Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли

Определение

Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли— это распределение двух случайных величин $X_1$ и $X_2$ в дискретной временной последовательности $t_1,t_2$, вторая случайная величина зависима от первой, числовые значения случайных величин $n_1$ и $n_2$ это числа успехов в $n$ испытаниях ($n_1+n_2=n$) с постоянными вероятностями успехов ( Бернулли распределений) $p_1 = p_2$, пронормированных $p_1+p_2=1$ согласно аксиоматике Колмогорова .

Технические задачи и технические результаты

Для получения биномиального распределения необходимо решить две технические задачи и получить технические результаты, относящиеся к математической физике ,  .

Первая и вторая технические задачи — соответственно получение вероятности и математического ожидания биномиального распределения.

Технические результаты — набор технических параметров, с одной стороны, минимально необходимый для описания биномиального распределения и его случайных величин, с другой стороны, позволяющий при необходимости расширить число параметров с целью получения дополнительных сведений о распределении, например, таких как корреляционная матрица, ковариационная матрица, $\chi^2$ -квадрат критерий и другие.

Минимально необходимый набор параметров при решении первой технической задачи: пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание и дисперсия каждой случайной величины распределения, дисперсия распределения и произведение математических ожиданий его случайных величин как исходное выражение для решения второй технической задачи.

При решении второй технической задачи минимально необходимый набор параметров аналогичен предыдущему набору. Исключен из-за ненадобности один параметр — произведение математических ожиданий случайных величин и дополнен двумя параметрами — максимальной вероятностью и максимальной дисперсией биномиального распределения (таблица 1).

Таблица 1 – Характеристики биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли

Пространство элементарных событий	$\sum_{i=1}^{k=2}\Omega_i(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})$
Вероятность	$\prod_{i=1}^{k=2}P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! n_2!}2^{-n}$
Максимальная вероятность (при математическом ожидании распределения)	$\left(\frac{n!}{n_i!n_2!}2^{-n}\right)_{max}= \frac{1}{2}$
Математическое ожидание (как максимальное произведение математических ожиданий случайных величин)	$\left(\prod_{i=1}^{k=2}E(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1})\right)_{max}=\frac{1}{2}$
Дисперсия	$\sum _{i=1}^{k=2}D(t_{i},X_{i}\mid t_{i-1},X_{i-1})=\sum _{i=1}^{2}(n-n_{i-1}){\frac {k-1}{k^{2}}}$
Максимальная дисперсия (при математическом ожидании распределения)	$D(X_{1},X_{2}|X_{1})_{max}=\left(\sum _{i-1}^{k=2}(n-n_{i-1})p_{i}q_{i}\right)_{max}={\frac {3}{4}}$
Ковариационная матрица	$B=\| b_{ij} \|$, где$\rho _{ij} = \begin{cases} 1, & i=j,\\ 0, & i \not= j \end{cases}$
Корреляционная матрица	$\Rho=\| \rho_{ij} \|$, где$\rho _{ij} = \begin{cases} 1, & i=j,\\ 0, & i \not= j \end{cases}$
$\chi^2$ - критерий	$\chi^2=\sum_{i=1}^2 [X_i-(n -n_{i-1})p_i^{(0)}]^2/(n -n_{i-1})p_i^{(0)}=$$=-n+\sum_{i=1}^2X_i^2 /(n-n_{i-1})p_i^{(0)}$

Схема повторных циклов случайных зависимых экспериментов с равновероятными успехами испытаний Бернулли

Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли появляется в так называемой биномиальной схеме повторных циклов случайных зависимых экспериментов. Каждый цикл экспериментов осуществляют методом выбора без возвращения в дискретной временной последовательности $t_1,\quad t_2$, номера точек которой соответствуют номерам случайных величин.

Каждая из случайных величин распределения $X_i=n_i|X_{i-1}=n_{i-1}$ — это число $n_i$ наступлений одного соответствующего события

$x_i,\quad i=1,\quad 2=k$

в $i$ - ый момент времени при условии, что в $(i-1)$ - ый момент произошло $n_{i-1}$ наступлений предшествующего события $x_{i-1}$ с положительным исходом, все вероятности которых равны $p_1 = p_2$ нормированы $p_1+p_2=1$ и неизменны во время проведения экспериментов.

Если в каждом цикле экспериментов вероятность наступления события $x_i$ равна $p_i$, то биномиальная вероятность равна вероятности того, что при $n$ экспериментах события $x_1, \quad x_2$ наступят $n_1, \quad n_2$ раз соответственно.

Случайная величина биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли в соответствующей точке дискретной временной последовательности $t_1,\quad t_2$ имеет:

пространство элементарных событий

$\Omega_i(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=[0 \le n_i \le n-\ldots-n_{i-1}],$

вероятность

$P(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})={n-\ldots-n_{i-1}\choose n_i}k^{-1}={n-\ldots-n_{i-1}\choose n_i}2^{-1},$

математическое ожидание

$E(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=(n-\ldots-n_{i-1})k^{-1}=(n-\ldots-n_{i-1})2^{-1}$

и дисперсию

$D(t_{i},X_{i}\mid t_{i-1},X_{i-1})=(n-\ldots -n_{i-1}){\frac {k-1}{k^{2}}}=(n-\ldots -n_{i-1}){\frac {1}{4}}.$

Пространство элементарных событий биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли есть сумма точечных пространств элементарных событий его случайных величин, образующих дискретную последовательность точек $t_1,\quad t_2$ цикла, а вероятность биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли — произведение вероятностей его случайных величин.

Вероятностная схема биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли

содержит циклы повторных зависимых экспериментов. Количество циклов не ограничено. В каждом цикле число экспериментов равно числу случайных величин распределения. Первый эксперимент является независимым, а второй эксперимент в цикле зависим от результата первого эксперимента. Все эксперименты осуществляют методом выбора без возвращения — изъятые элементы не возвращают на свое прежнее место до полного окончания данного цикла.

Случайные события – выборки случайных объемов $n_i,\quad i=1,2=k, \sum_{i=1}^{k=2}n_i=n$ осуществляют из $n$ - множества различимых (различающиеся между собой хотя бы одним признаком, например, порядковым номером) неупорядоченных (хаотично расположенных) элементов и следуют в последовательные моменты времени $t_1,\quad t_2$.

Число выборок $k=2$ равно числу случайных величин распределения.

Случайные величины $X_1, \quad X_2$ распределения — появления случайного числа элементов $n$ - множества в $n_i$ - подмножествах $n_i, n_2$, с равными вероятностями $p_i=p_2=k^{-1}=2^{-1}$ каждого элемента.

Попадание одного произвольного элемента $n$ - множества в одно из подмножеств — независимое событие — испытание Бернулли с положительным исходом; вероятности этих испытаний равны $p_1 = p_2$, нормированы $p_1+p_2=1$ и неизменны во время проведения повторных зависимых экспериментов.

Один цикл повторных зависимых экспериментов, осуществляемых методом выбора без возвращения — последовательность $k=2$ выборок случайных объёмов $n_1, \quad n_2$, обработка результатов разделения $n$ - множества на два подмножества $n_1, \quad n_2$ в последовательные моменты времени $t_1,\quad t_2$ и возврат всех $n$ изъятых элементов на прежнее место к началу следующего цикла.

Совместное проявление вероятностей попадания $k=2$ выборок случайных объёмов $n_1, \quad n_2$ в одном цикле экспериментов — вероятность биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли $p_i=p_2=k^{-1}=2^{-1}$.

Урновая модель биномиального распределения с равновероятными успешными исходами испытаний Бернулли

Состав: одна исходная урна и две приёмных урн. Объем каждой из них не менее объёма исходной урны.

Нумерация приёмных урн соответствует нумерации случайных величин биномиального распределения.

В начальный момент времени $t_0$ исходная урна содержит $n$ - множество различимых неупорядоченных элементов, а все приёмные урны пусты.

В первый момент времени $t_1$ из исходной урны осуществляют первую выборку $n_1, 0 \le n_1 \le n$ случайного объёма и направляют её в первую приёмную урну с вероятностью $p_1=k^{-1}=2^{-1}$ каждого элемента.

Во второй момент времени $t_2$ все элементы $n_2=n-n_1$, оставшиеся в исходной урне, направляют во вторую приёмную урну с вероятностью $p_2=k^{-1}=2^{-1}$ каждого.

В результате исходная урна пуста, а все её элементы размещены в приёмных урнах.

После обработки результатов разбиения исходного $n$ - множества на два подмножества все элементы из приёмных урн возвращают в исходную урну.

На этом один цикл повторных зависимых экспериментов закончен, и урновая модель готова к проведению следующего аналогичного цикла.

Произведение вероятностей попадания $n_1, 0\le n_1\le n, \quad n_2=n-n_1$ элементов исходного $n$ - множества в первую и вторую урны соответственно есть вероятность биномиального распределения с равновероятными исходами испытаний Бернулли.

Два способа получения вероятностей биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли

Первый способ относится к способам разделения дискретного целого на две части случайных объёмов, в сумме равные исходному целому.

Второй способ является частным случаем способа разделения дискретного целого на несколько частей случайных объёмов, в сумме равных исходному целому.

Первый способ

Целым является множество дискретных элементов, различимых (хотя бы одним признаком, например, порядковыми номерами) и не упорядоченных (хаотично расположенных): $2\le n<\infty$.

Составные части — два дискретных подмножества, в сумме равные объёму множества.

Разделение множества на подмножества осуществляют выборками без возвращения.

Выборки следуют во времени одна за другой.

В начальный момент времени $t_0$, не обязательно равный нулю $t_0 \ne 0$, множество содержит $n, 2\le n < \infty$ различимых неупорядоченных элементов.

В первый момент времени $t_1$ из $n$-множества осуществляют первую выборку случайного объёма $n_1, 0 \le n_1 \le n$ с вероятностью $p_1=2^{-1}$ каждого её элемента.

Вероятность первой случайной величины $P_1(t_1,\quad X_1=n_1)$ биномиального распределения определяется числом сочетаний ${n \choose n_1}$ из $n$ по $n_1$, умноженным на вероятность $p_1=2^{-1}$ выбора одного элемента, возведённую в степень числа $n_1$ выбранных элементов:

$P_1( t_1,X_1=n_1)= {n \choose n_1}p_1^{n_1}= {n \choose n_1}2^{-n_1}.$

Во второй момент времени $t_2$ все оставшиеся $n-n_1$ элементы исходного множества выбирают с вероятностью $p_2=2^{-1}$ каждого её элемента.

$P_2(t_2, X_2=n_2 \mid t_1,X_1=n_1)={n-n_1 \choose n_2}2^{-n_2}.$

Произведение двух вероятностей есть вероятность биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли

$\prod_{i=1}^{k=2}P_i(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1!n_2!}2^{-n},$

$\sum_{i=1}^{k=2}n_i=n, \quad \sum_{i=1}^{k=2}p_i=1.$

Когда число случайных величин равно $k,\quad 0\le k \le n$ имеют место вероятность полиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли.

$\prod_{i=1}^kP_i(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! \cdots n_k!}k^{-n},$

$\sum_{i=1}^kn_i=n, \quad \sum_{i=1}^kp_i=1.$

Второй способ

Способ получения вероятности биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли может быть получен как частный случай способа получения вероятности полиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли при сокращении в последнем числа случайных величин до двух: $k=2$.

В итоге получаем требуемый результат

$\prod_{i=1}^{k=2}P_i(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1!n_2!}2^{-n},$

$\sum_{i=1}^{k=2}n_i=n, \quad \sum_{i=1}^{k=2}p_i=1.$

Два способа получения математического ожидания биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли

Первый способ

Этот способ относится к техническим задачам разделения дискретного целого на две составные части случайных объёмов.

От способа получения математического ожидания полиномиального распределения тем, что число выборок $k$ равно числу $k=2$ случайных величин биномиального распределения.

При этом, как и в полиномиальном распределении каждая выборка имеет единичный объём: $n_i=1, \quad i=1,2=k, \quad k=n$.

Целым является множество дискретных элементов, различимых (хотя бы одним признаком, например, порядковыми номерами) и не упорядоченных (хаотично расположенных): $2\le n<\infty$.

Составные части — дискретные подмножества $2\le k \le n < \infty$, в сумме равные объёму множества.

Разделение множества на подмножества осуществляют выборками без возвращения.

Выборки следуют во времени одна за другой.

В начальный момент времени $t_0$, не обязательно равный нулю $t_0 \ne 0$, множество содержит два $n=2$ различимых неупорядоченных элементов.

В первый момент времени $t_1$ из $n$-множества осуществляют первую выборку $n_1=1$ единичного объёма с вероятностью $p_1=n^{-1}$.

Вероятность первой случайной величины $P_1(t_1, X_1=n_1=1)$ биномиального распределения определяется числом сочетаний ${n \choose n_1}$ из $n$ по $n_1=1$, умноженным на вероятность $p_1=n^{-1}$ выбора одного элемента:

$P_1(t_1, X_1=n_1=1)={n \choose n_1}p_1={n \choose 1}n^{-1}=\frac{n}{n}.$

Во второй момент времени $t_2$ из оставшихся $n-n_1$ элементов исходного множества осуществляют вторую выборку $n_2=1$ единичного объёма с вероятностью $p_2=n^{-1}$.

Вероятность второй случайной величины $P_2(t_2, X_2=n_2=1)$ при условии, что в первый момент времени вероятность первая случайная величина полиномиального распределения приняла значение $P_1(t_1, X_1=n_1=1)$, определяется числом сочетаний ${n-n_1 \choose n_2}$ из $n-n_1$ по $n_2=1$, умноженным на вероятность $p_2=n^{-1}$ выбора одного элемента:

$P_2(t_2, X_2=n_2=1 \mid t_1,X_1=n_1=1)={n-n_1 \choose n_2}p_2={n-n_1 \choose 1}n^{-1}=\frac{n-1}{n}.$

Произведение вероятностей есть математическое ожидание биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли

$P_1(t_1, X_1=n_1=1)P_2(t_2, X_2=n_2=1 \mid t_1,X_1=n_1=1)=\frac{n-1}{n}\frac{n}{n}=\frac{n-1}{n}=\frac{1}{2},$

$\sum_{i=1}^{n=2}n_i=n, \quad \sum_{i=1}^{k=2}p_i=1.$

Второй способ

Математическое ожидание биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли получают как частный случай математического ожидания полиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли при одновременном сокращении числа случайных величин до двух и числа испытаний до двух $k=2,\quad n=2$

$\prod_{i=1}^{n=2}P_i(t_i,X_i=n_i=1 \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}=1)=\prod_{i=1}^{n=2}\frac{n-n_{i-1}}{n}=\frac {n!}{n^n}=\frac {1}{2},$

$\sum_{i=1}^{n=2}n_i=n, \quad \sum_{i=1}^{k=2}p_i=1.$

Биномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над объектами

Объекты: множество, его подмножества и их элементы как объективная реальность, существующая вне нас и независимо от нас. Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли это:

• случайный процесс безвозвратного разделения последовательно во времени $t_1,\quad t_2$ и в пространстве конечного $n$- множества различимых неупорядоченных элементов на две части $n_1, \quad n_2$ случайных объёмов, сумма которых равна объёму исходного множества: $n_1+ n_2=n, \quad 2\le n<\infty$,

• разделение множества осуществляют выборками без возвращения (изъятые из множества элементы не возвращают обратно во множество до полного окончания экспериментов),

• вероятность попадания одного произвольного элемента множества в каждое из подмножеств принимают за соответствующую вероятность успеха (успешного завершения испытания) Бернулли распределения $0\le p_i<1, \quad i=1,2$,

• вероятности успехов Бернулли распределений нормируют $\sum _{i=1}^{k=2} p_i =1$ согласно аксиоматике Колмогорова и принимают неизменными до окончания испытаний,
• очерёдность следования выборок принимают за очередность следования во времени и нумерацию случайных величин $X_1, \quad X_2$ биномиального распределения,

• случайный объём каждой выборки $n_i, \quad i=1,2$ в момент времени $t_i, \quad i=1,2$ принимают за числовое значение соответствующей случайной величины $X_i=n_i, \quad i=1,2$ биномиального распределения,
• если в первый момент времени $t_1$ первая случайная величина $X_1$ приняла значение

$n_1, \quad 0\le n_1\le n,$

то во второй момент времени $t_2$ вторая случайная величина $X_2$ принимает значение

$n _2, \quad 0\le n_2=n- n_1,$

• результаты каждого разбиения обрабатывают вероятностными методами, определяют технические характеристике всех выборок и принимают их за технические характеристики случайных величин биномиального распределения,

• минимально необходимый набор технических характеристик случайных величин и биномиального распределения в целом это: пространство элементарных событий, вероятность , математическое ожидание и дисперсия,

• математическое ожидание биномиального распределения имеет место, когда число выборок $k$ равно числу элементов $n$-множества $k=n$ и численно равно $\frac{n!}{n^n}=\frac{2!}{2^2}=\frac{1}{2}$.

Биномиальное распределение как цепь Маркова

Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли появляется в последовательности двух испытаний, первое из них случайное независимое, а второе зависимое от первого испытания. Исходы испытаний конечны и счётны. По сути — это простейшая цепь Маркова. ($X_0$, называемое начальным распределением цепи Маркова, для биномиального распределения не имеет смысла $t_0=0, \quad X_0=0$, поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы.)

Единственная переходная вероятность

$P(t_2>t_1,\quad X_2=n_2=n-n_1 \quad |\quad t_1<t_2,\quad X_1=n_1)$

заключается в том, что вторая случайная величина $X_2$ во второй момент времени $t_2$ вынуждена принять числовое значение, равное $0\le n_2=n-n_1$, при условии, что в первый момент времени $t_1$ первая случайная величина $X_1$ приняла случайное значение, равное $n_1,\quad 0\le n_1\le n$.

Следовательно и вероятность биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли

$\prod_{i=1}^{k=2}P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! n_2!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}$

как произведение первой независимой и второй зависимой случайных величин является простейшей цепью Маркова. Сумма всех вероятностей биномиального распределения равна единице $p_1+p_2=1$. Следовательно, биномиальное распределение как цепь Маркова, является стахостической.

Переходная вероятность биномиального распределения является дискретной функцией. Следовательно, биномиальное распределение является марковским процессом с дискретным временем.

Связь с другими распределениями

Если $k>2$ и $p_i\ne p_j$ хотя бы для одной пары вероятностей, то имеет место полиномиальное распределение интерпретации 21-го века.

Если $p_1=\ldots=p_k$, то имеет место полиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли.

Если $p_1=\dots p_k$ и все случайные величины распределения считались независмыми, то в 20-ом веке имели место следующие названия: распределение Максвелла - Больцмана , статистика Максвелла - Больцмана , распределение Больцмана , статистика Больцмана .

Если $p_1\ne p_2,\quad p_+ p_2=1$, то имеет место биномиальное распределение: новая интерпретация, иными словами биномиальное распределение интерпретации 21-го века.

См.также

• Распределение вероятностей
• Биномиальное распределение: парадоксы
• Биномиальное распределение одной случайной величины
• Биномиальное распределение Буняковского
• Биномиальное многомерное распределение
• Полиномиальное распределение: парадоксы
• Полиномиальное распределение независимых случайных величин
• Полиномиальное распределение зависимых случайных величин
• Полиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли