Наука
Регистрация
Advertisement
Convex set

Пример выпуклого множества

Convex non set

Пример невыпуклого множества

Множество называется выпуклым, если оно содержит вместе с любыми двумя точками весь отрезок, соединяющий их.

Определения[]

Пусть афинное пространство (над полем вещественных чисел или его расширением). Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками множеству принадлежат все точки отрезка , соединяющего в пространстве точки и . Этот отрезок можно представить как

Связанные определения[]

Геометрическая фигура называется выпуклой, если для любых двух точек этой фигуры отрезок, их соединяющий, целиком принадлежит фигуре.

Множество линейного пространства называется абсолютно выпуклым, если оно выпукло и уравновешенно.

Примеры[]

Свойства[]

  • Выпуклое множество в топологическом линейном пространстве является связным и линейно связным, гомотопически эквивалентным точке.
  • В терминах связности, выпуклое множество можно определить так: множество выпукло, если его пересечение с любой (вещественной) прямой связно.
  • Пусть — выпуклое множество. Тогда для любых элементов принадлежащих и для всех неотрицательных s , таких что , вектор
        
    принадлежит .
    • Вектор такого вида называется выпуклой комбинацией элементов .
  • Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством, таким образом выпуклые подмножества образуют полную сетку. Это так же означает и то, что любое подмножество A линейного пространства содержится внутри малого выпуклого множества (называемого выпуклой оболочкой множества A), то есть пересечение всех выпуклых множеств содержит A.
  • Замкнутые выпуклые множества могут быть определены как пересечения замкнутых полупространств (множества точек в пространстве, которые лежат только на одной части гиперплоскости). Из выше сказанного становится понятным, что такие пересечения являются выпуклыми и замкнутыми множествами. Для доказательства обратного, т.е. что каждое выпуклое множество может быть представлено в виде пересечения, можно использовать теорему об опорной гиперплоскости в форме в которой для данного замкнутого выпуклого множества C и точки P, не принадлежащей ему, существует замкнутое полупространство H, содержащее C и не содержащее P. Теорема об опорной гиперплоскости является частным случаем теоремы Хана-Банаха из функционального анализа.
  • Теорема Хелли: Предположим в конечном семействе выпуклых подмножеств , пересечение любых из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.

См. также[]

Литература[]

  • Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
Advertisement