Определение[]
Биномиальное распределение — это распределение двух случайных величин и в дискретной временной последовательности , вторая случайная величина зависима от первой, числовые значения случайных величин и это числа успехов в испытаниях () с постоянными вероятностями успехов ( распределений Бернулли) и , пронормированных согласно аксиоматике Колмогорова .
Пространство элементарных событий | |
Вероятность | |
Максимальная вероятность
(при математическом ожидании распределения) |
|
Математическое ожидание
(как максимальное произведение математических ожиданий случайных величин) |
|
Дисперсия | |
Максимальная дисперсия
(при математическом ожидании распределения) |
|
Ковариационная матрица | , где |
Корреляционная матрица | , где |
- критерий |
Биномиальная схема повторных циклов случайных зависимых экспериментов[]
Каждый цикл экспериментов осуществляют методом выбора без возвращения в дискретной временной последовательности
Каждая из случайных величин распределения
это наступлений одного события
в - ый момент времени при условии, что в - ый момент произошло наступлений предшествующего события , — распределения Бернулли с успехом, вероятности которых нормированы
и неизменны во время проведения экспериментов.
Если в каждом цикле экспериментов вероятность наступления события равна , то биномиальная вероятность равна вероятности того, что при экспериментах события наступят раз соответственно.
Случайная величина биномиального распределения в соответствующей точке дискретной временной последовательности имеет:
пространство элементарных событий
вероятность
математическое ожидание
и дисперсию
Пространство элементарных событий биномиального распределения есть сумма точечных пространств элементарных событий его случайных величин, образующих дискретную последовательность точек цикла, а вероятность биномиального распределения — произведение вероятностей его случайных величин.
Технические задачи и технические результаты[]
Для получения биномиального распределения необходимо решить две технические задачи и получить технические результаты, относящиеся к математической физике [1], [2].
Первая и вторая технические задачи — соответственно получение вероятности и математического ожидания биномиального распределения.
Технические результаты — набор технических параметров, с одной стороны, минимально необходимый для описания биномиального распределения и его случайных величин, с другой стороны, позволяющий при необходимости расширить число параметров с целью получения дополнительных сведений о распределении, например, таких как корреляционная матрица, ковариационная матрица и другие.
Минимально необходимый набор параметров при решении первой технической задачи: пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание и дисперсия каждой случайной величины распределения, дисперсия распределения и произведение математических ожиданий его случайных величин как исходное выражение для решения второй технической задачи.
При решении второй технической задачи минимально необходимый набор параметров аналогичен предыдущему набору. Исключен из-за ненадобности один параметр — произведение математических ожиданий случайных величин и дополнен двумя параметрами — максимальной вероятностью и максимальной дисперсией биномиального распределения.
Биномиальное распределение — совместное распределение двух случайных величин[]
определённых на точечных пространствах элементарных событий
и принимающих в дискретные последовательные моменты времени
целые неотрицательные значения
взаимосвязанные условием
согласно которому
если в первый момент времени первая случайная величина приняла значение
то во второй момент времени вторая случайная величина принимает значение
Характер зависимости случайных величин в каждом цикле экспериментов:[]
- только первая случайная величина является независимой, а вторая случайная величина зависима от первой;
- если первая случайная величина в первый момент времени приняла своё максимально возможное значение, равное , то вторая случайная величина во второй момент времени обязана принять своё минимальное (нулевое) значение в противном случае не будет выполнено условие суммирования числовых значений случайных величин распределения, согласно которому ;
- если первая случайная величина в первый момент времени приняла своё минимальное (нулевое) значение , то вторая случайная величина во второй момент времени обязана принять своё максимальное значение в противном случае не будет выполнено условие .
Характеристики случайных величин биномиального распределения:[]
пространство элементарных событий
вероятность
математическое ожидание
дисперсия
производящая
и характеристическая
функции.
Варианты получения математического ожидания биномиального распределения[]
Два варианта: как максимум произведения математических ожиданий его случайных величин: как максимум вероятности распределения.
Необходимые
и достаточные
условия получения математического ожидания биномиального распределения.
Математическое ожидание
максимальная вероятность
равна математическому ожиданию,
максимальная дисперсия
Пространство элементарных событий биномиального распределения при получении его математического ожидания
расположено в точках временной последовательности.
Урновая модель получения математического ожидания биномиального распределения содержит одну исходную урну и две приёмные урны единичных объемов. Нумерация приёмных урн соответствует нумерации случайных величин биномиального распределения.
В начальный момент времени исходная урна содержит два различимых элемента, а приёмные урны пусты.
В первый момент времени из исходной урны выбирают один элемент и направляют его в первую приёмную урну с вероятностью .
Во второй момент времени оставшийся элемент исходной урны отправляют во вторую приёмную урну с вероятностью .
В результате исходная урна пуста, а её два элемента по одному размещены в приёмных урнах. После обработки результатов разбиения исходного множества на два подмножества все элементы из приёмных урн возвращают в исходную урну. На этом один цикл повторных зависимых экспериментов закончен, и урновая модель готова к проведению следующего цикла экспериментов.
