"История теории вероятности содержит очень много неожиданных парадоксов. По мнению Карла Пирсона, в математике нет другого такого раздела науки, в котором так же легко совершить ошибку": см.  Биномиальное распределение – 1.doc; http://gendocs.ru/v1345/Биномиальное распределение; http://www.vixri.ru/d/Sekej%20G.%20_Paradoksy%20v%20teorii%20verojatnostej_.pdf  ( Секей Габор. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике, Будапешт. 1988, С. 215. Цитата на С.10).

Биномиальное и полиномиальное (мультиномиальное) распределения зарождались в первой половине XIX века, когда руководящей философской идеей развития теории вероятностей было убеждение во всеобщности понятия независимости. Авторы того времени, вплоть до конца XIX века, как правило, не оговаривали это предположение [1]. Известны были только условно независимые (неравновозможные) события. Если “…встречались не все равновозможны, - пояснял В. Я. Буняковский - то чрез дробление на другие, оне могут быть приведены к равновозможным…” [2]. С появлением цепей Маркова в начале XX века (1906-1907), к сожалению, не была пересмотрена концепция этих распределений. 

Содержание

Главный парадокс уже не первого века: Биномиальное распределение — распределение двух случайных величин, [править | править код]

в котором первая из них является действительно независимой, а вторая случайная величина является зависимой от первой. Её зависимость проявляется в том, что её пространство элементарных событий сокращается на числовое значение, принятое второй случайной величиной во второй момент времени.

Известно, что если в мультиномиальном распределении (https://ru.wikipedia.org/wiki/Multinomial_distribinion) сократить число случайных величин до двух (к=2) (см. в оригинале это выглядит так: When k = 2, the multinomial distribution is the binomial distribution), то получим биномиальное распределение https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.

Так сколько же на самом деле в биномиальном распределении случайных величин? Две или одна? По логике и по приведённым рассуждениям, естественно, напрашивается ответ, что две. Однако согласно энциклопедии Википедии биномиальное распределение содержит одну случайную величину. Это же явный парадокс.

Парадокс математического ожидания биномиального распределения: математическое ожидание биномиального распределения не равно [править | править код]

Если утверждается, что биномиальное распределение — распределение одной случайной величины и что математическое ожидание этого биномиального распределения есть ни что иное, как

где n — число независимых испытаний, а p — вероятность положительного исхода одного испытания, то при увеличении числа испытаний до

математическое ожидание биномиального распределения окажется больше единицы, что не допустимо, ибо согласно второй аксиоме вероятностей аксиоматики Колмогорова, вероятности всех случайных величин, включая и его математическое ожидание, обязано быть равным единице.

Парадокс 20-го века: Распределение Бернулли и биномиальное распределение — это одно и тоже и каждое из них — распределение одной случайной величины в последовательности независимых испытаний[править | править код]

БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, распределение Бернулли [3]

, — распределение вероятностей случайной величины   с целочисленными значениями , заданное формулой 

где   и  — параметры, а — биномиальный коэффициент (отсюда название Б. р. ). Б. р. — одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний; это — распределение вероятностей числа наступлений некоторого события (<<удачи>> ) в повторных независимых испытаниях, если при каждом испытании вероятность наступления этого события  равна   (см. Бернулли испытания). В соответствии с этим каждую случайную величину  , имеющую Б. р. с параметрами и можно представить в виде суммы независимых случайных величин, имеющих Б. р. с параметрами и  . Математическое ожидание и дисперсия случайной величины с Б. р. равны   и .

Многомерным обобщением Б. р. служит полиномиальное распределение.

Эти распределения аналогично описаны и в Большой Российской энциклопедии [4].

В начале 21-го века стало известно, что распределение Бернулли — это самостоятельное распределение в последовательности независимых испытаний. Оно почти одинаково описано в трёх электронных энциклопедиях Викизнание, Наука и Математика:

Случайная величина имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: и с вероятностями и соответственно. Таким образом:

,
.

Схема Бернулли стала известна и впервые была описана в энциклопедии  Математика:

Последовательность независимых случайных величин, имеющих распределение Бернулли, называется схемой Бернулли. Физически схема Бернулли моделирует многократное проведение независимых реализаций одного и того же случайного эксперимента с двумя исходами: успех и неудача. Случайное событие соответствует успеху в результате -го испытания, а событие соответствует неудаче ( http://ru.math.wikia.com/wiki/распределение Бернулли).

