Определение[править | править код]

Биномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств

определено на точечных пространствах элементарных событий

и принимает в дискретные последовательные моменты времени

целые неотрицательные значения

с соответствующими вероятностями успехов Бернулли распределений

взаимосвязанные условиями

согласно которым

в -ый момент времени -ая случайная величина принимает значение при условии, что в предшествующий момент времени предшествующая случайная величина приняла значение . Причём каждая случайная величина зависима от всех предшествующих величин этого процесса. Исключение составляет только первая случайная величина этого распределения . Она является независимой.

Особенности данного распределения[править | править код]

1. Биномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств (левая часть таблицы 1 и таблица 2) имеет место, когда его подмножества различимы только местоположением элементов в них. В общепринятом понимании биномиальное распределение — это биномиальное распределение с упорядоченными подмножествами, а именно, то распределение, в котором учитывается только порядок следования самих подмножеств, но не учитывается порядок следования элементов в каждом подмножестве (таблица 3).

Номер Различимые элементы Наразличимые элементы
Комбинации Вероятность различимой комбинации Неразличимая комбинация Вероятность неразличимой комбинации
1 a c e
2 a e c
3 c a e 0,01333... * * * 0,08
4 c e a
5 e a c
6 e c a
Таблица 1 – Возможные комбинации трёх различимых и неразличимых элементов, их вероятности
Таблица 2 – Окрестности математического ожидания биномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств
Числовые значения первой случайной величины Числовые значения второй случайной величины Знаменатель вероятностей Вероятность распределения Дисперсия распределения Экстремумы распределения
1 1 1!×1! 0,50 0,75 0,50 - математическое ожидание
2 0 2!×0! 0,25 0,50 Первый локальный минимум
0 2 0!×2! 0,25 0,50 Второй локальный минимум
Значения восьми случайных величин Знаменатель вероятности Вероятность распределения Дисперсия распределения Экстремумы распределения
1 1 1 1 1 1 1 1 8!×1! 0,240×10-2 3,937 1-й локальный максимум
2 1 1 1 1 1 1 0 6!×2! 0,673×10-1 3,172 1-й локальный минимум
2 2 1 1 1 1 0 0 2!4!2!×2!2! 0,252 2,625 Математическое ожидание (второй локальный максимум)
2 2 2 1 1 0 0 0 3!2!3!×2!2!2! 0,168 2,297
2 2 2 2 0 0 0 0 4!4!×2!2!2!2! 0,150×10-3 2,187 2-й локальный минимум
3 1 1 1 1 1 0 0 5!2!×3! 0.400×10-3 2,516 3-й локальный максимум
3 2 1 1 1 0 0 0 2!4!×3!2!2! 0,200×10-3 2,078
3 2 2 1 0 0 0 0 2!5!×313121 0,100×10-3 1,859
3 3 2 1 0 0 0 0 4!3!×4! 0,334×10-4 1,641 3-й локальный минимум
4 1 1 1 1 0 0 0 2!4!×4!2! 0,100×10-3 1,969 4-й локальный максимум
4 2 1 1 0 0 0 0 2!5!×4!2!2! 0,500×10-4 1,641
4 2 2 0 0 0 0 0 5!×4!3! 0,250×10-4 1,531
4 2 2 0 0 0 0 0 5!×4!3! 0,250×10-4 1,531
4 3 1 0 0 0 0 0 6!×4!4! 0,167×10-5 1,422
4 4 0 0 0 0 0 0 2!4!×3!2!3! 0,417×10-5 1,312 4-й локальный минимум
5 1 1 1 0 0 0 0 3!4!×5! 0,200×10-4 1,531 5-й локальный максимум
5 2 1 0 0 0 0 0 5!×5!2! 0,100×10-4 1,312
5 3 0 0 0 0 0 0 6!×5!3! 0,334×10-5 1,203
6 1 1 0 0 0 0 0 2!5!×6! 10-5 1,203
6 2 0 0 0 0 0 0 6!×6!2! 0,167×10-5 1,094
7 1 0 0 0 0 0 0 6!×7! 0,477×10-6 0,984
8 0 0 0 0 0 0 0 7!×8! 0,596×10-7 0,875
Таблица 3 – Локальные экстремумы полиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств
Значения восьми случайных величин Знаменатель вероятности Вероятность распределения Дисперсия распределения Экстремумы распределения
1 1 1 1 1 1 1 1 8!×1! 0,240×10-2 3,937 Математическое ожидание
2 1 1 1 1 1 1 0 6!×2! 0,120×10-2 3,172
2 2 1 1 1 1 0 0 2!4!2!×2!2! 0,600×10-3 2,625
2 2 2 1 1 0 0 0 3!2!3!×2!2!2! 0,300×10-3 2,297
2 2 2 2 0 0 0 0 4!4!×2!2!2!2! 0,150×10-3 2,187 1-й локальный минимум
3 1 1 1 1 1 0 0 5!2!×3! 0.400×10-3 2,516 1-й локальный максимум
3 2 1 1 1 0 0 0 2!4!×3!2!2! 0,200×10-3 2,078
3 2 2 1 0 0 0 0 2!5!×313121 0,100×10-3 1,859
3 3 2 1 0 0 0 0 4!3!×4! 0,334×10-4 1,641 2-й локальный минимум
4 1 1 1 1 0 0 0 2!4!×4!2! 0,100×10-3 1,969 2-й локальный максимум
4 2 1 1 0 0 0 0 2!5!×4!2!2! 0,500×10-4 1,641
4 2 2 0 0 0 0 0 5!×4!3! 0,250×10-4 1,531
4 2 2 0 0 0 0 0 5!×4!3! 0,250×10-4 1,531
4 3 1 0 0 0 0 0 6!×4!4! 0,167×10-5 1,422
4 4 0 0 0 0 0 0 2!4!×3!2!3! 0,417×10-5 1,312 3-й локальный минимум
5 1 1 1 0 0 0 0 3!4!×5! 0,200×10-4 1,531 3-й локальный максимум
5 2 1 0 0 0 0 0 5!×5!2! 0,100×10-4 1,312
5 3 0 0 0 0 0 0 6!×5!3! 0,334×10-5 1,203
6 1 1 0 0 0 0 0 2!5!×6! 10-5 1,203
6 2 0 0 0 0 0 0 6!×6!2! 0,167×10-5 1,094
7 1 0 0 0 0 0 0 6!×7! 0,477×10-6 0,984
8 0 0 0 0 0 0 0 7!×8! 0,596×10-7 0,875
Таблица 4 – Локальные экстремумы математического ожидания полиномиального распределения с упорядоченными подмножествами