Произведение вероятностей попадания по одному произвольному элементу в каждую приёмную урну есть математическое ожидание биномиального распределения.
Изменение характеристик биномиального распределения в окрестности его математического ожидания приведено в таблице 2.
Числовые значения первой случайной величины | Числовые значения второй случайной величины | Вероятность распределения | Дисперсия распределения | Математическое ожидание распределения |
1 | 1 | 0,50 | 0,75 | 0,50 |
2 | 0 | 0,25 | 0,50 | |
0 | 2 | 0,25 | 0,50 |
Вероятность биномиального распределения как функция двух переменных является симметричной функцией относительно своего математического ожидания.
Биномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над объектами[]
Объекты: множество, его подмножества и их элементы как объективная реальность, существующая вне нас и независимо от нас. Биномиальное распределение это:
- случайный процесс безвозвратного разделения последовательно во времени и в пространстве конечного - множества различимых неупорядоченных элементов на две части случайных объёмов, сумма которых равна объёму исходного множества: ,
- разделение множества осуществляют выборками без возвращения (изъятые из множества элементы не возвращают обратно во множество до полного окончания экспериментов),
- вероятность попадания одного произвольного элемента множества в каждое из подмножеств принимают за вероятность соответстующей случайной величины распределения Бернулли с положительным исходом ,
- эти вероятности неизменны в процессе разбиения множества и пронормированы согласно аксиоматике Колмогорова,
- очерёдность следования выборок принимают за очередность следования во времени и нумерацию случайных величин биномиального распределения,
- случайный объём каждой выборки в момент времени принимают за числовое значение соответствующей случайной величины биномиального распределения,
- первая случайная величина биномиального распределения является независимой и может принимать любое случайное значение в пределах от нуля до числового значения исходного множества ,
- вторая случайная величина биномиального распределения принимает числовое значение , равное числу элементов множества оставшееся после изъятия из него первой выборкой случайного числа элементов ,
- результаты каждого разбиения обрабатывают вероятностными методами, определяют технические характеристике всех выборок и принимают их за технические характеристики случайных величин биномиального распределения,
- минимально необходимый набор технических характеристик случайных величин и биномиального распределения в целом это: пространство элементарных событий, вероятность , математическое ожидание и дисперсия,
- математическое ожидание биномиального распределения имеет место, когда число выборок равно числу элементов -множества и численно равно .
Биномиальное распределение как цепь Маркова[]
Биномиальное распределение появляется в последовательности двух испытаний, первое из них случайное независимое, а второе зависимое от первого испытания. Исходы испытаний конечны и счётны. По сути — это простейшая цепь Маркова. (, называемое начальным распределением цепи Маркова, для биномиального распределения не имеет смысла , поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы.)
Единственная переходная вероятность
заключается в том, что вторая случайная величина во второй момент времени вынуждена принять числовое значение, равное , при условии, что в первый момент времени первая случайная величина приняла случайное значение, равное .
Следовательно, и вероятность биномиального распределения
как произведение первой независимой и второй зависимой случайных величин, является цепью Маркова.
Сумма всех вероятностей биномиального распределения равна единице . Следовательно, биномиальное распределение как цепь Маркова, является стахостической.
Переходная вероятность биномиального распределения является дискретной функцией. Следовательно, биномиальное распределение является марковским процессом с дискретным временем
Сравнительная оценка характеристик биномиальных распределений настоящей и традиционной интерпретаций[]
Цель сравнительной оценки показать, что биномиальное распределение настоящей интерпретации (таблица 1) соответствует, а биномиальное распределение традиционной интерпретации не соответствует современным требованиям аксиоматики Колмогорова.
Несоответствие состоит в том, что, во-первых, биномиальное распределение традиционной интерпретации представлено распределением одной случайной величины, а по своей сути и определению оно должно быть распределением двух случайных величин.
Во-вторых, при неограниченном увеличении числа независимых испытаний ( ) математическое ожидание () биномиального распределения традиционной интерпретации устремляется к бесконечности, что недопустимо, поскольку сумма всех вероятностей распределения, включая и его математическое ожидание, в любом распределении обязана быть равной единице (см., например, таблицу 1). Кроме того, математическое ожидание () и дисперсия () первой случайной величины биномиального распределения настоящей интерпретации приняты за математическое ожидание () и дисперсию () биномиального распределения традиционной интерпретации.
Литература[]
- ↑ http://ru.wikipedia.org/wiki/ Математическая физика
- ↑ Голоборщенко В. С. Основы теории дискретных распределений. Часть 5: Как технические задачи и технические результаты математической физики. // Проблемы создания информационных технологий. М.: ООО Техполиграфцентр, 2010. Вып. 19, с. 31–36.
См.также[]
- Распределение вероятностей
- Биномиальное распределение одной случайной величины
- Биномиальное распределение Буняковского
- Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
- Биномиальное распределение:парадоксы
- Полиномиальное распределение независимых случайных величин
- Полиномиальное распределение зависимых случайных величин
- Полиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
- Полиномиальное распределение: парадоксы