени приняла числовое значение , лежащее в пределах .

Тогда вторая случайная величина во второй момент вынуждена принять числовое значение , чтобы выполнялось условие их суммирования .

Вероятность первой случайной величины, принявшей в первый момент времени числовое значение , будет равна числу вариантов выбора элементов из возможных (числу сочетаний из по ), умноженному на вероятность выбора одного из элементов, возведённую в степень

Вероятность второй случайной величины, принявшей во второй момент времени числовое значение , будет равна произведению единственного варианта выбора оставшихся элементов на вероятность выбора одного из них, возведённую в степень

Произведение вероятностей первой и второй случайных величин биномиального распределения есть вероятность биномиального распределения интерпретации 21-го века

где

Теорема 3 доказана.

Ас! Пушкин ещё в первой половине 19-го века в начале первой главы своего Евгения Онегина сетовал на то, что «Латынь из моды вышла ныне».

«Товарищи учёные! доценты с кандидатами...» (В. Высоцкий), cовременные МУД рые А кадемиКИ от математики, видимо напрочь забыли, что в переводе с латыни приставка «би» означает сдвоенный, состоящий из двух частей .

В частности, в авиации биплан – самолёт со сдвоенными крыльями (кукурузник), в оптике бинокль – сдвоенный монокль, в магнетизме биполь – двухполюсник, в электротехнике бифиляр – сдвоенная обмотка, в которой токи текут в противоположных направлениях ( встречно), в комбинаторике бином – двучлен, и так далее и тому подобное, и только в современной теории вероятностей биномиальное распределение – распределение одной случайной величины!!!

В 1846 году в завершение разложения бинома и полинома на с. 19 цитируемой книги Буняковский написал : << Так как вся эта теория основана на весьма простом разложении степени многочленного количества, то мы считаем излишним входить в дальнейшие подробности по этому вопросу>> (!)

Таким образом, сначала изуродовали биномиальное распределение Буняковского : биномиальное распределение двух случайных величин превратили в распределение одной случайной величины (http://wikipedia.ru/wiki/биномиальное распределение).

Затем этого урода <<обобщили>> на полиномиальное распределение и получили второго урода (http://wikipedia.ru/wiki/полиномиальное распределение).

Литература[править | править код]

  1. Голоборщенко В. С. Парадоксы в современной теории вероятностей. Часть 1: Ложность принятых постулатов и парадигм. // Проблемы создания информационных технологий. Сборник научных трудов МАИТ. М.: ООО Техполиграфцентр, 2006. Вып. 14, С. 9-15.
  2. Голоборщенко В. С. Производящие и характеристические функции полиномиального и биномиального распределений как парадоксы в современной теории вероятностей // Проблемы создания информационных технологий. Сборник научных трудов МАИТ. М.: МАИТ, 2008. Вып. 17, С. 5-11.
  3. Прохоров А. В. Полиномиальное распределение // Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия. М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. C. 470-471. ISBN 5 85 270265 X
  4. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ сочинение В. Я. БУНЯКОВСКОГО, ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, ОРДИНАРНОГО АКАДЕМИКА, ПРОФЕССРА С. ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, ДОКТОРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК ПАРИЖСКОЙ АКАДЕМИИ. САНКТПЕТЕРБУРГ. В Типографии Императорской Академии Наук. 1846. 477с.
  5. Севастьянов Б. А. Полиномиальная схема. // Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. / Гл. редактор Ю. В. Прохоров. М. Большая советская энциклопедия.1999. С.470. ISBN 585270265X
  6. Лаплас П. Опыт философии теории вероятностей. // Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия. М.: Большая Российская энциклопедия, 1999, с. 834-863. ISBN 585270265X

Биномиальное распределение интерпретации 21-го века[править | править код]

Биномиальное распределение — это распределение двух случайных величин и в дискретной временной последовательности , вторая случайная величина зависима от первой, числовые значения случайных величин и это числа успехов в испытаниях () с постоянными вероятностями успехов ( Бернулли распределений) и , пронормированных согласно аксиоматике Колмогорова .

