Определение[править | править код]

Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей случайной величины , принимающей целочисленные значения с вероятностями

где — параметр биномиального распределения, иногда называемый «вероятностью положительного исхода»; одно из основных распределений вероятностей, порождаемых конечным множеством независимых случайных экспериментов (испытаний).

Традиционная интерпретация. Пусть — последовательность независимых случайных величин (так называемых бернуллиевских случайных величин), каждая из которых может принимать лишь два значения и с вероятностями и соответственно. Случайные величины можно трактовать как результаты независимых испытаний, причём в случае «положительного исхода» и в случае «отрицательного исхода» -го испытания. Если общее количество испытаний фиксировано, то такая схема называется испытаниями Бернулли, причём суммарное количество «положительных исходов»

подчиняется биномиальному распределению с параметрами .

Производящая функция биномиального распределения — -ая степень бинома , разложение которой в сумму по формуле бинома Ньютона (отсюда название «биномиальное распределение») имеет вид:

Моменты биномиального распределения выражаются формулами:

асимметрия

эксцесс

Характеристическая функция

Функция распределения биномиальной случайной величины имеет вид

где — целая часть , причём справедливо так называемое «нормальное приближение»

где — функция распределения стандартного нормального распределения, а равномерно для всех . Существуют и другие нормальные приближения биномиального распределения с остатками более высокого порядка точности.

При функция биномиального распределения выражается в терминах функции стандартного нормального распределения асимптотической формулой (теорема Муавра-Лапласа)

где — бета-функция Эйлера.

Если количество независимых экспериментов велико, а вероятность мала, то биномиальные вероятности приближенно выражаются в терминах распределения Пуассона:

При этом если и , то равномерно относительно всех из открытого интервала имеет место асимптотическая формула

где .

Биномиальное распределение не может быть распределением одной случайной величины[править | править код]

Доказательство первое[править | править код]

Если биномиальное распределение одной случайной величины имеет математическое ожидание , то при условии математическое ожидание биномиального распределения одной случайной величины будет превышать единицу , что недопустимо, поскольку согласно второй аксиоме Колмогорова (см. Аксиоматика Колмогорова) сумма всех вероятностей любого распределения обязана быть равной единице.

Что и требовалось доказать

Доказательство второе - Буняковского[править | править код]

Биномиальное распределение двух случайных величин было получено путем разложения бинома по степеням и делением каждого члена разложения на весь бином. [1]

В современной записи биномиальное распределение Буняковского имеют следующий вид:

Литература[править | править код]

  1. Буняковский В. Я. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ сочинение В. Я. БУНЯКОВСКОГО, ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, ОРДИНАРНОГО АКАДЕМИКА, ПРОФЕССОРА С. ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, ДОКТОРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК ПАРИЖСКОЙ АКАДЕМИИ. САНКТПЕТЕРБУРГ. В Типографии Императорской Академии Наук. 1846. 477 с.

См. также[править | править код]

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.