ФЭНДОМ



Определение Править

Биномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств

$ \prod_{i=1}^2\frac{1}{n_i!}P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1!n_2!} p_1^{n_1} p_2^{n_2}\prod_{j=0}^{j=2}\frac{1}{n_i!} $
$ i=1,2, \quad j=0,1,2, $

определено на точечных пространствах элементарных событий

$ \Omega_1, \Omega_2 $

и принимает в дискретные последовательные моменты времени

$ t_1, t_2, \quad t_i<t_2 $

целые неотрицательные значения

$ n_1, n_2, $

с соответствующими вероятностями успехов Бернулли распределений

$ p_1, p_2, $

взаимосвязанные условиями

$ \frac{n_1}{n_1!}+\frac{n_2}{n_2!}=n, \quad \frac{p_1}{n_1!}+\frac{p_2}{n_k!}=1, $

согласно которым

$ X_i=n_i \mid X_{i-1}=n_{i-1} $

в $ i $-ый момент времени $ i $-ая случайная величина $ X_i $ принимает значение $ n_i $ при условии, что в предшествующий момент времени $ n_{i-1}, \quad t_{i-1}<t_i $ предшествующая случайная величина $ X_{i-1} $ приняла значение $ n_{i-1}, \quad 0\le n_{i-1}\le n-\ldots-n_{i-2} $. Причём каждая случайная величина зависима от всех предшествующих величин этого процесса. Исключение составляет только первая случайная величина этого распределения $ X_1 $. Она является независимой.

Особенности данного распределения Править

1. Биномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств (левая часть таблицы 1 и таблица 2) имеет место, когда его подмножества различимы только местоположением элементов в них. В общепринятом понимании биномиальное распределение — это биномиальное распределение с упорядоченными подмножествами, а именно, то распределение, в котором учитывается только порядок следования самих подмножеств, но не учитывается порядок следования элементов в каждом подмножестве (таблица 3).

