Определение[править | править код]

Биномиальное распределение — это распределение двух случайных величин и в дискретной временной последовательности , вторая случайная величина зависима от первой, числовые значения случайных величин и это числа успехов в испытаниях () с постоянными вероятностями успехов ( распределений Бернулли) и , пронормированных согласно аксиоматике Колмогорова .

Таблица 1 – Характеристики биномиального распределения двух случайных величин (интерпретации 21-го века)
Пространство элементарных событий
Вероятность
Максимальная вероятность

(при математическом ожидании распределения)

Математическое ожидание

(как максимальное произведение математических ожиданий

случайных величин)

Дисперсия
Максимальная дисперсия

(при математическом ожидании распределения)

Ковариационная матрица , где
Корреляционная матрица , где
- критерий

Биномиальная схема повторных циклов случайных зависимых экспериментов[править | править код]

Каждый цикл экспериментов осуществляют методом выбора без возвращения в дискретной временной последовательности

Каждая из случайных величин распределения

это наступлений одного события

в - ый момент времени при условии, что в - ый момент произошло наступлений предшествующего события , — распределения Бернулли с успехом, вероятности которых нормированы

и неизменны во время проведения экспериментов.

Если в каждом цикле экспериментов вероятность наступления события равна , то биномиальная вероятность равна вероятности того, что при экспериментах события наступят раз соответственно.

Случайная величина биномиального распределения в соответствующей точке дискретной временной последовательности имеет:

пространство элементарных событий

вероятность

математическое ожидание

и дисперсию

Пространство элементарных событий биномиального распределения есть сумма точечных пространств элементарных событий его случайных величин, образующих дискретную последовательность точек цикла, а вероятность биномиального распределения — произведение вероятностей его случайных величин.

Технические задачи и технические результаты[править | править код]

Для получения биномиального распределения необходимо решить две технические задачи и получить технические результаты, относящиеся к математической физике [1], [2].

Первая и вторая технические задачи — соответственно получение вероятности и математического ожидания биномиального распределения.

Технические результаты — набор технических параметров, с одной стороны, минимально необходимый для описания биномиального распределения и его случайных величин, с другой стороны, позволяющий при необходимости расширить число параметров с целью получения дополнительных сведений о распределении, например, таких как корреляционная матрица, ковариационная матрица и другие.

Минимально необходимый набор параметров при решении первой технической задачи: пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание и дисперсия каждой случайной величины распределения, дисперсия распределения и произведение математических ожиданий его случайных величин как исходное выражение для решения второй технической задачи.

При решении второй технической задачи минимально необходимый набор параметров аналогичен предыдущему набору. Исключен из-за ненадобности один параметр — произведение математических ожиданий случайных величин и дополнен двумя параметрами — максимальной вероятностью и максимальной дисперсией биномиального распределения.

Биномиальное распределение — совместное распределение двух случайных величин[править | править код]

определённых на точечных пространствах элементарных событий

и принимающих в дискретные последовательные моменты времени

целые неотрицательные значения

взаимосвязанные условием

согласно которому

если в первый момент времени первая случайная величина приняла значение

то во второй момент времени вторая случайная величина принимает значение

Характер зависимости случайных величин в каждом цикле экспериментов:[править | править код]

  • только первая случайная величина является независимой, а вторая случайная величина зависима от первой;
  • если первая случайная величина в первый момент времени приняла своё максимально возможное значение, равное , то вторая случайная величина во второй момент времени обязана принять своё минимальное (нулевое) значение в противном случае не будет выполнено условие суммирования числовых значений случайных величин распределения, согласно которому ;
  • если первая случайная величина в первый момент времени приняла своё минимальное (нулевое) значение , то вторая случайная величина во второй момент времени обязана принять своё максимальное значение в противном случае не будет выполнено условие .

Характеристики случайных величин биномиального распределения:[править | править код]

пространство элементарных событий

вероятность

математическое ожидание

дисперсия

производящая

и характеристическая

функции.

Варианты получения математического ожидания биномиального распределения[править | править код]

Два варианта: как максимум произведения математических ожиданий его случайных величин: как максимум вероятности распределения.

Необходимые

и достаточные

условия получения математического ожидания биномиального распределения.

Математическое ожидание

максимальная вероятность

равна математическому ожиданию,

максимальная дисперсия

Пространство элементарных событий биномиального распределения при получении его математического ожидания

расположено в точках временной последовательности.

Урновая модель получения математического ожидания биномиального распределения содержит одну исходную урну и две приёмные урны единичных объемов. Нумерация приёмных урн соответствует нумерации случайных величин биномиального распределения.

В начальный момент времени исходная урна содержит два различимых элемента, а приёмные урны пусты.

В первый момент времени из исходной урны выбирают один элемент и направляют его в первую приёмную урну с вероятностью .

Во второй момент времени оставшийся элемент исходной урны отправляют во вторую приёмную урну с вероятностью .