Тем не менее, и в 21-ом веке можно встретить  устаревшие суждения, подобные этому: http://wiki.bks-tv.ru/wiki/Обсуждение: Биномиальное_ распределение: Формула биномиального распределения и формула Бернулли - это одно и то же или нет? -- 10:41, 14 июня 2008 (UTC) Да.109.161.126.71 10:59, 8 ноября 2010 (UTC)

Парадокс первого десятилетия 21-го века: Биномиальное распределение — распределение одной случайной величины в конечной последовательности испытаний Бернулли[править | править код]

Во всех областях научного знания за исключением теории вероятностей приставка би (в переводе с латинского означающая сдвоенный, состоящий из двух частей) используется правильно, например, в авиации биплан самолет со сдвоенными крыльями, в оптике бинокль — сдвоенный монокль, в комбинаторике бином — двучлен, и только в современной теории вероятностей биномиальное распределение — распределение, полученное не основе бинома (двучлена), является распределением одной случайной величины…

Парадокс заключается в том, что http://wikipedia.ru/wiki/биномиальное распределение традиционной интерпретации 20-го века признаётся распределением одной случайной величины, а на самом деле биномиальное распределение является распределением двух случайных величин, в котором первая случайная величина является независимой, а вторая зависима от первой.

Этот парадокс возник из-за ошибки в логике рассуждений и получил повсеместное распространение с середины 20-го века.

Подобно тому, как из полинома (из многочлена) методом дедукции получают бином (двучлен), а из бинома методом индукции получают полином, так и по аналогии из полиномиального распределения (из распределения с числом случайных величин больше двух) методом дедукции обязаны получить биномиальное распределение (распределение с двумя случайными величинами), а из биномиального распределения (из распределения с двумя случайными величинами) методом индукции обязаны получить полиномиальное распределение (распределение с числом случайных величин больше двух).

Этот парадокс настолько распространён и настолько прост, что может быть проиллюстрирован на элементарных примерах.

1. Пусть в полиноме 10 членов. Сократив в нём число членов до двух, получим два:10:5=2.

2. В биноме 2 члена. Умножив их на 5, получим, что в полиноме 10 членов: 2х5=10.

3. Пусть в полиномиальном распределении 10 случайных величин. Сократив число случайных величин до двух, по аналогии обязаны получить биномиальное распределение с двумя случайными величинами: 10:5=2. Однако принято считать, что биномиальное распределение это распределение одной случайной величины, иными словами, если 10 разделить на 5, то получится один!

Это первый парадоксальный результат: 10:5=1.

4. Число случайных величин биномиального распределения традиционной интерпретации, равное одному, умножив на 5 получим, что в полиномиальном распределении 5 случайных величин: 1х5=5.

Это второй парадоксальный результат, поскольку изначально исходили из того, что в полиномиальном распределении 10 случайных величин.

Во времена В. Я. Буняковского биномиальное распределение, как распределение двух случайных величин и на его основе полиномиальное распределение (оба так ещё не называемые) впервые были опубликованы им в 1846 году.

В современной записи биномиальное и полиномиальное распределения Буняковского имеют следующий вид:

Парадокс второго десятилетия 21-го века: Биномиальное распределение — распределение одной случайной величины, содержащей ровно успешно завершившихся испытаний Бернулли[править | править код]

См., например, Галанов Ю. И. Биномиальное распределение и его предельные формы http://hm.tpu.ru/geologi/galanov/lab_mathstat/lb1/bin0.htm

29 Биномиальное распределение -YouTube http://www.youtube.com/watch?v=vKOCLpNt1vM

Изучение биномиального распределения - Exponennta.ru http://www.exponenta.ru/educat/systemat/shelomovsky/lab/lab03.asp

Биномиальное распределение и его аппроксимация http://ofim.oscsbras.ru/~klokov/probability/simulations/approx.htm

Ровно означает только и ни чего иного: ни больше, ни меньше, ни неудачно завершённых испытаний, о чём подробно было рассмотрено в предыдущем парадоксе. Не биномиальное распределение, а распределение Пуассона определяет ровно прошедших событий, причём параметр, определяющий среднее значение , это ни что иное как математическое ожидание первой случайной величины биномиального распределения!

