Биномиальное распределение: новая интерпретация

Интерпретации 20-го века

Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей случайной величины $\xi$, принимающей целочисленные значения $k=0,\ldots,n$ с вероятностями

$p_k = \mathbf{P}(\xi=k) = b_k(n,p) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k},$

где $0 \leq p \leq 1$ — параметр биномиального распределения, иногда называемый «вероятностью положительного исхода»; одно из основных распределений вероятностей, порождаемых конечным множеством независимых случайных экспериментов (испытаний).

Традиционная интерпретация. Пусть $\beta_1, \ldots, \beta_n$ — последовательность независимых случайных величин (так называемых бернуллиевских случайных величин), каждая из которых может принимать лишь два значения $1$ и $0$ с вероятностями $p$ и $1-p$ соответственно. Случайные величины $\beta_i$ можно трактовать как результаты независимых испытаний, причём $\beta_i=1$ в случае «положительного исхода» и $\beta_i=0$ в случае «отрицательного исхода» $i$-го испытания. Если общее количество испытаний фиксировано, то такая схема называется испытаниями Бернулли, причём суммарное количество «положительных исходов»

$\xi(\omega) = \sum_{i=1}^n \beta_i(\omega),$

подчиняется биномиальному распределению с параметрами $n, p$.

Эвентологическая интерпретация. Проводится множество из $n$ случайных экспериментов. В результате $k$-го эксперимента событие $x_k$ наступает с вероятностью $p=\mathbf{P}(x_k)$ или не наступает с вероятностью $1-p=\mathbf{P}(x_k^c)$; все вместе эти события образуют множество событий

$\mathfrak{X} = \{x_1, \ldots, x_n\},$

независимых в совокупности. Такая схема проведения экспериментов называется схемой испытаний Бернулли. Случайная величина

$\xi(\omega) = \sum_{x \in \mathfrak{X}}^n \mathbf{1}_{x}(\omega),$

равная сумме индикаторов событий из $\mathfrak{X}$ и интерпретируемая как число событий из множества $\mathfrak{X}$, наступающих в результате $n$ независимых случайных экспериментов, подчиняется биномиальному распределению с параметрами $n, p$.

Производящая функция биномиального распределения — $n$-ая степень бинома $(pw+(1-p))$, разложение которой в сумму по формуле бинома Ньютона (отсюда название «биномиальное распределение») имеет вид:

$(pw+(1-p))^n = \sum_{k=0}^n b_k w^k = \sum_{k=0}^n C_n^kp_k(1-p)^{n-k} w^k.$

Моменты биномиального распределения выражаются формулами:

$\mathbf{E}\xi = np, \ \ \ \mathbf{D}\xi = \mathbf{E}(\xi-np)^2 = np(1-p),$

$\mu_3 = \mathbf{E}(\xi-np)^3 = np(1-p)(1-2p);$

асимметрия

$\gamma_1=(1-2p)/\sqrt{np(1-p)},$

эксцесс

$\gamma_2=(1-6p(1-p))/np(1-p).$

Характеристическая функция

$f(t) = (1+p(e^{it}-1))^n.$

Функция распределения биномиальной случайной величины имеет вид

$F(u) = \mathbf{P}(\xi \leq u) = \sum_{k=0}^{[u]} C_n^kp^k(1-p)^{n-k},$

где $[u]$ — целая часть $u \in [-\infty, +\infty]$, причём справедливо так называемое «нормальное приближение»

$F(u) = \Phi \left[ \frac{u-np+1/2}{\sqrt{np(1-p)}}\right] +R_n(u,p),$

где $\Phi$ — функция распределения стандартного нормального распределения, а $R_n(u,p) = O(n^{-1/2})$ равномерно для всех $u$. Существуют и другие нормальные приближения биномиального распределения с остатками более высокого порядка точности.

При $n \to \infty$ функция биномиального распределения $F$ выражается в терминах функции $\Phi$стандартного нормального распределения асимптотической формулой (теорема Муавра-Лапласа)

$F(u) = \frac{1}{B([u]+1, n-[u])} \int_0^1 t^{[u]} (1-t)^{n-[u]-1} dt,$

где $B(a,b)$ — бета-функция Эйлера.

Если количество независимых экспериментов $n$ велико, а вероятность $p$ мала, то биномиальные вероятности $b_k(n,p)$ приближенно выражаются в терминах распределения Пуассона:

$b_k(n,p) = \frac{(np)^k}{k!} e^{-np}.$

При этом если $n \to \infty$ и $0 < c \leq u \leq C$, то равномерно относительно всех $p$ из открытого интервала имеет место асимптотическая формула

$F(u) = \sum_{k=0}^{[u]} \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}+O(n^{-2}),$

где $\lambda = (2n-[u])p/(2-p)$.

Многомерным обобщением биномиального распределения в теории вероятностей считается полиномиальное распределение.

