Изменения: Биномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств

Текущая версия от 13:36, 9 сентября 2015

Определение

Биномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств

{\displaystyle \prod_{i=1}^2\frac{1}{n_i!}P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1!n_2!} p_1^{n_1} p_2^{n_2}\prod_{j=0}^{j=2}\frac{1}{n_i!} }

{\displaystyle i=1,2, \quad j=0,1,2, }

определено на точечных пространствах элементарных событий

{\displaystyle \Omega_1, \Omega_2 }

и принимает в дискретные последовательные моменты времени

{\displaystyle t_1, t_2, \quad t_i<t_2 }

целые неотрицательные значения

{\displaystyle n_1, n_2, }

с соответствующими вероятностями успехов Бернулли распределений

{\displaystyle p_1, p_2, }

взаимосвязанные условиями

{\displaystyle \frac{n_1}{n_1!}+\frac{n_2}{n_2!}=n, \quad \frac{p_1}{n_1!}+\frac{p_2}{n_k!}=1, }

согласно которым

{\displaystyle X_i=n_i \mid X_{i-1}=n_{i-1} }

в $i$ -ый момент времени $i$ -ая случайная величина $X_i$ принимает значение $n_i$ при условии, что в предшествующий момент времени $n _{i-1}, \quad t_{i-1}<t_i$ предшествующая случайная величина $X_{i-1}$ приняла значение $n _{i-1}, \quad 0\le n_{i-1}\le n-\ldots-n_{i-2}$ . Причём каждая случайная величина зависима от всех предшествующих величин этого процесса. Исключение составляет только первая случайная величина этого распределения $X_1$ . Она является независимой.

Особенности данного распределения

1. Биномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств (левая часть таблицы 1 и таблица 2) имеет место, когда его подмножества различимы только местоположением элементов в них. В общепринятом понимании биномиальное распределение — это биномиальное распределение с упорядоченными подмножествами, а именно, то распределение, в котором учитывается только порядок следования самих подмножеств, но не учитывается порядок следования элементов в каждом подмножестве (таблица 3).

Таблица 1 – Возможные комбинации трёх различимых и неразличимых элементов, их вероятности
Номер	Различимые элементы				Наразличимые элементы
Номер	Комбинации			Вероятность различимой комбинации	Неразличимая комбинация	Вероятность неразличимой комбинации
1	a	c	e
2	a	e	c
3	c	a	e	0,01333...	* * *	0,08
4	c	e	a
5	e	a	c
6	e	c	a

Таблица 2 – Окрестности математического ожидания биномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств
Числовые значения первой случайной величины $X_1=n_1$	Числовые значения второй случайной величины $X_2=n_2\| X_1=n_1$	Знаменатель вероятностей	Вероятность распределения	Дисперсия распределения	Экстремумы распределения
1	1	1!×1!	0,50	0,75	0,50 - математическое ожидание
2	0	2!×0!	0,25	0,50	Первый локальный минимум
0	2	0!×2!	0,25	0,50	Второй локальный минимум