Если в последовательности испытаний Бернулли испытаний окончилось успешно с вероятностью каждого, а испытаний в той же последовательности окончилось неудачно с вероятностью каждого, то вероятность того, что испытаний окончилось успешно, равна числу сочетаний из по , умноженному на вероятность успешно окончившегося одного испытания, возведённую в степень : . И это есть ни что иное, как вероятность первой случайной величины, распределения двух случайных величин

Аналогично, если в той же последовательности испытаний Бернулли испытаний окончилось неудачно с вероятностью каждого, то вероятность того, что из испытаний окончились неудачно равна числу сочетаний из по , умноженному на вероятность неудачно окончившегося испытания, возведённую в степень . Это есть вероятность второй случайной величины биномиального распределения

Произведение вероятностей первой и второй случайных величин есть вероятность биномиального распределения — распределения двух случайных величин

Зависимость второй от первой случайной величины будет показана ниже.

Здесь же главное то, что это математическое ожидание первой случайной величины биномиального распределения — распределения двух случайных величин.

Она определяет равно успешно окончившихся испытаний в последовательности испытаний Бернулли. И эта величина аналогична в распределении Пуассона, которая определяет среднее значение (ровно событий) случайной величины.

Биномиальное распределение как задача разделения дискретного целого на две составные части[править | править код]

Разделение дискретного целого на две составные части случайного объёма осуществляют в последовательные моменты времени.

Дискретное целое — множество дискретных элементов. Элементы различимы между собой хотя бы одним признаком и не упорядочены (хаотично расположены).

Разделение множества на два подмножества осуществляют методом выбора без возвращения — выбранные элементы множества не возвращают во множество до полного его разделения (изъятия из него элементов).

Выбор произвольного элемента множества равновероятен и равен .

В начальный момент времени , не обязательно равный нулю , множество содержит различимых неупорядоченных элементов.

В первый момент времени из исходного множества, содержащего элементов, осуществляют выборку случайного объёма элементов множества.

Вероятность первой случайной величины , принявшей в первый момент времени числовое значение , равна числу сочетаний из по , умноженному на вероятность выбора одного элемента , возведённого в степень

Во второй момент времени вторая случайная величина вынуждена принять единственно возможное значение , поскольку в первый момент времени первая случайная величина приняла числовое значение . Условная вероятность второй случайной величины равна числу сочетаний из по , умноженному на вероятность выбора одного элемента , возведённого в степень

Произведение вероятностей первой и второй случайных величин есть вероятность биномиального распределения

где .

Таким образом, биномиальное распределение — это распределение двух случайных величин, в котором первая случайная величина является действительно независимой, а вторая зависима от первой.

Урновая модель биномиального распределения[править | править код]

Состав: одна исходная урна и две приёмных урн. Объем каждой из них не менее объёма исходной урны. Нумерация приёмных урн соответствует нумерации случайных величин биномиального распределения.

В начальный момент времени исходная урна содержит - множество различимых неупорядоченных элементов, а приёмные урны пусты.

Первая выборка

в первый момент времени направляется в первую приёмную урну с вероятностью каждого элемента.

Во второй момент времени все оставшиеся элементы исходной урны, образующие вторую выборку


направляются во вторую приёмную урну с вероятностью каждого элемента.

В результате исходная урна пуста, а все её элементы размещены в приёмных урнах.

После обработки результатов разбиения множества на два подмножества элементы возвращают на прежнее место, и урновая модель готова к проведению очередного цикла экспериментов.

Произведение вероятностей попадания элементов в две приёмные урны есть вероятность биномиального распределения .

Способ получения математического ожидания биномиального распределения[править | править код]

Этот способ относится к техническим задачам разделения дискретного целого на составные части и отличается от способа получения вероятностей биномиального распределения тем, что число выборок равно числу элементов исходного множества и каждая выборка имеет единичный объём: .

Целым является множество дискретных элементов, различимых (хотя бы одним признаком, например, порядковыми номерами) и не упорядоченных (хаотично расположенных). Множество содержит два элемента: .