Ложность постулатов

Биномиальное распределение интерпретаций 20-го века основано на трех ложных постулатах:

• Биномиальное распределение — распределение одной случайной величины;
• Биномиальное распределение появляется в последовательности независимых испытаний (экспериментов);
• Математическое ожидание биномиального распределения равно $np$ , где $n$ - конечное число независимых испытаний с двумя взаимно исключающими исходами каждое: положительный исход 1 c вероятностью $p$ и отрицательный исход 0 с вероятностью $q=1-p$.

Доказательство ложности постулатов  ,  .

Теорема 1. Биномиальное распределение не является распределением одной случайной величины.

Доказательство.

Если энциклопедически известно известно , что биномиальное распределение является частным случаем традиционной интерпретации полиномиального распределения как совместного распределения вероятностей независимых $X_1,\ldots,X_k$ случайных величин при сокращении в нём числа $k$ случайных величин до двух, то подставляя условие $k=2$ в формулу традиционной интерпретации полиномиального распределения

$P(X_1=n_1,\ldots,X_k=n_k)=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k},$

$2\leq k\leq n<\infty ,\quad n_{1}+\ldots +n_{k}=n,\quad p_{1}+\ldots +p_{k}=1,\quad i=1,\ldots ,k,$

получим формулу биномиального распределения не одной случайной величины, а двух случайных величин

$P(X_1=n_1, X_2=n_2)= \frac{n!}{n_1! n_2!} p_1^{n_1}p_2^{n_2},$

$2=k\leq n<\infty ,\quad n_{1}+n_{2}=n,\quad p_{1}+p_{2}=1,$

что и требовалось доказать.

Примечание. Характер зависимости второй случайной величины от первой описан ниже.

Доказательство ложности второго и третьего постулатов.

Теорема 2. Биномиальное распределение не появляется в последовательности независимых испытаний (экспериментов) и его математическое ожидание не равно $np$ .

Доказательство.

Допустим, что

$np$

математическое ожидание биномиального распределения, появляющегося в последовательности независимых испытаний (экспериментов). Тогда при выполнении условия

$n>p^{-1}$

математическое ожидание этого распределения будет больше единицы, что противоречит аксиоматике Колмогорова, согласно которой сумма всех вероятностей распределения, включая и его математическое ожидание, должна быть равной единице.

Теорема 2 доказана.

Парадокс биномиального распределения традиционной интерпретации 20-го века

Парадокс заключается в том, что http://wikipedia.ru/wiki/биномиальное распределение традиционной интерпретации 20-го века признаётся распределением одной случайной величины, а на самом деле биномиальное распределение является распределением двух случайных величин, в котором первая случайная величина является действительно независимой, а вторая случайная величина зависима от первой.

Этот парадокс возник из-за ошибки в логике рассуждений и получил повсеместное распространение с середины 20-го века.

Подобно тому, как из полинома (из многочлена) методом дедукции получают бином (двучлен), а из бинома методом индукции получают полином, так и по аналогии из полиномиального распределения (из распределения с числом случайных величин больше двух) методом дедукции обязаны получить биномиальное распределение (распределение с двумя случайными величинами), а из биномиального распределения (из распределения с двумя случайными величинами) методом индукции обязаны получить полиномиальное распределение (распределение с числом случайных величин больше двух).

Этот парадокс на столько распространён и на столько прост, что может быть проиллюстрирован на элементарных примерах.

1. Пусть в полиноме 10 членов. Сократив в нём число членов с десяти до двух, получим два:10:5=2.

2. В биноме 2 члена. Умножив их на 5, получим, что в полиноме 10 членов: 2х5=10.

3. Пусть в полиномиальном распределении 10 случайных величин. Сократив число случайных величин с десяти до двух, по аналогии обязаны получить биномиальное распределение с двумя случайными величинами: 10:5=2. Однако принято считать, что биномиальное распределение это распределение одной случайной величины, иными словами, если 10 разделить на 5, то получится один!

Это первый парадоксальный результат: 10:5=1.

4. Число случайных величин биномиального распределения традиционной интерпретации, равное одному, умножив на 5 получим, что в полиномиальном распределении 5 случайных величин: 1х5=5.

Это второй парадоксальный результат, поскольку изначально исходили из того, что в полиномиальном распределении 10 случайных величин.

Во времена В. Я. Буняковского [04(16).12.1804 - 30.11(12.12).1889] биномиальное распределение, как распределение двух случайных величин и на его основе полиномиальное распределение (оба так ещё не называемые) впервые были опубликованы им в 1846 году

В современной записи биномиальное и полиномиальное распределения Буняковского имеют следующий вид:

$P(X_1=n_1, X_2=n_2)= \frac{n!}{n_1! n_2!} p_1^{n_1}p_2^{n_2},$

$2=k\leq n<\infty ,\quad n_{1}+n_{2}=n,\quad p_{1}+p_{2}=1;$

$P(X_1=n_1,\ldots,X_k=n_k)=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k},$

$2\le k \le n< \infty, \quad n_1+\ldots+n_k=n, \quad p_1+ \ldots +p_ k =1.$

Возьмем полиномиальную схему В. А. Севастьянова. Из неё методом дедукции получим биномиальную схему.