Таблица 1 – Характеристики биномиального распределения интерпретации 21-го века
Пространство элементарных событий
Вероятность
Максимальная вероятность

(при математическом ожидании распределения)

Математическое ожидание

(как максимальное произведение математических ожиданий

случайных величин)

Дисперсия
Максимальная дисперсия

(при математическом ожидании распределения)

Ковариационная матрица , где
Корреляционная матрица , где
- критерий

Биномиальное распределение — совместное распределение двух случайных величин [1][править | править код]

определённых на точечных пространствах элементарных событий

и принимающих в дискретные последовательные моменты времени

целые неотрицательные значения

взаимосвязанные условием

согласно которому

если в первый момент времени первая случайная величина приняла значение

то во второй момент времени вторая случайная величина принимает значение

Первая и вторая технические задачи:[править | править код]

получение вероятности биномиального распределения; получение математического ожидания биномиального распределения[2],  [3].

Технические результаты — набор технических параметров, с одной стороны, минимально необходимый для описания биномиального распределения и его случайных величин, с другой стороны, позволяющий при необходимости расширить число параметров с целью получения дополнительных сведений о распределении, например, таких как корреляционная матрица, ковариационная матрица и другие.

Минимально необходимый набор параметров при решении первой технической задачи: пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание и дисперсия каждой случайной величины распределения, дисперсия распределения и произведение математических ожиданий его случайных величин как исходное выражение для решения второй технической задачи.

При решении второй технической задачи минимально необходимый набор параметров аналогичен предыдущему набору. Исключен из-за ненадобности один параметр — произведение математических ожиданий случайных величин и дополнен двумя параметрами — максимальной вероятностью и максимальной дисперсией биномиального распределения.

Биномиальное распределение[править | править код]

совместное распределение вероятностей двух случайных величин

определённых на точечных пространствах элементарных событий

и принимающих в дискретные последовательные моменты времени

целые неотрицательные значения

взаимосвязанные условием

согласно которому

если в первый момент времени первая случайная величина приняла значение

то во второй момент времени вторая случайная величина принимает значение

Характер зависимости случайных величин[править | править код]

В каждом цикле экспериментов:

  • Только первая случайная величина является независимой, а вторая случайная величина зависима от первой.
  • Если первая случайная величина в первый момент времени приняла своё максимально возможное значение, равное , то вторая случайная величина во второй момент времени обязана принять своё минимальное (нулевое) значение в противном случае не будет выполнено условие суммирования числовых значений случайных величин распределения, согласно которому .
  • Если первая случайная величина в первый момент времени приняла своё минимальное (нулевое) значение , то вторая случайная величина во второй момент времени обязана принять своё максимальное значение в противном случае не будет выполнено условие суммирования числовых значений случайных величин распределения .

Характеристики случайных величин биномиального распределения:[править | править код]

пространство элементарных событий


вероятность


математическое ожидание

дисперсия

производящая

и характеристическая

функции.

Характеристики биномиального распределения:[править | править код]

пространство элементарных событий


расположенное в точках временной последовательности,

вероятность

дисперсия

ковариационная , где

и корреляционная матрица , где

(Дисперсия биномиального распределения равна сумме дисперсий случайных величин распределения, ковариационная и корреляционная матрицы биномиального распределения являются диагональными, поскольку случайные величины распределения разнесены по времени и определены не на пересекающихся пространствах элементарных событий,)

- квадрат критерий для полиномиально распределенных случайных величин

Урновая модель биномиального распределения[править | править код]

Урновая модель биномиального распределения содержит одну исходную урну и две приёмные урны. Объем каждой из них не менее объёма исходной урны. Нумерация приёмных урн соответствует нумерации случайных величин биномиального распределения.

В начальный момент времени исходная урна содержит - множество различимых неупорядоченных элементов, а приёмные урны пусты.

Первая выборка

в первый момент времени направляется в первую приёмную урну с вероятностью каждого элемента.

Во второй момент времени все оставшиеся элементы исходной урны, образующие вторую выборку

Способ получения вероятностей биномиального распределения[править | править код]

Этот способ относится к техническим задачам разделения дискретного целого на составные части случайных объёмов.

Целым является множество дискретных элементов, различимых (хотя бы одним признаком, например, порядковыми номерами) и не упорядоченных (хаотично расположенных).

Составные части множества — дискретные два подмножества , в сумме равные объёму множества: .

Разделение множества на подмножества осуществляют выборками без возвращения.

Выборки следуют во времени одна за другой.

В начальный момент времени , не обязательно равный нулю , множество содержит различимых неупорядоченных элементов.

В первый момент времени из -множества осуществляют первую выборку случайного объёма с вероятностью каждого её элемента.