Составные части множества — дискретные два подмножества , в сумме равные объёму множества: .

Разделение множества на подмножества осуществляют выборками без возвращения.

Выборки следуют во времени одна за другой.

В начальный момент времени , не обязательно равный нулю , множество содержит два различимых неупорядоченных элемента.

В первый момент времени из -множества осуществляют первую выборку единичного объёма с вероятностью .

Вероятность первой случайной величины биномиального распределения определяется числом сочетаний из по , умноженным на вероятность выбора одного элемента:

Во второй момент времени из оставшегося одного элемента исходного множества осуществляют вторую выборку единичного объёма с вероятностью .

Вероятность второй случайной величины при условии, что в первый момент времени вероятность первой случайной величины биномиального распределения приняла значение , определяется числом сочетаний из по , умноженным на вероятность выбора одного элемента:

Произведение этих вероятностей есть математическое ожидание биномиального распределения — распределения двух случайных величин, первая их них независимая,а вторая зависима от первой

Когда число случайных величин больше двух и, следовательно, число испытаний больше двух , имеет место математическое ожидание полиномиального распределения

Урновая модель получения математического ожидания биномиального распределения[править | править код]

Урновая модель получения математического ожидания биномиального распределения содержит одну исходную урну и две приёмных урн единичных объемов. Нумерация приёмных урн соответствует нумерации случайных величин биномиального распределения.

В начальный момент времени исходная урна содержит два различимых элемента, а приёмные урны пусты.

В первый момент времени из исходной урны выбирают один элемент и направляют его в первую приёмную урну с вероятностью .

Во второй момент времени оставшийся элемент исходной урны отправляют во вторую приёмную урну с вероятностью .

В результате исходная урна пуста, а её два элемента по одному размещены в приёмных урнах. После обработки результатов разбиения исходного множества на два подмножества все элементы из приёмных урн возвращают в исходную урну. На этом один цикл повторных зависимых экспериментов закончен, и урновая модель готова к проведению следующего цикла экспериментов.

Произведение вероятностей попадания по одному произвольному элементу в каждую приёмную урну есть математическое ожидание биномиального распределения.

Биномиальное распределение — распределение двух случайных величин в конечной последовательности испытаний Бернулли[править | править код]

Проводится конечная последовательность испытаний Бернулли, в результате которой испытаний окончились успешно с вероятностью каждое, а окончились неудачно с вероятностью каждое. Естественно, что .

Вероятность первой случайной величины биномиального распределения равна числу сочетаний из по , умноженному на вероятность одного успешно завершённого испытания Бернулли, возведённого в степень числа успешно завершённых испытаний

Вероятность второй случайной величины биномиального распределения равна числу сочетаний из по , умноженному на вероятность одного неудачно завершённого испытания Бернулли, возведённого в степень числа неудачно завершённых испытаний

Произведение вероятностей первой и второй случайных величин есть вероятность биномиального распределения как распределения двух случайных величин в последовательности независимых испытаний с двумя взаимоисключающими исходами каждое

где .

Биномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над объектами[править | править код]

Объекты: множество, его подмножества и их элементы как объективная реальность, существующая вне нас и независимо от нас. Биномиальное распределение это:

  • случайный процесс безвозвратного разделения последовательно во времени и в пространстве конечного - множества различимых неупорядоченных элементов на две части случайных объёмов, сумма которых равна объёму исходного множества: ,
  • разделение множества осуществляют выборками без возвращения (изъятые из множества элементы не возвращают обратно во множество до полного окончания экспериментов),
  • вероятность попадания одного произвольного элемента множества в каждое из подмножеств принимают за вероятность успеха (успешного завершения испытания) Бернулли распределения ,
  • вероятности успехов Бернулли распределения нормируют согласно аксиоматике Колмогорова и принимают неизменными до окончания испытаний,
  • очерёдность следования выборок принимают за очередность следования во времени и нумерацию случайных величин биномиального распределения,
  • случайный объём каждой выборки в момент времени принимают за числовое значение соответствующей случайной величины биномиального распределения,
  • если в первый момент времени первая случайная величина приняла значение

то во второй момент времени вторая случайная величина принимает значение

Биномиальное распределение как простейшая цепь Маркова[править | править код]

Биномиальное распределение появляется в последовательности двух испытаний, первое из них случайное независимое, а второе зависимое от первого испытания. Исходы испытаний конечны и счётны. По сути — это простейшая цепь Маркова. (, называемое начальным распределением цепи Маркова, для биномиального распределения не имеет смысла , поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы.)