Полиномиальная схема Севастьянова заключается в следующим :

ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ СХЕМА (multinomial schema)- схема независимых испытаний, в каждом из которых один и только один из $k$ взаимоисключающих исходов $A_1,\ldots,A_k$, причём вероятности $p_{i}=P(A_{i})$ этих исходов не зависят от номера испытаний в полиномиальной схеме, то частоты $X_i$ появления исходов $A_{i},\quad i=1,\ldots ,A_{k}$ имеют полиномиальное распределение

$P(X_1=n_1,\ldots,X_k=n_k)=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k},$

где $n_i$ целые числа и $n_1+\ldots+n_k=n$.

Полиномиальное распределение естественным образом обобщает биномиальное распределение и совпадает с последним при $k=2$. Следовательно, подставляя в формулу полиномиальной схемы условие $k=2$, обязаны получить биномиальную схему:

$P(X_{1}=n_{1},X_{k}=n_{2})={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!}}p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}},$

где $n_1, n_2$ целые числа и $n_1+n_2=n$.

Далее докажем три теоремы .

Теорема 1. Биномиальное распределение не является распределением одной случайной величины.

Доказательство. В 1846 году В. Я. Буняковский при разложении бинома по степеням и делении каждого члена разложения на весь бином, усовершенствовал метод Лапласа , получил биномиальное распределение (тогда ещё так не называемое), современная форма записи которого приведена выше. Поскольку осуществлено математическое доказательство, то благодаря Буняковскому, биномиальное распределение было и всегда будет (во веки веков!) распределением двух слуяайных величин.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Биномиальное распределение как распределение двух случайных величин не является распределение независимых случайных величин.

Доказательство. Если бы обе случайные величины биномиального распределения были независимыми, то не выполнялось бы условие $n_1+n_2=n$, согласно которому их сумма числовых значений обязано быть равной $n$, в частности, если случайные величины независимы, то они независимо одна от другой могла бы принять нулевые значения $X_{1}=n_{1}=0,\quad X_{2}=n_{2}=0$ или максимальные значения $X_{1}=n_{1}=n,\quad X_{2}=n_{2}=n$. Однако в обоих этих случаях не выполнялось бы условие их суммирования $n_1+n_2=n$.

Теорема 2 доказана.

Теорема 3. В биномиальном распределении только первая случайная величина является независимой, а вторая случайная величина зависима от первой .

Доказательство. Для определённости будем полагать, что вторая случайная величина следует за первой. Промежуток между ними не имеет значения.

Пусть первая случайная величина $X_1$ в первый момент времени $t_1$ приняла числовое значение $n_1$, лежащее в пределах $0<n_{1}<n$.

Тогда вторая случайная величина $X_2$ во второй момент $t_{2},t_{2}>t_{1}$ вынуждена принять числовое значение $n_2=n-n_1$, чтобы выполнялось условие их суммирования $n_1+n_2=n$.

$t_{1},\quad X_{1}=n_{1}\quad \mid \quad t_{2},\quad X_{2}=n_{2},\quad t_{1}<t_{2}.$

Вероятность $P_1(t_1, X_1=n_1)$ первой случайной величины, принявшей в первый момент времени $t_1$ числовое значение $n_1$, будет равна числу вариантов выбора $n_1$ элементов из $n$ возможных ${n \choose n_1}$ (числу сочетаний из $n$ по $n_1$), умноженному на вероятность $p_1$ выбора одного из $n_1$ элементов, возведённую в степень $n_1$

$P_{1}(t_{1},X_{1}=n_{1})={n \choose n_{1}}p_{1}^{n_{1}}$

Вероятность второй случайной величины, принявшей во второй момент времени $t_2$числовое значение $n_2$, будет равна произведению единственного варианта выбора ${n_{2} \choose n_{2}}$ оставшихся элементов $n-n_{1}=n_{2}$ на вероятность $p_2$ выбора одного из них, возведённую в степень $n_2$

$P_{2}(t_{2},X_{2}=n_{2}\mid t_{1},X_{1}=n_{1})={n_{2} \choose n_{2}}p_{2}^{n_{2}}=p_{2}^{n_{2}}.$

Произведение вероятностей первой и второй случайных величин биномиального распределения есть вероятность биномиального распределения интерпретации 21-го века

$P_{1}(t_{1},X_{1}=n_{1})P_{2}(t_{2},X_{2}=n_{2}\mid t_{1},X_{1}=n_{1})=$

$=\prod _{i=1}^{2}P_{i}(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})={\frac {n}{n_{1}!n_{2}!}}p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}},$

где

${n \choose n_{1}}={n \choose n_{2}}={\frac {n}{n_{1}!n_{2}!}},\quad t_{i-1}=0,\quad X_{i-1}=0.$

Теорема 3 доказана.

Ас! Пушкин ещё в первой половине 19-го века в начале первой главы своего Евгения Онегина сетовал на то, что «Латынь из моды вышла ныне».

«Товарищи учёные! доценты с кандидатами...» (В. Высоцкий), cовременные МУД рые А кадемиКИ от математики, видимо напрочь забыли, что в переводе с латыни приставка «би» означает сдвоенный, состоящий из двух частей .