Таблица 3 – Локальные экстремумы полиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств
Значения восьми случайных величин								Знаменатель вероятности	Вероятность распределения	Дисперсия распределения	Экстремумы распределения
1	1	1	1	1	1	1	1	8!×1!	0,240×10^-2	3,937	1-й локальный максимум
2	1	1	1	1	1	1	0	6!×2!	0,673×10^-1	3,172	1-й локальный минимум
2	2	1	1	1	1	0	0	2!4!2!×2!2!	0,252	2,625	Математическое ожидание (второй локальный максимум)
2	2	2	1	1	0	0	0	3!2!3!×2!2!2!	0,168	2,297
2	2	2	2	0	0	0	0	4!4!×2!2!2!2!	0,150×10^-3	2,187	2-й локальный минимум
3	1	1	1	1	1	0	0	5!2!×3!	0.400×10^-3	2,516	3-й локальный максимум
3	2	1	1	1	0	0	0	2!4!×3!2!2!	0,200×10^-3	2,078
3	2	2	1	0	0	0	0	2!5!×313121	0,100×10^-3	1,859
3	3	2	1	0	0	0	0	4!3!×4!	0,334×10^-4	1,641	3-й локальный минимум
4	1	1	1	1	0	0	0	2!4!×4!2!	0,100×10^-3	1,969	4-й локальный максимум
4	2	1	1	0	0	0	0	2!5!×4!2!2!	0,500×10^-4	1,641
4	2	2	0	0	0	0	0	5!×4!3!	0,250×10^-4	1,531
4	2	2	0	0	0	0	0	5!×4!3!	0,250×10^-4	1,531
4	3	1	0	0	0	0	0	6!×4!4!	0,167×10^-5	1,422
4	4	0	0	0	0	0	0	2!4!×3!2!3!	0,417×10^-5	1,312	4-й локальный минимум
5	1	1	1	0	0	0	0	3!4!×5!	0,200×10^-4	1,531	5-й локальный максимум
5	2	1	0	0	0	0	0	5!×5!2!	0,100×10^-4	1,312
5	3	0	0	0	0	0	0	6!×5!3!	0,334×10^-5	1,203
6	1	1	0	0	0	0	0	2!5!×6!	10^-5	1,203
6	2	0	0	0	0	0	0	6!×6!2!	0,167×10^-5	1,094
7	1	0	0	0	0	0	0	6!×7!	0,477×10^-6	0,984
8	0	0	0	0	0	0	0	7!×8!	0,596×10^-7	0,875

Таблица 4 – Локальные экстремумы математического ожидания полиномиального распределения с упорядоченными подмножествами
Значения восьми случайных величин								Знаменатель вероятности	Вероятность распределения	Дисперсия распределения	Экстремумы распределения
1	1	1	1	1	1	1	1	8!×1!	0,240×10^-2	3,937	Математическое ожидание
2	1	1	1	1	1	1	0	6!×2!	0,120×10^-2	3,172
2	2	1	1	1	1	0	0	2!4!2!×2!2!	0,600×10^-3	2,625
2	2	2	1	1	0	0	0	3!2!3!×2!2!2!	0,300×10^-3	2,297
2	2	2	2	0	0	0	0	4!4!×2!2!2!2!	0,150×10^-3	2,187	1-й локальный минимум
3	1	1	1	1	1	0	0	5!2!×3!	0.400×10^-3	2,516	1-й локальный максимум
3	2	1	1	1	0	0	0	2!4!×3!2!2!	0,200×10^-3	2,078
3	2	2	1	0	0	0	0	2!5!×313121	0,100×10^-3	1,859
3	3	2	1	0	0	0	0	4!3!×4!	0,334×10^-4	1,641	2-й локальный минимум
4	1	1	1	1	0	0	0	2!4!×4!2!	0,100×10^-3	1,969	2-й локальный максимум
4	2	1	1	0	0	0	0	2!5!×4!2!2!	0,500×10^-4	1,641
4	2	2	0	0	0	0	0	5!×4!3!	0,250×10^-4	1,531
4	2	2	0	0	0	0	0	5!×4!3!	0,250×10^-4	1,531
4	3	1	0	0	0	0	0	6!×4!4!	0,167×10^-5	1,422
4	4	0	0	0	0	0	0	2!4!×3!2!3!	0,417×10^-5	1,312	3-й локальный минимум
5	1	1	1	0	0	0	0	3!4!×5!	0,200×10^-4	1,531	3-й локальный максимум
5	2	1	0	0	0	0	0	5!×5!2!	0,100×10^-4	1,312
5	3	0	0	0	0	0	0	6!×5!3!	0,334×10^-5	1,203
6	1	1	0	0	0	0	0	2!5!×6!	10^-5	1,203
6	2	0	0	0	0	0	0	6!×6!2!	0,167×10^-5	1,094
7	1	0	0	0	0	0	0	6!×7!	0,477×10^-6	0,984
8	0	0	0	0	0	0	0	7!×8!	0,596×10^-7	0,875

2. В данном распределении не выполняются технические задачи и технические результаты, принятые и описанные в ^[1] для общепринятого биномиального распределения с упорядоченными подмножествами.