Вероятность первой случайной величины биномиального распределения определяется числом сочетаний из по , умноженным на вероятность выбора одного элемента, возведённую в степень числа выбранных элементов:

Во второй момент времени из оставшихся элементов исходного множества осуществляют вторую выборку единственным способом: с вероятностью каждого элемента.

Вероятность второй случайной величины при условии, что в первый момент времени вероятность первой случайной величины биномиального распределения приняла значение , определяется числом сочетаний из по , умноженным на вероятность выбора одного её элемента, возведённую в степень числа выбранных элементов:

Произведение двух вероятностей есть вероятности биномиального распределения интерпретации 21-го века — совместное распределение вероятностей двух случайных величин: первая независимая, а вторая зависима от первой

Когда число случайных величин больше двух и, следовательно, число испытаний больше двух , имеют место вероятности полиномиального (мультиномиального) распределения интерпретации 21-го века

Способ получения математического ожидания биномиального распределения[править | править код]

Этот способ относится к техническим задачам разделения дискретного целого на составные части и отличается от способа получения вероятностей полиномиального распределения интерпретации 21-го века тем, что число выборок равно числу элементов исходного множества и каждая выборка имеет единичный объём: .

Целым является множество дискретных элементов, различимых (хотя бы одним признаком, например, порядковыми номерами) и не упорядоченных (хаотично расположенных). Множество содержит два элемента: .

Составные части множества — дискретные два подмножества , в сумме равные объёму множества: .

Разделение множества на подмножества осуществляют выборками без возвращения.

Выборки следуют во времени одна за другой.

В начальный момент времени , не обязательно равный нулю , множество содержит два различимых неупорядоченных элемента.

В первый момент времени из -множества осуществляют первую выборку единичного объёма с вероятностью .

Вероятность первой случайной величины биномиального распределения определяется числом сочетаний из по , умноженным на вероятность выбора одного элемента:

Во второй момент времени из оставшегося одного элемента исходного множества осуществляют вторую выборку единичного объёма с вероятностью .

Вероятность второй случайной величины при условии, что в первый момент времени вероятность первой случайной величины биномиального распределения приняла значение , определяется числом сочетаний из по , умноженным на вероятность выбора одного элемента:

Произведение этих вероятностей есть математическое ожидание биномиального распределения интерпретации 21-го века— распределения двух случайных величин, первая их них независимая, а вторая зависима от первой

Когда число случайных величин больше двух и, следовательно, число испытаний больше двух , имеет место математическое ожидание полиномиального (мультиномиального) распределения интерпретации 21-го века

Варианты получения математического ожидания биномиального распределения[править | править код]

Два варианта: как максимум произведения математических ожиданий его случайных величин, или как максимум вероятности распределения.

Необходимые

и достаточные

условия получения математического ожидания биномиального распределения.

Математическое ожидание

максимальная вероятность

равна математическому ожиданию,

максимальная дисперсия

Пространство элементарных событий биномиального распределения при получении его математического ожидания

Урновая модель получения математического ожидания биномиального распределения[править | править код]

Урновая модель получения математического ожидания биномиального распределения содержит одну исходную урну и две приёмных урн единичных объемов. Нумерация приёмных урн соответствует нумерации случайных величин биномиального распределения.

В начальный момент времени исходная урна содержит два различимых элемента, а приёмные урны пусты.

В первый момент времени из исходной урны выбирают один элемент и направляют его в первую приёмную урну с вероятностью .

Во второй момент времени оставшийся элемент исходной урны отправляют во вторую приёмную урну с вероятностью .

В результате исходная урна пуста, а её два элемента по одному размещены в приёмных урнах. После обработки результатов разбиения исходного множества на два подмножества все элементы из приёмных урн возвращают в исходную урну. На этом один цикл повторных зависимых экспериментов закончен, и урновая модель готова к проведению следующего цикла экспериментов.

Произведение вероятностей попадания по одному произвольному элементу в каждую приёмную урну есть математическое ожидание биномиального распределения.

Изменение характеристик биномиального распределения в окрестности его математического ожидания приведено в таблице 2.

Таблица 2 – Окрестности математического ожидания биномиального распределения настоящей интерпретации 21-го века
Числовые значения первой случайной величины Числовые значения второй случайной величины Вероятность распределения Дисперсия распределения Математическое ожидание распределения
1 1 0,50 0,75 0,50
2 0 0,25 0,50
0 2 0,25 0,50

Вероятность биномиального распределения как функция двух переменных является симметричной функцией относительно своего математического ожидания.

Биномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над объектами[править | править код]

Объекты: множество, его подмножества и их элементы как объективная реальность, существующая вне нас и независимо от нас. Биномиальное распределение это:

  • случайный процесс безвозвратного разделения последовательно во времени и в пространстве конечного - множества различимых неупорядоченных элементов на две части случайных объёмов, сумма которых равна объёму исходного множества: ,
  • разделение множества осуществляют выборками без возвращения (изъятые из множества элементы не возвращают обратно во множество до полного окончания экспериментов),
  • вероятность попадания одного произвольного элемента множества в каждое из подмножеств принимают за вероятность события с положительным исходом соответствующего Бернулли распределения,
  • очерёдность следования выборок принимают за очередность следования во времени и нумерацию случайных величин биномиального распределения,
  • случайный объём каждой выборки в момент времени принимают за числовое значение соответствующей случайной величины биномиального распределения,
  • если в первый момент времени первая случайная величина приняла значение

то во второй момент времени вторая случайная величина принимает значение

  • результаты каждого разбиения обрабатывают вероятностными методами, определяют технические характеристики всех выборок и принимают их за технические характеристики случайных величин биномиального распределения,
  • математическое ожидание биномиального распределения имеет место, когда число выборок равно числу элементов -множества и численно равно

Биномиальное распределение как простейшая цепь Маркова[править | править код]

Биномиальное распределение появляется в последовательности двух испытаний, первое из них случайное независимое, а второе зависимое от первого испытания. Исходы испытаний конечны и счётны. По сути — это простейшая цепь Маркова. (, называемое начальным распределением цепи Маркова, для биномиального распределения не имеет смысла , поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы.)

Единственная переходная вероятность

заключается в том, что вторая случайная величина во второй момент времени вынуждена принять числовое значение, равное , при условии, что в первый момент времени первая случайная величина приняла случайное значение, равное .

Следовательно и вероятность биномиального распределения

как произведение первой независимой и второй зависимой случайных величин является цепью Маркова.

Сумма всех вероятностей биномиального распределения равна единице . Следовательно, биномиальное распределение как цепь Маркова, является стахостической.

Переходная вероятность биномиального распределения является дискретной функцией. Следовательно, биномиальное распределение является марковским процессом с дискретным временем.

Сравнительная оценка характеристик биномиальных распределений настоящей и традиционной интерпретаций[править | править код]

Цель сравнительной оценки показать, что биномиальное распределение настоящей интерпретации (таблица 1) соответствует, а биномиальное распределение традиционной интерпретации (таблица 3) не соответствует современным требованиям аксиоматики Колмогорова.

Основные несоответствия состоят в следующем:

  • биномиальное распределение традиционной интерпретации представлено распределением одной случайной величины, а по своей сути и определению оно должно быть распределением двух случайных величин;
  • при неограниченном увеличении числа независимых испытаний ( ) математическое ожидание () биномиального распределения традиционной интерпретации устремляется к бесконечности, что недопустимо, поскольку сумма всех вероятностей распределения, включая и его математическое ожидание, в любом распределении обязана быть равной единице (см., например, таблицу 2);
  • математическое ожидание () и дисперсия () первой случайной величины биномиального распределения настоящей интерпретации приняты за математическое ожидание () и дисперсию () биномиального распределения традиционной интерпретации (таблица 3).
Таблица 3 – Основные характеристики биномиального распределения интерпретации 20-го века
Характеристики Пространство элементарных событий Вероятность Математическое ожидание Дисперсия
Распределение Произвольная последовательность независимых испытаний с двумя взаимоисключающими исходами каждый: исход 1 с вероятностью , исход 0 с вероятностью

Литература[править | править код]

  1. http://ru.wikiznanie.org/wiki/ Биномиальное распределение, Настоящая интерпретация 21-го века.
  2. http://ru.wikipedia.org/wiki/ Математическая физика
  3. Голоборщенко В. С. Основы теории дискретных распределений. Часть 5: Как технические задачи и технические результаты математической физики. // Проблемы создания информационных технологий. М.: ООО Техполиграфцентр, 2010. Вып. 19, с. 31–36.

Связь с другими распределениями[править | править код]

Если , то полиномиальное распределение интерпретации 21-го века.

Если и , то полиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли.

Если и , то биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли.

См. также[править | править код]

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.