Единственная переходная вероятность

заключается в том, что вторая случайная величина во второй момент времени вынуждена принять числовое значение, равное , при условии, что в первый момент времени первая случайная величина приняла случайное число .

Следовательно и вероятность биномиального распределения

как произведение первой независимой и второй зависимой случайных величин является цепью Маркова. Сумма вероятностей биномиального распределения равна единице. Следовательно, биномиальное распределение как цепь Маркова, является стахостической.

Переходная вероятность биномиального распределения является дискретной функцией. Следовательно, биномиальное распределение является марковским процессом с дискретным временем.

  • результаты каждого разбиения обрабатывают вероятностными методами, определяют технические характеристике всех выборок и принимают их за технические характеристики случайных величин биномиального распределения,
  • математическое ожидание биномиального распределения имеет место, когда число выборок равно числу элементов -множества и численно равно .

Заключение[править | править код]

По числу парадоксов (3) биномиальное распределение уступает только полиномиальному распределению (как минимум 5). Главная причина возникновения парадоксов — ошибки в логике. В частности, биномиальное не потому что его формула содержит биномиальные коэффициенты, а потому что оно первоначально было образовано из бинома (двучлена), именно поэтому обязано быть распределением двух случайных величин, о чём было известно В. Я. Буняковскому ещё 1846 году!

Новое — это хорошо забытое старое.

Главным распространителем парадоксов биномиального и полиномиального (мультиномиального) распределений в настоящее время является Википедия, которая нарушает и свои правила ВП МАРГ: http://ru.wikipedia.org/wiki/Биномиальное распределение и http://ru.wikipedia.org/wiki/Мультиномиальное распределение (даже не представила ни одного авторитетного источника). На втором месте со значительным отставанием от Википедии следует Российкая энциклопедия http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=Биномиальное распределение (хотя и представила только один авторитетный источник и только для биномиального распределения, но отдельной статьи по мультиномиальному распределению не имеет).

Известно, что если в мультиномиальном распределении (https://ru.wikipedia.org/wiki/Multinomial_distribinion)  сократить число случайных величин до двух (к=2) (см. в оригинале это выглядит так: When k = 2, the multinomial distribution is the binomial distribution), то получим биномиальное распределение https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.

Так сколько же на самом деле в биномиальном распределении случайных величин? Две или одна? По логике и по приведённым рассуждениям, естественно, напрашивается ответ, что две. Однако согласно   энциклопедии  Википедии биномиальное распределение содержит одну случайную величину. Это же явный парадокс. Именно с этим парадоксом я и борюсь с августа 2012 года!

Настало время, когда биномиальное распределение и полиномиальное распределение описаны на единой методологической основе:

методом индукции от биномиального распределения приходим к полиномиальному;

методом дедукции от полиномиального распределения приходим к биномиальному.

Если и найдётся человек-чудак, который всерьёз будет утверждать, что << биномиальное распределение — это распределение одной случайной величины >>, поприветствуем его как человека из прошлого века.

Литература[править | править код]

  1. История математики, т. 2. Математика XV11 века. М.: Наука, 1970, 300 С. Цитата на С.208]
  2. Буняковский В. Я. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ сочинение В. Я. БУНЯКОВСКОГО, ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, ОРДИНАРНОГО АКАДЕМИКА, ПРОФЕССОРА С. ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, ДОКТОРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК ПАРИЖСКОЙ АКАДЕМИИ. САНКТПЕТЕРБУРГ. В Типографии Императорской Академии Наук. 1846. 477 с. Цитата на С.6-8
  3. Биномиальное распределение. Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю. В Прохоров; Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Батюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. С.95.
  4. Большев Л. Н. Биномиальное распределение. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров.- М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. С. 49-50. ISBN 5-85270-265-X


См. также[править | править код]

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.