3. Отсутствует однозначность между номером случайной величины биномиального распределения и её числовым значением.

4. Дисперсия данного биномиального распределения

{\displaystyle D(X_1=n_1, X_2=n_2)=\sum_{i=1}^2(n-n_{i-1})p_iq_i }

не зависит от различимости элементов его подмножеств и совпадает с дисперсией обычного биномиального распределения (с различимыми подмножествами).

Примечание. Отличия биномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств нагляднее всего можно проследить на примерах полиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств (таблица 3) и полиномиального распределения с упорядоченными подмножествами (таблица 4).

Общий и частный случаи биномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств

Биномиальное распределение (по своему определению) содержит две случайные величины. Общий случай биномиального распределения имеет место, когда одно и другое его единичные подмножества в сумме составляют исходное множество (математическое ожидание — это максимальный экстремум). При нём два локальных экстремума содержат по одной нулевой и по одной двойной выборке каждая (таблица 2, две нижние её строки).

Литература

↑ Голоборщенко В. С. Основы теории дискретных распределений. Часть 5: Как технические задачи и технические результаты математической физики. // Проблемы создания информационных технологий. М.: ООО Техполиграфцентр, 2010. Вып. 19, с. 31–36.

См. также

[1] Голоборщенко В. С. Основы теории дискретных распределений. Часть 5: Как технические задачи и технические результаты математической физики. // Проблемы создания информационных технологий. М.: ООО Техполиграфцентр, 2010. Вып. 19, с. 31–36.

