ФЭНДОМ


Для рассмотрения движения тел с точки зрения классической теории Ньютона нам понадобятся всего две формулы:

1. Сумма всех сил, действующих на тело, равно массе тела умноженной на ускорение этого тела:

$ \sum \vec F=m \ddot \vec r $

2. Сила, действующая между двумя телами, прямо пропорционально произведению масс тел и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними:

$ F = G \frac {m_1 m_2} {R^2} $



Зная только эти две формулы уже можно получить много полезных результатов:

Задача о пушке


Gun

Рассмотрим задачу о пушке, из которой вылетает снаряд. Пусть дуло направлено под углом $ \alpha $ и скорость вылетающего снаряда равна $ v $.

Воспользуюмся уравнениеми Ньютона и запишим их в координатах (x,y)

$ m \ddot \vec r = m \vec g $

Разложим это векторное уравнение по осям x и y:

$ m \ddot x = 0 $
$ m \ddot y = -mg $

Проинтегрируем эти уравнения:

$ \dot x = const $
$ \dot y = -gt + const $

Константы можно найти из начальных условий:

$ \dot x = v \cos \alpha $
$ \dot y = -gt + v \sin \alpha $

Проинтегрируем полученные уравнения еще раз:

$ x = vt \cos \alpha + const $
$ y = -gt^2/2 + vt \sin \alpha + const $

Опять из начальных условий находим, чему будут равняться константы:

$ x = vt \cos \alpha $
$ y = -gt^2/2 + vt \sin \alpha $


Теперь у нас есть уравнения, из которых можно получить всю информацию о движении снаряда.

Траектория движения снаряда

Чтобы получить траекторию, надо исключить t из обоих уравнений:

$ t = \frac {x} {v \cos \alpha} $
$ y = \frac {-g} {2} \frac {x^2} {v \cos \alpha} + x \tan \alpha $

В результате получаем, что снаряд будет лететь по параболической траектории.