В частности, в авиации биплан – самолёт со сдвоенными крыльями (кукурузник), в оптике бинокль – сдвоенный монокль, в магнетизме биполь – двухполюсник, в электротехнике бифиляр – сдвоенная обмотка, в которой токи текут в противоположных направлениях ( встречно), в комбинаторике бином – двучлен, и так далее и тому подобное, и только в современной теории вероятностей биномиальное распределение – распределение одной случайной величины!!!

В 1846 году в завершение разложения бинома и полинома на с. 19 цитируемой книги Буняковский написал : << Так как вся эта теория основана на весьма простом разложении степени многочленного количества, то мы считаем излишним входить в дальнейшие подробности по этому вопросу>> (!)

Таким образом, сначала изуродовали биномиальное распределение Буняковского : биномиальное распределение двух случайных величин превратили в распределение одной случайной величины (http://wikipedia.ru/wiki/биномиальное распределение).

Затем этого урода <<обобщили>> на полиномиальное распределение и получили второго урода (http://wikipedia.ru/wiki/полиномиальное распределение).

Биномиальное распределение интерпретации 21-го века

Биномиальное распределение — это распределение двух случайных величин $X_1$ и $X_2$ в дискретной временной последовательности $t_1,t_2$, вторая случайная величина зависима от первой, числовые значения случайных величин $n_1$ и $n_2$ это числа успехов в $n$ испытаниях ($n_1+n_2=n$) с постоянными вероятностями успехов ( Бернулли распределений) $p_1$ и $p_2$, пронормированных $p_1+p_2=1$ согласно аксиоматике Колмогорова .

Таблица 1 – Характеристики биномиального распределения интерпретации 21-го века

Пространство элементарных событий	$\sum_{i=1}^2\Omega_i(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})$
Вероятность	$\prod_{i=1}^2P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! n_2!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}$
Максимальная вероятность (при математическом ожидании распределения)	$\left(\frac{n!}{n_i!n_2!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\right)_{max}= \frac{1}{2}$
Математическое ожидание (как максимальное произведение математических ожиданий случайных величин)	$\left(\prod_{i=1}^2E(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1})\right)_{max}=\frac{1}{2}$
Дисперсия	$\sum _{i=1}^{2}D(t_{i},X_{i}\mid t_{i-1},X_{i-1})=\sum _{i=1}^{2}(n-n_{i-1})p_{i}q_{i}$
Максимальная дисперсия (при математическом ожидании распределения)	$D(X_{1},X_{2}|X_{1})_{max}=\left(\sum _{i-1}^{2}(n-n_{i-1})p_{i}q_{i}\right)_{max}={\frac {3}{4}}$
Ковариационная матрица	$B=\| b_{ij} \|$, где$\rho _{ij} = \begin{cases} 1, & i=j,\\ 0, & i \not= j \end{cases}$
Корреляционная матрица	$\Rho=\| \rho_{ij} \|$, где$\rho _{ij} = \begin{cases} 1, & i=j,\\ 0, & i \not= j \end{cases}$
$\chi^2$ - критерий	$\chi^2=\sum_{i=1}^2 [X_i-(n -n_{i-1})p_i^{(0)}]^2/(n -n_{i-1})p_i^{(0)}=$$=-n+\sum_{i=1}^2X_i^2 /(n-n_{i-1})p_i^{(0)}$

Биномиальное распределение — совместное распределение двух случайных величин

$\prod_{i=1}^2P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! n_2!}p_1^{n_1} p_2^{n_2},$

$\frac{n!}{n_1!n_2!}={n\choose n_1,n_2}= {n \choose n_1}={n\choose n_2},$

$2=k\leq n<\infty ,\qquad n_{1}+n_{2}=n,\qquad p_{1}+p_{2}=1,$

определённых на точечных пространствах элементарных событий

$\Omega_1, \Omega_2$

и принимающих в дискретные последовательные моменты времени

$t_1, t_2, \quad t_i<t_{i+1}$

целые неотрицательные значения

$n_1, n_2,$

взаимосвязанные условием

$n_1 +n_2=n,$

согласно которому

$X_2=n_2 \mid X_1=n_1$

если в первый момент времени $t_1$ первая случайная величина $X_1$ приняла значение

$n_1, \quad 0\le n_1\le n,$

то во второй момент времени $t_2$вторая случайная величина $X_2$ принимает значение

$n _2, \quad 0\le n_2\le n- n_1.$

Первая и вторая технические задачи:

получение вероятности биномиального распределения; получение математического ожидания биномиального распределения,  .

Технические результаты — набор технических параметров, с одной стороны, минимально необходимый для описания биномиального распределения и его случайных величин, с другой стороны, позволяющий при необходимости расширить число параметров с целью получения дополнительных сведений о распределении, например, таких как корреляционная матрица, ковариационная матрица и другие.

Минимально необходимый набор параметров при решении первой технической задачи: пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание и дисперсия каждой случайной величины распределения, дисперсия распределения и произведение математических ожиданий его случайных величин как исходное выражение для решения второй технической задачи.