Номер Различимые элементы Наразличимые элементы
Комбинации Вероятность различимой комбинации Неразличимая комбинация Вероятность неразличимой комбинации
1 a c e
2 a e c
3 c a e 0,01333... * * * 0,08
4 c e a
5 e a c
6 e c a
Таблица 1 – Возможные комбинации трёх различимых и неразличимых элементов, их вероятности
Таблица 2 – Окрестности математического ожидания биномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств
Числовые значения первой случайной величины $ X_1=n_1 $ Числовые значения второй случайной величины $ X_2=n_2| X_1=n_1 $ Знаменатель вероятностей Вероятность распределения Дисперсия распределения Экстремумы распределения
1 1 1!×1! 0,50 0,75 0,50 - математическое ожидание
2 0 2!×0! 0,25 0,50 Первый локальный минимум
0 2 0!×2! 0,25 0,50 Второй локальный минимум
Значения восьми случайных величин Знаменатель вероятности Вероятность распределения Дисперсия распределения Экстремумы распределения
1 1 1 1 1 1 1 1 8!×1! 0,240×10-2 3,937 1-й локальный максимум
2 1 1 1 1 1 1 0 6!×2! 0,673×10-1 3,172 1-й локальный минимум
2 2 1 1 1 1 0 0 2!4!2!×2!2! 0,252 2,625 Математическое ожидание (второй локальный максимум)
2 2 2 1 1 0 0 0 3!2!3!×2!2!2! 0,168 2,297
2 2 2 2 0 0 0 0 4!4!×2!2!2!2! 0,150×10-3 2,187 2-й локальный минимум
3 1 1 1 1 1 0 0 5!2!×3! 0.400×10-3 2,516 3-й локальный максимум
3 2 1 1 1 0 0 0 2!4!×3!2!2! 0,200×10-3 2,078
3 2 2 1 0 0 0 0 2!5!×313121 0,100×10-3 1,859
3 3 2 1 0 0 0 0 4!3!×4! 0,334×10-4 1,641 3-й локальный минимум
4 1 1 1 1 0 0 0 2!4!×4!2! 0,100×10-3 1,969 4-й локальный максимум
4 2 1 1 0 0 0 0 2!5!×4!2!2! 0,500×10-4 1,641
4 2 2 0 0 0 0 0 5!×4!3! 0,250×10-4 1,531
4 2 2 0 0 0 0 0 5!×4!3! 0,250×10-4 1,531
4 3 1 0 0 0 0 0 6!×4!4! 0,167×10-5 1,422
4 4 0 0 0 0 0 0 2!4!×3!2!3! 0,417×10-5 1,312 4-й локальный минимум
5 1 1 1 0 0 0 0 3!4!×5! 0,200×10-4 1,531 5-й локальный максимум
5 2 1 0 0 0 0 0 5!×5!2! 0,100×10-4 1,312
5 3 0 0 0 0 0 0 6!×5!3! 0,334×10-5 1,203
6 1 1 0 0 0 0 0 2!5!×6! 10-5 1,203
6 2 0 0 0 0 0 0 6!×6!2! 0,167×10-5 1,094
7 1 0 0 0 0 0 0 6!×7! 0,477×10-6 0,984
8 0 0 0 0 0 0 0 7!×8! 0,596×10-7 0,875
Таблица 3 – Локальные экстремумы полиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств
Значения восьми случайных величин Знаменатель вероятности Вероятность распределения Дисперсия распределения Экстремумы распределения
1 1 1 1 1 1 1 1 8!×1! 0,240×10-2 3,937 Математическое ожидание
2 1 1 1 1 1 1 0 6!×2! 0,120×10-2 3,172
2 2 1 1 1 1 0 0 2!4!2!×2!2! 0,600×10-3 2,625
2 2 2 1 1 0 0 0 3!2!3!×2!2!2! 0,300×10-3 2,297
2 2 2 2 0 0 0 0 4!4!×2!2!2!2! 0,150×10-3 2,187 1-й локальный минимум
3 1 1 1 1 1 0 0 5!2!×3! 0.400×10-3 2,516 1-й локальный максимум
3 2 1 1 1 0 0 0 2!4!×3!2!2! 0,200×10-3 2,078
3 2 2 1 0 0 0 0 2!5!×313121 0,100×10-3 1,859
3 3 2 1 0 0 0 0 4!3!×4! 0,334×10-4 1,641 2-й локальный минимум
4 1 1 1 1 0 0 0 2!4!×4!2! 0,100×10-3 1,969 2-й локальный максимум
4 2 1 1 0 0 0 0 2!5!×4!2!2! 0,500×10-4 1,641
4 2 2 0 0 0 0 0 5!×4!3! 0,250×10-4 1,531
4 2 2 0 0 0 0 0 5!×4!3! 0,250×10-4 1,531
4 3 1 0 0 0 0 0 6!×4!4! 0,167×10-5 1,422
4 4 0 0 0 0 0 0 2!4!×3!2!3! 0,417×10-5 1,312 3-й локальный минимум
5 1 1 1 0 0 0 0 3!4!×5! 0,200×10-4 1,531 3-й локальный максимум
5 2 1 0 0 0 0 0 5!×5!2! 0,100×10-4 1,312
5 3 0 0 0 0 0 0 6!×5!3! 0,334×10-5 1,203
6 1 1 0 0 0 0 0 2!5!×6! 10-5 1,203
6 2 0 0 0 0 0 0 6!×6!2! 0,167×10-5 1,094
7 1 0 0 0 0 0 0 6!×7! 0,477×10-6 0,984
8 0 0 0 0 0 0 0 7!×8! 0,596×10-7 0,875
Таблица 4 – Локальные экстремумы математического ожидания полиномиального распределения с упорядоченными подмножествами

2. В данном распределении не выполняются технические задачи и технические результаты, принятые и описанные в [1] для общепринятого биномиального распределения с упорядоченными подмножествами.

3. Отсутствует однозначность между номером случайной величины биномиального распределения и её числовым значением.

4. Дисперсия данного биномиального распределения

$ D(X_1=n_1, X_2=n_2)=\sum_{i=1}^2(n-n_{i-1})p_iq_i $

не зависит от различимости элементов его подмножеств и совпадает с дисперсией обычного биномиального распределения (с различимыми подмножествами).

Примечание. Отличия биномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств нагляднее всего можно проследить на примерах полиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств (таблица 3) и полиномиального распределения с упорядоченными подмножествами (таблица 4).

Общий и частный случаи биномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств Править

Биномиальное распределение (по своему определению) содержит две случайные величины. Общий случай биномиального распределения имеет место, когда одно и другое его единичные подмножества в сумме составляют исходное множество (математическое ожидание — это максимальный экстремум). При нём два локальных экстремума содержат по одной нулевой и по одной двойной выборке каждая (таблица 2, две нижние её строки).

ЛитератураПравить

  1. Голоборщенко В. С. Основы теории дискретных распределений. Часть 5: Как технические задачи и технические результаты математической физики. // Проблемы создания информационных технологий. М.: ООО Техполиграфцентр, 2010. Вып. 19, с. 31–36.

См. такжеПравить

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA , если не указано иное.