Множество называется выпуклым, если оно содержит вместе с любыми двумя точками весь отрезок, соединяющий их.
Определения[]
Пусть — афинное пространство (над полем вещественных чисел или его расширением). Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками множеству принадлежат все точки отрезка , соединяющего в пространстве точки и . Этот отрезок можно представить как
Связанные определения[]
Геометрическая фигура называется выпуклой, если для любых двух точек этой фигуры отрезок, их соединяющий, целиком принадлежит фигуре.
Множество линейного пространства называется абсолютно выпуклым, если оно выпукло и уравновешенно.
Примеры[]
- Выпуклые подмножества множества (множество вещественных чисел) представляют собой интервалы из .
- Примерами выпуклых подмножеств в двумерном Евклидовом пространстве () являются правильные многоугольники.
- Примерами выпуклых подмножеств в трехмерном Евклидовом пространстве ()являются Архимедовы тела и правильные многогранники.
- Тела Кепплера-Пуансо (правильные звездообразные многогранники) являются примерами невыпуклых множеств.
Свойства[]
- Выпуклое множество в топологическом линейном пространстве является связным и линейно связным, гомотопически эквивалентным точке.
- В терминах связности, выпуклое множество можно определить так: множество выпукло, если его пересечение с любой (вещественной) прямой связно.
- Пусть — выпуклое множество. Тогда для любых элементов принадлежащих и для всех неотрицательных s , таких что , вектор
принадлежит .- Вектор такого вида называется выпуклой комбинацией элементов .
- Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством, таким образом выпуклые подмножества образуют полную сетку. Это так же означает и то, что любое подмножество A линейного пространства содержится внутри малого выпуклого множества (называемого выпуклой оболочкой множества A), то есть пересечение всех выпуклых множеств содержит A.
- Замкнутые выпуклые множества могут быть определены как пересечения замкнутых полупространств (множества точек в пространстве, которые лежат только на одной части гиперплоскости). Из выше сказанного становится понятным, что такие пересечения являются выпуклыми и замкнутыми множествами. Для доказательства обратного, т.е. что каждое выпуклое множество может быть представлено в виде пересечения, можно использовать теорему об опорной гиперплоскости в форме в которой для данного замкнутого выпуклого множества C и точки P, не принадлежащей ему, существует замкнутое полупространство H, содержащее C и не содержащее P. Теорема об опорной гиперплоскости является частным случаем теоремы Хана-Банаха из функционального анализа.
- Теорема Хелли: Предположим в конечном семействе выпуклых подмножеств , пересечение любых из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.
См. также[]
- Звёздная область
- Выпуклая функция
Литература[]
- Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.