При решении второй технической задачи минимально необходимый набор параметров аналогичен предыдущему набору. Исключен из-за ненадобности один параметр — произведение математических ожиданий случайных величин и дополнен двумя параметрами — максимальной вероятностью и максимальной дисперсией биномиального распределения.

Биномиальное распределение

совместное распределение вероятностей двух случайных величин

$\prod_{i=1}^2P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! n_2!}p_1^{n_1} p_2^{n_2},$

$2\le k \le n <\infty, \qquad n_1+n _2=n, \qquad p_1+p_2=1,$

определённых на точечных пространствах элементарных событий

$\Omega_1, \quad \Omega _2$

и принимающих в дискретные последовательные моменты времени

$t_1, \quad t_2, \quad t_i<t_{i+1}$

целые неотрицательные значения

$n_1, n_2,$

взаимосвязанные условием

$n_1 +n_2=n,$

согласно которому

$X_2=n_2 \mid X_1=n_1$

если в первый момент времени $t_1$ первая случайная величина $X_1$ приняла значение

$n_1, \quad 0\le n_1\le n,$

то во второй момент времени $t_2$вторая случайная величина $X_2$ принимает значение

$n _2, \quad 0\le n_2\le n- n_1.$

Характер зависимости случайных величин

В каждом цикле экспериментов:

• Только первая случайная величина является независимой, а вторая случайная величина зависима от первой.

• Если первая случайная величина в первый момент времени приняла своё максимально возможное значение, равное $X_1=n$, то вторая случайная величина во второй момент времени обязана принять своё минимальное (нулевое) значение $X_2=n_2=0$ в противном случае не будет выполнено условие суммирования числовых значений случайных величин распределения, согласно которому $n_1+n_2=n$.

• Если первая случайная величина в первый момент времени приняла своё минимальное (нулевое) значение $X_1=n_1=0$ , то вторая случайная величина во второй момент времени обязана принять своё максимальное значение $X_2=n_2=n$ в противном случае не будет выполнено условие суммирования числовых значений случайных величин распределения $n_1+n_2=n$.

Характеристики случайных величин биномиального распределения:

пространство элементарных событий

$\Omega_i(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=[0 \le n_i \le n-n_{i-1}],$

вероятность

$P(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{i-1},X_{i-1})={n-n_{i-1} \choose n_{i}}p_{i}^{n_{i}},$

математическое ожидание

$E(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{i-1},X_{i-1}=(n-n_{i-1})p_{i},$

дисперсия

$D(t_{i},X_{i}\mid t_{i-1},X_{i-1})=(n-n_{i-1})p_{i}q_{i},\quad q_{i}=1-p_{i},$

производящая

$A(s_i)=(1+p_is_i)^{n-n_{i-1}}$

и характеристическая

$f(t_i)=(1+p_ie^{jt_i})^{n-n_{i-1}}$

функции.

Характеристики биномиального распределения:

пространство элементарных событий

$\sum _{i=1}^{2}\Omega _{i}(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}),$

расположенное в точках $t_1,\quad t_2$ временной последовательности,

вероятность

$\prod _{i=1}^{2}P(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!}}p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}};$

дисперсия

$\sum _{i=1}^{2}D(t_{i},X_{i}\mid t_{i-1},X_{i-1})=\sum _{i=1}^{2}(n-n_{i-1})p_{i}q_{i};$

ковариационная $B=\| b_{ij} \|$, где

$b_{ij}={\begin{cases}(n-n_{i-1})p_{i}q_{i},&i=j,\\0,&i\not =j.\end{cases}}$

и корреляционная матрица $\Rho=\| \rho_{ij} \|$, где

$\rho _{ij}={\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\not =j.\end{cases}}$

(Дисперсия биномиального распределения равна сумме дисперсий случайных величин распределения, ковариационная и корреляционная матрицы биномиального распределения являются диагональными, поскольку случайные величины распределения разнесены по времени и определены не на пересекающихся пространствах элементарных событий,)

$\chi^2$ - квадрат критерий для полиномиально распределенных случайных величин

$\chi^2=\sum_{i=1}^2 [X_i-(n -n_{i-1})p_i^{(0)}]^2/(n -n_{i-1})p_i^{(0)}=$

$=-n+\sum _{i=1}^{2}X_{i}^{2}/(n-n_{i-1})p_{i}^{(0)}.$

Урновая модель биномиального распределения

Урновая модель биномиального распределения содержит одну исходную урну и две приёмные урны. Объем каждой из них не менее объёма исходной урны. Нумерация приёмных урн соответствует нумерации случайных величин биномиального распределения.

В начальный момент времени исходная урна содержит $n$ - множество различимых неупорядоченных элементов, а приёмные урны пусты.

Первая выборка

$n_1,\quad 0\le n_1\le n$

в первый момент времени направляется в первую приёмную урну с вероятностью $p_1$ каждого элемента.

Во второй момент времени все оставшиеся $n-n_1$ элементы исходной урны, образующие вторую выборку

$n_{2},\quad 0\leq n-n_{1}\leq n,$

Способ получения вероятностей биномиального распределения

Этот способ относится к техническим задачам разделения дискретного целого на составные части случайных объёмов.