В результате исходная урна пуста, а её два элемента по одному размещены в приёмных урнах. После обработки результатов разбиения исходного множества на два подмножества все элементы из приёмных урн возвращают в исходную урну. На этом один цикл повторных зависимых экспериментов закончен, и урновая модель готова к проведению следующего цикла экспериментов.

Произведение вероятностей попадания по одному произвольному элементу в каждую приёмную урну есть математическое ожидание биномиального распределения.

Изменение характеристик биномиального распределения в окрестности его математического ожидания приведено в таблице 2.

Таблица 2 – Окрестности математического ожидания биномиального распределения двух случайных величин (интерпретации 21-го века)
Числовые значения первой случайной величины Числовые значения второй случайной величины Вероятность распределения Дисперсия распределения Математическое ожидание распределения
1 1 0,50 0,75 0,50
2 0 0,25 0,50
0 2 0,25 0,50

Вероятность биномиального распределения как функция двух переменных является симметричной функцией относительно своего математического ожидания.

Биномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над объектами[править | править код]

Объекты: множество, его подмножества и их элементы как объективная реальность, существующая вне нас и независимо от нас. Биномиальное распределение это:

  • случайный процесс безвозвратного разделения последовательно во времени и в пространстве конечного - множества различимых неупорядоченных элементов на две части случайных объёмов, сумма которых равна объёму исходного множества: ,
  • разделение множества осуществляют выборками без возвращения (изъятые из множества элементы не возвращают обратно во множество до полного окончания экспериментов),
  • вероятность попадания одного произвольного элемента множества в каждое из подмножеств принимают за вероятность соответстующей случайной величины распределения Бернулли с положительным исходом ,
  • очерёдность следования выборок принимают за очередность следования во времени и нумерацию случайных величин биномиального распределения,
  • случайный объём каждой выборки в момент времени принимают за числовое значение соответствующей случайной величины биномиального распределения,
  • первая случайная величина биномиального распределения является независимой и может принимать любое случайное значение в пределах от нуля до числового значения исходного множества ,
  • вторая случайная величина биномиального распределения принимает числовое значение , равное числу элементов множества оставшееся после изъятия из него первой выборкой случайного числа элементов ,
  • результаты каждого разбиения обрабатывают вероятностными методами, определяют технические характеристике всех выборок и принимают их за технические характеристики случайных величин биномиального распределения,
  • математическое ожидание биномиального распределения имеет место, когда число выборок равно числу элементов -множества и численно равно .

Биномиальное распределение как цепь Маркова[править | править код]

Биномиальное распределение появляется в последовательности двух испытаний, первое из них случайное независимое, а второе зависимое от первого испытания. Исходы испытаний конечны и счётны. По сути — это простейшая цепь Маркова. (, называемое начальным распределением цепи Маркова, для биномиального распределения не имеет смысла , поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы.)

Единственная переходная вероятность

заключается в том, что вторая случайная величина во второй момент времени вынуждена принять числовое значение, равное , при условии, что в первый момент времени первая случайная величина приняла случайное значение, равное .

Следовательно, и вероятность биномиального распределения

как произведение первой независимой и второй зависимой случайных величин, является цепью Маркова.

Сумма всех вероятностей биномиального распределения равна единице . Следовательно, биномиальное распределение как цепь Маркова, является стахостической.

Переходная вероятность биномиального распределения является дискретной функцией. Следовательно, биномиальное распределение является марковским процессом с дискретным временем

Сравнительная оценка характеристик биномиальных распределений настоящей и традиционной интерпретаций[править | править код]

Цель сравнительной оценки показать, что биномиальное распределение настоящей интерпретации (таблица 1) соответствует, а биномиальное распределение традиционной интерпретации не соответствует современным требованиям аксиоматики Колмогорова.

Несоответствие состоит в том, что, во-первых, биномиальное распределение традиционной интерпретации представлено распределением одной случайной величины, а по своей сути и определению оно должно быть распределением двух случайных величин.

Во-вторых, при неограниченном увеличении числа независимых испытаний ( ) математическое ожидание () биномиального распределения традиционной интерпретации устремляется к бесконечности, что недопустимо, поскольку сумма всех вероятностей распределения, включая и его математическое ожидание, в любом распределении обязана быть равной единице (см., например, таблицу 1). Кроме того, математическое ожидание () и дисперсия () первой случайной величины биномиального распределения настоящей интерпретации приняты за математическое ожидание () и дисперсию () биномиального распределения традиционной интерпретации.

Литература[править | править код]

  1. http://ru.wikipedia.org/wiki/ Математическая физика
  2. Голоборщенко В. С. Основы теории дискретных распределений. Часть 5: Как технические задачи и технические результаты математической физики. // Проблемы создания информационных технологий. М.: ООО Техполиграфцентр, 2010. Вып. 19, с. 31–36.

См.также[править | править код]

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.