Определение[]
Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей случайной величины , принимающей целочисленные значения с вероятностями
где — параметр биномиального распределения, иногда называемый «вероятностью положительного исхода»; одно из основных распределений вероятностей, порождаемых конечным множеством независимых случайных экспериментов (испытаний).
Традиционная интерпретация. Пусть — последовательность независимых случайных величин (так называемых бернуллиевских случайных величин), каждая из которых может принимать лишь два значения и с вероятностями и соответственно. Случайные величины можно трактовать как результаты независимых испытаний, причём в случае «положительного исхода» и в случае «отрицательного исхода» -го испытания. Если общее количество испытаний фиксировано, то такая схема называется испытаниями Бернулли, причём суммарное количество «положительных исходов»
подчиняется биномиальному распределению с параметрами .
Производящая функция биномиального распределения — -ая степень бинома , разложение которой в сумму по формуле бинома Ньютона (отсюда название «биномиальное распределение») имеет вид:
Моменты биномиального распределения выражаются формулами:
асимметрия
эксцесс
Характеристическая функция
Функция распределения биномиальной случайной величины имеет вид
где — целая часть , причём справедливо так называемое «нормальное приближение»
где — функция распределения стандартного нормального распределения, а равномерно для всех . Существуют и другие нормальные приближения биномиального распределения с остатками более высокого порядка точности.
При функция биномиального распределения выражается в терминах функции стандартного нормального распределения асимптотической формулой (теорема Муавра-Лапласа)
где — бета-функция Эйлера.
Если количество независимых экспериментов велико, а вероятность мала, то биномиальные вероятности приближенно выражаются в терминах распределения Пуассона:
При этом если и , то равномерно относительно всех из открытого интервала имеет место асимптотическая формула
где .
Биномиальное распределение не может быть распределением одной случайной величины[]
Доказательство первое[]
Если биномиальное распределение одной случайной величины имеет математическое ожидание , то при условии математическое ожидание биномиального распределения одной случайной величины будет превышать единицу , что недопустимо, поскольку согласно второй аксиоме Колмогорова (см. Аксиоматика Колмогорова) сумма всех вероятностей любого распределения обязана быть равной единице.
Что и требовалось доказать
Доказательство второе - Буняковского[]
Биномиальное распределение двух случайных величин было получено путем разложения бинома по степеням и делением каждого члена разложения на весь бином. [1]
В современной записи биномиальное распределение Буняковского имеют следующий вид:
Литература[]
- ↑ Буняковский В. Я. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ сочинение В. Я. БУНЯКОВСКОГО, ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, ОРДИНАРНОГО АКАДЕМИКА, ПРОФЕССОРА С. ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, ДОКТОРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК ПАРИЖСКОЙ АКАДЕМИИ. САНКТПЕТЕРБУРГ. В Типографии Императорской Академии Наук. 1846. 477 с.
См. также[]
- Распределение вероятностей
- Биномиальное распределение Буняковского
- Биномиальное распределение двух случайных величин
- Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
- Биномиальное многомерное распределение
- Биномиальное распределение: парадоксы
- Полиномиальное распределение независимых случайных величин
- Полиномиальное распределение зависимых случайных величин
- Полиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
- Полиномиальное распределение: парадоксы