Целым является множество дискретных элементов, различимых (хотя бы одним признаком, например, порядковыми номерами) и не упорядоченных (хаотично расположенных).

Составные части множества — дискретные два подмножества $n_1, n_2$, в сумме равные объёму множества: $n_1+ n_2=n, \quad 2\le n<\infty$.

Разделение множества на подмножества осуществляют выборками без возвращения.

Выборки следуют во времени одна за другой.

В начальный момент времени $t_0$, не обязательно равный нулю $t_0 \ne 0$, множество содержит $n, 2\le n < \infty$ различимых неупорядоченных элементов.

В первый момент времени $t_1$ из $n$-множества осуществляют первую выборку случайного объёма $n_1, 0 \le n_1 \le n$ с вероятностью $p_1$ каждого её элемента.

Вероятность первой случайной величины $P_1(t_1, X_1=n_1)$ биномиального распределения определяется числом сочетаний ${n \choose n_1}$ из $n$ по $n_1$, умноженным на вероятность $p_1$ выбора одного элемента, возведённую в степень числа $n_1$ выбранных элементов:

$P_1(t_1, X_1=n_1)={n \choose n_1}p_1^{n_1}.$

Во второй момент времени $t_2$ из оставшихся $n-n_1$ элементов исходного множества осуществляют вторую выборку $n_2=n-n_1$ единственным способом: ${n-n_{1} \choose n_{2}}={n-n_{1} \choose n-n_{1}}$ с вероятностью $p_2$ каждого элемента.

Вероятность второй случайной величины при условии, что в первый момент времени вероятность первой случайной величины биномиального распределения приняла значение $P(t_1,\quad X_1=n_1)$, определяется числом сочетаний ${n-n_1 \choose n_2}$ из $n-n_1$ по $n_2$, умноженным на вероятность $p_2$ выбора одного её элемента, возведённую в степень числа $n_2$ выбранных элементов:

$P_2(t_2, X_2=n_2 \mid t_1,X_1=n_1)={n-n_1 \choose n_2}p_2^{n_2}.$

Произведение двух вероятностей есть вероятности биномиального распределения интерпретации 21-го века — совместное распределение вероятностей двух случайных величин: первая независимая, а вторая зависима от первой

$\prod_{i=1}^2P_i(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1!n_2!}p_1^{n_1}p_2^{n_2},$

$\sum_{i=1}^2n_i=n, \quad \sum_{i=1}^2p_i=1.$

Когда число случайных величин больше двух $(k>2)$ и, следовательно, число $n$ испытаний больше двух $2< k=n< \infty$, имеют место вероятности полиномиального (мультиномиального) распределения интерпретации 21-го века

$\prod_{i=1}^kP_i(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! \cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k},$

$\sum_{i=1}^kn_i=n, \quad \sum_{i=1}^kp_i=1.$

Способ получения математического ожидания биномиального распределения

Этот способ относится к техническим задачам разделения дискретного целого на составные части и отличается от способа получения вероятностей полиномиального распределения интерпретации 21-го века тем, что число выборок $k$ равно числу $n$ элементов исходного множества $k=n$ и каждая выборка имеет единичный объём: $n_{i}=1,\quad i=1,2,\quad k=n$.

Целым является множество дискретных элементов, различимых (хотя бы одним признаком, например, порядковыми номерами) и не упорядоченных (хаотично расположенных). Множество содержит два элемента: $n=2$.

Составные части множества — дискретные два подмножества $n_{1}=1,n_{2}=1$, в сумме равные объёму множества: $n_1+n_2= n, \quad n=2$.

Разделение множества на подмножества осуществляют выборками без возвращения.

Выборки следуют во времени одна за другой.

В начальный момент времени $t_0$, не обязательно равный нулю $t_0 \ne 0$, множество содержит два различимых неупорядоченных элемента.

В первый момент времени $t_1$ из $n$-множества осуществляют первую выборку $n_1=1$ единичного объёма с вероятностью $p_1=n^{-1}$.

Вероятность первой случайной величины $X_1=n_1=1$ биномиального распределения определяется числом сочетаний ${n \choose n_1}$ из $n$ по $n_1=1$, умноженным на вероятность $p_1=n^{-1}$ выбора одного элемента:

$P_1(t_1, X_1=n_1=1)={n \choose n_1}p_1={n \choose 1}n^{-1}=\frac{n}{n}.$

Во второй момент времени $t_2$ из оставшегося одного $n-n_1$ элемента исходного множества осуществляют вторую выборку $n_2=1$ единичного объёма с вероятностью $p_2=n^{-1}$.