[1]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-Эта статья ещё не  завершена
 == Определение ==
@@ Строка 104: / Строка 104: @@
  |+ Таблица 1 – Возможные комбинации трёх различимых  и неразличимых элементов, их вероятности
  |}
+{| align="center" border="1"
+|+Таблица 2 – Окрестности математического ожидания биномиального распределения
+с упорядоченными элементами подмножеств
+| Числовые значения первой случайной величины <math>X_1=n_1</math>
+| Числовые значения второй случайной величины <math>X_2=n_2| X_1=n_1</math>
+| Знаменатель вероятностей
+|Вероятность распределения
+|Дисперсия распределения
+|Экстремумы распределения
+|-
+|'''1'''
+|'''1'''
+|'''1!&times;1!'''
+|'''0,50'''
+|'''0,75'''
+|'''0,50''' - '''математическое ожидание'''
+|-
+|''2''
+|''0''
+|''2!&times;0!''
+|''0,25''
+|''0,50''
+|''Первый локальный минимум''
+|-
+|''0''
+|''2''
+|''0!&times;2!''
+|''0,25''
+|''0,50''
+|''Второй локальный минимум''
+|}
 {| align="center" border="1" width="60%"
@@ Строка 123: / Строка 155: @@
  |'''0,240&times;10<sup>-2</sup>'''
  |'''3,937'''
+ |'''1-й локальный максимум'''
- |'''Математическое ожидание'''
  |-
- |2
+ |''2''
- |1
+ |''1''
- |1
+ |''1''
- |1
+ |''1''
- |1
+ |''1''
- |1
+ |''1''
- |1
+ |''1''
- |0
+ |''0''
- |6!&times;2!
+ |''6!&times;2!''
- |0,120&times;10<sup>-2</sup>
+ |''0,673&times;10<sup>-1</sup>''
- |3,172
+ |''3,172''
+ |''1-й локальный минимум''
- | rowspan="3" |
  |-
- |2
+ |'''2'''
- |2
+ |'''2'''
- |1
+ |'''1'''
- |1
+ |'''1'''
- |1
+ |'''1'''
- |1
+ |'''1'''
- |0
+ |'''0'''
- |0
+ |'''0'''
- |2!4!2!&times;2!2!
+ |'''2!4!2!&times;2!2!'''
+ |'''0,252'''
- |0,600&times;10<sup>-3</sup>
- |2,625
+ |'''2,625'''
+ |''' Математическое ожидание (второй локальный максимум)'''
  |-
  |2
@@ Строка 159: / Строка 192: @@
  |0
  |3!2!3!&times;2!2!2!
+ |0,168
- |0,300&times;10<sup>-3</sup>
  |2,297
+ |
  |-
  |''2''
@@ Строка 173: / Строка 207: @@
  |''0,150&times;10<sup>-3</sup>''
  |''2,187''
- |''1-й локальный минимум''
+ |''2-й локальный минимум''
  |-
  |'''3'''
@@ Строка 186: / Строка 220: @@
  |'''0.400&times;10<sup>-3</sup>'''
  |'''2,516'''
- |'''1-й локальный максимум'''
+ |'''3-й локальный максимум'''
  |-
  |3
@@ Строка 224: / Строка 258: @@
  |''0,334&times;10<sup>-4</sup>''
  |''1,641''
- |''2-й локальный минимум''
+ |''3-й локальный минимум''
  |-
  |'''4'''
@@ Строка 237: / Строка 271: @@
  |'''0,100&times;10<sup>-3</sup>'''
  |'''1,969'''
- |'''2-й локальный максимум'''
+ |'''4-й локальный максимум'''
  |-
  |4
@@ Строка 299: / Строка 333: @@
  |''0,417&times;10<sup>-5</sup>''
  |''1,312''
- |''3-й локальный минимум''
+ |''4-й локальный минимум''
  |-
  |'''5'''
@@ Строка 312: / Строка 346: @@
  |'''0,200&times;10<sup>-4</sup>'''
  |'''1,531'''
- |'''3-й локальный максимум'''
+ |'''5-й локальный максимум'''
  |-
  |5
@@ Строка 386: / Строка 420: @@
  |0,596&times;10<sup>-7</sup>
  |0,875
- |+ 2 Таблица – Локальные экстремумы биномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств
+ |+ Таблица 3 – Локальные экстремумы  полиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств
-|}
+ |}
 {| align="center" border="1" width="60%"
@@ Строка 670: / Строка 704: @@
  |0,596&times;10<sup>-7</sup>
  |0,875
- |+ Таблица 3 – Локальные экстремумы математического ожидания полиномиального распределения с упорядоченными подмножествами
+ |+ Таблица 4 – Локальные экстремумы математического ожидания полиномиального распределения с упорядоченными подмножествами
  |}
-. В данном распределении не выполняются технические задачи и технические результаты, принятые и описанные в    <ref>''Голоборщенко В. С.'' Основы теории дискретных распределений. Часть 5: Как технические задачи и технические результаты математической физики. // Проблемы создания информационных технологий. М.: ООО Техполиграфцентр, 2010. Вып. 19, с. 31–36. </ref> для общепринятого бномиального распределения с упорядоченными подмножествами.
+. В данном распределении не выполняются технические задачи и технические результаты, принятые и описанные в    <ref>''Голоборщенко В. С.'' Основы теории дискретных распределений. Часть 5: Как технические задачи и технические результаты математической физики. // Проблемы создания информационных технологий. М.: ООО Техполиграфцентр, 2010. Вып. 19, с. 31–36. </ref> для общепринятого биномиального распределения с упорядоченными подмножествами.
 . Отсутствует однозначность между номером случайной величины биномиального распределения и её числовым значением.
@@ Строка 683: / Строка 717: @@
 не зависит от различимости элементов его подмножеств и совпадает с дисперсией обычного биномиального распределения (с различимыми подмножествами).
+'''Примечание.''' Отличия биномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств нагляднее всего можно проследить на примерах  полиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств (таблица 3) и полиномиального  распределения с упорядоченными подмножествами (таблица 4).
 == Общий и частный случаи  биномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств ==
+Биномиальное распределение (по своему определению) содержит две случайные величины. Общий случай   биномиального распределения  имеет место, когда  одно и другое его единичные подмножества в сумме составляют исходное множество (математическое ожидание &mdash; это  максимальный экстремум). При нём два локальных экстремума содержат по одной  нулевой и по  одной двойной выборке каждая (таблица 2, две нижние её строки).
-Общий случай   биномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств имеет место, когда  одно и более подмножеств содержит  хотя бы одну выборку объёмом не менее двух элементов.
-Частный случай этого распределения имеет место, когда выборки различимы между собой  и  принимают нулевые и/или единичные значения, а число выборок не меньше  числа случайных величин распределения.
-== Принцип получения вероятностей биномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств==
-В основу получения вероятностей этого  распределения положен  алгоритм Феллера, суть которого изложен на с.60  <ref>''Феллер В.'' Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1. М.: Мир, 1984. 527 с. </ref>.
-Произвольный исходный набор, например, 22111100 (таблица 2, 3-я строка сверху), разбивается на три группы, в каждой из которых выборки равных объёмов, а именно: 22, 1111 и 00 (2, 4 и 2). Такое разбиение может быть выполнено <math>\frac{8!}{2!4!2!}=420</math>   способами. Каждому из этих 420-ти различимых наборов соответствует вероятность <math>\frac{8!}{2!2!}8^{-8}=0,000600</math>. Общая вероятность 420-ти различимых наборов (из исходного набора 22111100) составит <math>\frac{8!}{2!2!}8^{-8}\frac{8!}{2!4!2!}=0,252432222</math>.
-Аналогично рассчитываются вероятности для всех других наборов таблицы 3. Жирным шрифтом в таблицах 3 и 4 выделены максимумы, косым шрифтом - минимумы.
-== Принцип получения математического ожидания биномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств==
-Математическое ожидание как глобальный максимум вероятностей полиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств  находится из тех же соображений, что и глобальный максимум любого полиномиального распределения, а именно, чем меньше знаменатель полиномиального коэффициента, тем больше вероятность. Отсюда в искомом наборе должны присутствовать выборки объёмами 0 и 1, а сам набор должен быть как можно большего размера с тем, чтобы разместить в нём как можно больше нулевых и единичных выборок.
-В общем случае из-за наличия нулевых выборок это выполнить невозможно без добавления выборок большего объёма. Такими могут быть только выборки с объёмами по два элемента исходного множества. Следовательно, выборками объёмами 0, 1 и 2 элемента можно описать любой набор максимального размера, и глобальный максимум вероятностей различимых наборов необходимо искать в наборах, в которых имеются три группы выборок с объёмами 0, 1 и 2 элементов (см.таблицу 2, 3-ю строку сверху). Единственное исключение составляет случай биномиального распределения. Его набор можно заполнить только одними единицами: 11.
-В первом приближении группы двоек, единиц и нулей принимаются равными. Максимальная длина набора делится на 3. При этом, если число   делится на 3 с остатком, то остаток добавляется в группу единиц. Например, в таблице 2 число случайных величин (восемь) на три делится с остатком (<math>\frac{n}{3}=\frac{8}{3}\approx2,667</math>). Получается две группы по две двойки и по два нуля, а оставшаяся группа будет содержать  четыре единицы: <math>22111100 </math>, поскольку 1!=1. Соответственно глобальный максимум вероятностей будет <math> k_{n=8}=0,252</math> (таблица 3, 3-я строка сверху).
 ==Литература==
@@ Строка 722: / Строка 740: @@
 *[[Полиномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств]]
 *[[Полиномиальное распределение: парадоксы]]
+*
-*[[Категория:Распределения вероятностей]]
+[[Категория:Распределения вероятностей]]
-|}
-|}