Вероятностное распределение событий

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Вероятностное распределение событий — одно из ключевых понятий эвентологии, которое выделяет ее в самостоятельное направление теории вероятностей; определяет и вероятностное распределение множества случайных событий, выбранных из алгебры эвентологического пространства, и вероятностное распределение случайного множества событий, возможными значениями которого служат подмножества этого множества событий, составленные из событий, наступающих при исходе Бытия.

Вероятностное распределение множества событий

Вероятностное распределение множества событий ${\mathfrak {X}}\subseteq {\mathcal {F}}$, выбранных из алгебры эвентологического пространства $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )$, — определяется как набор вероятностей $\{p(X),\ X\subseteq {\mathfrak {X}}\}$ событий-террасок

${\rm {ter}}(X)=\bigcap _{x\in X}x\bigcap _{x\in X^{c}}x^{c},\ X\subseteq {\mathfrak {X}},$

порожденных множеством выбранных событий ${\mathfrak {X}}$, где

$p(X)=\mathbf {P} ({\rm {ter}}(X))=\mathbf {P} \left(\bigcap _{x\in X}x\bigcap _{x\in X^{c}}x^{c}\right),\ X\subseteq {\mathfrak {X}}.$

Поскольку события-терраски образуют разбиение

$\sum _{X\subseteq {\mathfrak {X}}}{\rm {ter}}(X)=\Omega$

пространства элементарных событий $\Omega \$, ясно, что

$\sum _{X\subseteq {\mathfrak {X}}}p(X)=1$

— вероятности событий-террасок удовлетоворяют вероятностной нормировке.

Вероятностное распределение случайного множества событий

Вероятностное распределение случайного множества событий

$K:(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )\to \left(2^{\mathfrak {X}},2^{2^{\mathfrak {X}}}\right)$

под множеством событий ${\mathfrak {X}}\subseteq {\mathcal {F}}$, выбранных из алгебры эвентологического пространства $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )$, — определяется как набор вероятностей

$\{p(X),\ X\subseteq {\mathfrak {X}}\}$

событий $\{\omega :\ K(\omega )=X\}$, которые для каждого $X\subseteq {\mathfrak {X}}$ совпадают с соответствующими событиями-террасками, порожденными множеством выбранных событий ${\mathfrak {X}}$:

$\{\omega :\ K(\omega )=X\}={\rm {ter}}(X),$

где

$p(X)=\mathbf {P} ({\rm {ter}}(X))=\mathbf {P} \left(K=X\right)$

— вероятность того, что $K\$ принимает сет-значение $X\subseteq {\mathfrak {X}}$.

Иначе говоря, событие $\{\omega :\ K(\omega )=X\}$ означает, что наступают все события из $X\$ и не наступает ни одного события из $X^{c}={\mathfrak {X}}-X$. Поскольку события-терраски образуют разбиение пространства элементарных событий $\Omega \$, ясно, что

$\sum _{X\subseteq {\mathfrak {X}}}p(X)=1$

— вероятности событий $\{\omega :\ K(\omega )=X\}$ удовлетоворяют соотношению вероятностной нормировки.

Плотность вероятностного распределения

Для любого вида вероятностного распределения событий $p(X)$ определена его плотность распределения событий, как сет-функция $dp(X)$, удовлетворяющая соотношениям

$p(X)=\sum _{Y\subseteq X}dp(Y),\ \ \ X\subseteq {\mathfrak {X}},\$

из которых следуют соотношения, полученные обращением Мёбиуса:

$dp(X)=\sum _{Y\subseteq X}(-1)^{|X-Y|}p(Y),\ \ \ X\subseteq {\mathfrak {X}}.\$

Если $\varphi (X)$ — плотность, то соответствующее ему вероятностное распределение событий обозначается

$\int \varphi (X)=\sum _{Y\subseteq X}\varphi (Y),\ \ \ X\subseteq {\mathfrak {X}}.\$

Таким образом, для любой плотности распределения событий $\varphi (X)$ и вероятностного распределения событий $p(X)$ операторы $d$ — «плотность-распределение» и $\int$ — «распределение-плотность» взаимнообратны:

$d\int \varphi (X)=\varphi (X),\ \ \ \int dp(X)=p(X).\$

См.также

• Эвентологическое распределение событий
• Ценностное распределение событий