Вероятность второй случайной величины при условии, что в первый момент времени вероятность первой случайной величины биномиального распределения приняла значение $P_1(t_1, X_1=n_1=1)$, определяется числом сочетаний ${n-n_1 \choose n_2}$ из $n-n_1$ по $n_2=1$, умноженным на вероятность $p_2=n^{-1}$ выбора одного элемента:

$P_2(t_2, X_2=n_2=1 \mid t_1,X_1=n_1=1)={n-n_1 \choose n_2}p_2={n-n_1 \choose 1}n^{-1}=\frac{n-1}{n}.$

Произведение этих вероятностей есть математическое ожидание биномиального распределения интерпретации 21-го века— распределения двух случайных величин, первая их них независимая, а вторая зависима от первой

$\prod_{i=1}^2P_i(t_i,X_i=n_i=1 \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}=1)=\prod_{i=1}^2\frac{n-n_{i-1}}{n}=\frac {1}{2},$

$\sum_{i=1}^2n_i=n, \quad \sum_{i=1}^2p_i=1.$

Когда число случайных величин больше двух $k>2$ и, следовательно, число $n$ испытаний больше двух $2< k=n< \infty$, имеет место математическое ожидание полиномиального (мультиномиального) распределения интерпретации 21-го века

$\prod_{i=1}^nP_i(t_i,X_i=n_i=1 \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}=1)=\prod_{i=1}^n\frac{n-n_{i-1}}{n}=\frac {n!}{n^n},$

$\sum_{i=1}^nn_i=n, \quad \sum_{i=1}^np_i=1.$

Варианты получения математического ожидания биномиального распределения

Два варианта: как максимум произведения математических ожиданий его случайных величин, или как максимум вероятности распределения.

Необходимые

$k=n, \qquad n_i=1, \qquad 0<p_i<1,$

и достаточные

$p_1=p_2=2^{-1}$

условия получения математического ожидания биномиального распределения.

Математическое ожидание

$\left(\prod _{i=1}^{2}E(t_{i},X_{i}=n_{i}\mid t_{i-1},X_{i-1})\right)_{max}=\left(\prod _{i=1}^{2}(n-n_{i-1})p_{i}\right)_{max}={\frac {n!}{n^{n}}}={\frac {1}{2}},$

максимальная вероятность

$\left(\prod_{i=1}^2P(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})\right)_{max}=\left(\frac{n!}{n_i!n_2!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\right)_{max}= \frac{n!}{n^n}= \frac{1}{2}$

равна математическому ожиданию,

максимальная дисперсия

$D(X_{1},X_{2}|X_{1})_{max}=\left(\sum _{i-1}^{2}(n-n_{i-1})p_{i}q_{i}\right)_{max}={\frac {n^{2}-1}{2n}}={\frac {3}{4}}.$

Пространство элементарных событий биномиального распределения при получении его математического ожидания

$\Omega(t_1, X_1=n_1=1 \mid t_2,X_2=n_2=1)$

Урновая модель получения математического ожидания биномиального распределения

Урновая модель получения математического ожидания биномиального распределения содержит одну исходную урну и две приёмных урн единичных объемов. Нумерация приёмных урн соответствует нумерации случайных величин биномиального распределения.

В начальный момент времени исходная урна содержит два различимых элемента, а приёмные урны пусты.

В первый момент времени из исходной урны выбирают один элемент $n_1=1$ и направляют его в первую приёмную урну с вероятностью $p_1=0,5$ .

Во второй момент времени оставшийся элемент $n_2=1$ исходной урны отправляют во вторую приёмную урну с вероятностью $p_2=0,5$.

В результате исходная урна пуста, а её два элемента по одному размещены в приёмных урнах. После обработки результатов разбиения исходного множества на два подмножества все элементы из приёмных урн возвращают в исходную урну. На этом один цикл повторных зависимых экспериментов закончен, и урновая модель готова к проведению следующего цикла экспериментов.

Произведение вероятностей попадания по одному произвольному элементу в каждую приёмную урну есть математическое ожидание биномиального распределения.

Изменение характеристик биномиального распределения в окрестности его математического ожидания приведено в таблице 2.

Таблица 2 – Окрестности математического ожидания биномиального распределения настоящей интерпретации 21-го века

Числовые значения первой случайной величины $X_1=n_1$	Числовые значения второй случайной величины $X_2=n_2| X_1=n_1$	Вероятность распределения	Дисперсия распределения	Математическое ожидание распределения
1	1	0,50	0,75	0,50
2	0	0,25	0,50
0	2	0,25	0,50

Вероятность биномиального распределения как функция двух переменных является симметричной функцией относительно своего математического ожидания.

Биномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над объектами

Объекты: множество, его подмножества и их элементы как объективная реальность, существующая вне нас и независимо от нас. Биномиальное распределение это:

• случайный процесс безвозвратного разделения последовательно во времени $t_1,t_2$ и в пространстве конечного $n$- множества различимых неупорядоченных элементов на две части $n_1, \quad n_2$ случайных объёмов, сумма которых равна объёму исходного множества: $n_1+ n_2=n, \quad 2\le n<\infty$,

• разделение множества осуществляют выборками без возвращения (изъятые из множества элементы не возвращают обратно во множество до полного окончания экспериментов),

• вероятность попадания одного произвольного элемента множества в каждое из подмножеств принимают за вероятность $0\le p_i<1, \quad i=1,2$ события с положительным исходом соответствующего Бернулли распределения,

• вероятности событий с положительными исходами Бернулли распределений нормируют $\sum _{i=1}^2 p_i =1$ согласно аксиоматике Колмогорова и принимают неизменными на время проведения испытаний,