2. В данном распределении не выполняются технические задачи и технические результаты, принятые и описанные в [1] для общепринятого биномиального распределения с упорядоченными подмножествами.

3. Отсутствует однозначность между номером случайной величины биномиального распределения и её числовым значением.

4. Дисперсия данного биномиального распределения

не зависит от различимости элементов его подмножеств и совпадает с дисперсией обычного биномиального распределения (с различимыми подмножествами).

Примечание. Отличия биномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств нагляднее всего можно проследить на примерах полиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств (таблица 3) и полиномиального распределения с упорядоченными подмножествами (таблица 4).

Общий и частный случаи биномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств[править | править код]

Биномиальное распределение (по своему определению) содержит две случайные величины. Общий случай биномиального распределения имеет место, когда одно и другое его единичные подмножества в сумме составляют исходное множество (математическое ожидание — это максимальный экстремум). При нём два локальных экстремума содержат по одной нулевой и по одной двойной выборке каждая (таблица 2, две нижние её строки).

Литература[править | править код]

  1. Голоборщенко В. С. Основы теории дискретных распределений. Часть 5: Как технические задачи и технические результаты математической физики. // Проблемы создания информационных технологий. М.: ООО Техполиграфцентр, 2010. Вып. 19, с. 31–36.

См. также[править | править код]

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.