• очерёдность следования выборок принимают за очередность следования во времени и нумерацию случайных величин $X_1, \quad X_2$ биномиального распределения,

• случайный объём каждой выборки $n_i, \quad i=1,2$ в момент времени $t_i, \quad i=1,2$ принимают за числовое значение соответствующей случайной величины $X_i=n_i, \quad i=1,2$ биномиального распределения,
• если в первый момент времени $t_1$ первая случайная величина $X_1$ приняла значение

$n_1, \quad 0\le n_1\le n,$

то во второй момент времени $t_2$вторая случайная величина $X_2$ принимает значение

$n_{2},\quad 0\leq n_{2}\leq n-n_{1},$

• результаты каждого разбиения обрабатывают вероятностными методами, определяют технические характеристики всех выборок и принимают их за технические характеристики случайных величин биномиального распределения,

• минимально необходимый набор технических характеристик случайных величин и биномиального распределения в целом это: пространство элементарных событий, вероятность , математическое ожидание и дисперсия,

• математическое ожидание биномиального распределения имеет место, когда число выборок $k$ равно числу элементов $n$-множества $k=n$ и численно равно ${\frac {n!}{n^{n}}}={\frac {2!}{2^{2}}}={\frac {1}{2}}.$

Биномиальное распределение как простейшая цепь Маркова

Биномиальное распределение появляется в последовательности двух испытаний, первое из них случайное независимое, а второе зависимое от первого испытания. Исходы испытаний конечны и счётны. По сути — это простейшая цепь Маркова. ($X_0$, называемое начальным распределением цепи Маркова, для биномиального распределения не имеет смысла $t_0=0, \quad X_0=0$, поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы.)

Единственная переходная вероятность

$P(t_2>t_1,\quad X_2=n_2=n-n_1 \quad |\quad t_1<t_2,\quad X_1=n_1)$

заключается в том, что вторая случайная величина $X_2$ во второй момент времени $t_2$ вынуждена принять числовое значение, равное $0\le n_2=n-n_1 \quad$, при условии, что в первый момент времени $t_1$ первая случайная величина $X_1$ приняла случайное значение, равное $n_1,\quad 0\le n_1\le n$.

Следовательно и вероятность биномиального распределения

$\prod_{i=1}^2P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! n_2!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}$

как произведение первой независимой и второй зависимой случайных величин является цепью Маркова.

Сумма всех вероятностей биномиального распределения равна единице $p_1+p_2=1$. Следовательно, биномиальное распределение как цепь Маркова, является стахостической.

Переходная вероятность биномиального распределения является дискретной функцией. Следовательно, биномиальное распределение является марковским процессом с дискретным временем.

Сравнительная оценка характеристик биномиальных распределений настоящей и традиционной интерпретаций

Цель сравнительной оценки показать, что биномиальное распределение настоящей интерпретации (таблица 1) соответствует, а биномиальное распределение традиционной интерпретации (таблица 3) не соответствует современным требованиям аксиоматики Колмогорова.

Основные несоответствия состоят в следующем:

• биномиальное распределение традиционной интерпретации представлено распределением одной случайной величины, а по своей сути и определению оно должно быть распределением двух случайных величин;

• при неограниченном увеличении числа независимых испытаний ( $n$) математическое ожидание ($np$) биномиального распределения традиционной интерпретации устремляется к бесконечности, что недопустимо, поскольку сумма всех вероятностей распределения, включая и его математическое ожидание, в любом распределении обязана быть равной единице (см., например, таблицу 2);

• математическое ожидание ($np_1$) и дисперсия ($np_1q_1$) первой случайной величины биномиального распределения настоящей интерпретации приняты за математическое ожидание ($np$) и дисперсию ($npq$) биномиального распределения традиционной интерпретации (таблица 3).

Таблица 3 – Основные характеристики биномиального распределения интерпретации 20-го века

Характеристики	Пространство элементарных событий	Вероятность	Математическое ожидание	Дисперсия
Распределение	Произвольная последовательность $n$ независимых испытаний с двумя взаимоисключающими исходами каждый: исход 1 с вероятностью $p$, исход 0 с вероятностью $1-p=q$	${n \choose k}p^{k}q^{n-k},$$0\leq k \leq n$	$np,$$2\le n<\infty$	$npq,$$q=1-p$

Связь с другими распределениями

Если $k>2$, то полиномиальное распределение интерпретации 21-го века.

Если $k>2$ и $p_1=\ldots=p_k$, то полиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли.

Если $k=2$ и $p_1 = p_2$, то биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли.

См. также

• Распределение вероятностей
• Биномиальное распределение: парадоксы
• Распределение биномиальной выборки
• Биномиальное распределение одной случайной величины
• Биномиальное распределение Буняковского
• Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
• Биномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств
• Биномиальное многомерное распределение
• Полиномиальное распределение
• Полииномиальное распределение: парадоксы
• Полиномиальное распределение независимых случайных величин
• Полииномиальное распределение зависимых случайных величин
• Полиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
• Полиномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств