Научная деятельность[править | править код]

С именем Гаусса связаны фундаментальные исследования почти во всех основных областях математики: в алгебре, теории чисел, дифференциальной и неевклидовой геометрии, математическом анализе, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей, а также в аналитической и небесной механике, астрономии, физике и геодезии[1]. «В каждой области глубина проникновения в материал, смелость мысли и значительность результата были поражающими. Гаусса называли „королём математиков“»[2] (лат. Princeps mathematicorum).

Гаусс чрезвычайно строго относился к своим печатным трудам и никогда не публиковал даже выдающиеся результаты, если считал свою работу над этой темой незавершённой. На его личной печати было изображено дерево с несколькими плодами, под девизом: «Pauca sed matura» (немного, но спелые)[3]. Изучение архива Гаусса показало, что он медлил с публикацией ряда своих открытий, и в результате его опередили другие математики. Вот неполный перечень упущенных им приоритетов.

Несколько студентов, учеников Гаусса, стали выдающимися математиками, например: Риман, Дедекинд, Бессель, Мёбиус.

Алгебра[править | править код]

Гаусс дал первые строгие, даже по современным критериям, доказательства основной теоремы алгебры.

Он открыл кольцо целых комплексных гауссовых чисел, создал для них теорию делимости и с их помощью решил немало алгебраических проблем. Указал знакомую теперь всем геометрическую модель комплексных чисел и действий с ними.

Гаусс дал классическую теорию сравнений, открыл конечное поле вычетов по простому модулю, глубоко проник в свойства вычетов.

Геометрия[править | править код]

Гаусс впервые начал изучать внутреннюю геометрию поверхностей. Он открыл характеристику поверхности (гауссову кривизну), которая не изменяется при изгибаниях, тем самым заложив основы римановой геометрии. В 1827 году опубликовал полную теорию поверхностей. Доказал Theorema Egregium, основную теорему теории поверхностей. Труды Гаусса по дифференциальной геометрии дали мощный толчок развитию этой науки на весь XIX век. Попутно он создал новую науку — высшую геодезию.

Гаусс первым (по некоторым данным[1], примерно в 1818 году) построил основы неевклидовой геометрии и поверил в её возможную реальность[4], но был вынужден держать свои исследования в секрете (вероятно, из-за того, что они шли вразрез с догматом евклидовости пространства в доминирующей в то время Кантовской философии). Тем не менее, сохранилось письмо Гаусса к Лобачевскому, в котором ясно выражено его чувство солидарности, а в личных письмах, опубликованных после его смерти, Гаусс восхищается работами Лобачевского. В 1817 году он писал астроному В. Ольберсу[5]:

Я прихожу всё более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рассудка. Может быть, в другой жизни мы придем к взглядам на природу пространства, которые нам теперь недоступны. До сих пор геометрию приходится ставить не в один ранг с арифметикой, существующей чисто a priori, а скорее с механикой.

В его бумагах обнаружены содержательные заметки по тому предмету, что позже назвали топологией. Причём он предсказал фундаментальное значение этого предмета.

Древняя проблема построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки была Гауссом окончательно решена (см. теорему Гаусса — Ванцеля).

Математический анализ[править | править код]

Гаусс продвинул теорию специальных функций, рядов, численные методы, решение задач математической физики. Создал математическую теорию потенциала.

Много и успешно занимался эллиптическими функциями, хотя почему-то ничего не публиковал на эту тему.

Аналитическая механика[править | править код]

Главным вкладом Гаусса в аналитическую механику стал его принцип наименьшего принуждения. Для аналитического оформления данного принципа большое значение имела[6] работа Г. Шеффлера (1820—1903) «О Гауссовом основном законе механики», опубликованная в 1858 г. В ней Шеффлер переопределил[7] принуждение как следующее (в современных обозначениях[8]) выражение:

 ,

где  — число точек, входящих в систему,  — масса -й точки, — равнодействующая приложенных к ней активных сил,  допустимое ускорение данной точки (в действительности Шеффлер пользовался скалярной формой записи, причём множитель перед знаком суммы у него отсутствовал). Под «допустимыми ускорениями» здесь понимаются[9] такие ускорения точек системы, которые в данном её состоянии можно реализовать, не нарушая связей; действительные ускорения (возникающие под действием реально приложенных к точкам системы сил) представляют собой частный случай допустимых ускорений.

После этого принцип Гаусса обрёл ту форму, которая используется при его изложении и в современных курсах теоретической механики: «При действительном движении механической системы с идеальными связями принуждение принимает значение, наименьшее из всех возможных значений при движениях, совместимых с наложенными связями»[10]. Данный принцип относится[11] к числу дифференциальных вариационных принципов механики. Он обладает весьма большой общностью, так как применим к самым различным механическим системам: к консервативным и неконсервативным, к голономным и неголономным. Поэтому, в частности, он часто используется[12] в качестве исходного пункта при выводе уравнений движения неголономных систем.

Астрономия[править | править код]

В астрономии Гаусс, в первую очередь, интересовался небесной механикой, изучал орбиты малых планет и их возмущения. Он предложил теорию учёта возмущений и неоднократно доказывал на практике её эффективность.

В 1809 году Гаусс нашёл способ определения элементов орбиты по трём полным наблюдениям (если на три момента времени известны время, прямое восхождение и склонение).

Другие достижения[править | править код]

Для минимизации влияния ошибок измерения Гаусс использовал свой метод наименьших квадратов, который сейчас повсеместно применяется в статистике. Хотя Гаусс не первый открыл распространённый в природе нормальный закон распределения, но он настолько тщательно его исследовал, что график распределения с тех пор часто называют гауссианой.

В физике Гаусс развил теорию капиллярности, теорию системы линз. Заложил основы математической теории электромагнетизма и при этом первым ввёл понятие потенциала электрического поля, а в 1845 г. пришёл к мысли о конечной скорости распространения электромагнитных взаимодействий. В 1832 г. создал абсолютную систему мер, введя три основные единицы: единицу длины — 1 мм, единицу времени — 1 с, единицу массы — 1 мг; эта система послужила прообразом системы единиц СГС. Совместно с Вебером Гаусс построил первый в Германии электромагнитный телеграф. Изучая земной магнетизм, Гаусс изобрёл в 1837 г. униполярный магнитометр, в 1838 г. — бифилярный [13].

Труды на русском языке[править | править код]


Гаусс Карл Фридрих (1777-1855). Пятнадцати лет поступил в Карлово училище, а в 1795 г. - в Гёттингенский университет. После его окончания в 1798 г. Гаусс полностью посвящает себя математике, уделяя внимание также астрономии, геодезии и оптике. В математике Гаусс проявил себя выдающимся ученым, явившемся родоначальником новых направлений в теории чисел, дифференциальной геометрии и др. Гаусс внес существенный вклад в теорию электричества и магнетизма, геодезию, теоретическую астрономию. Свои работы по прикладной оптике Гаусс обобщил в труде "Диоптрические исследования" (1840).

В. А. Гуриков «Эрнст Аббе». Изд. «Наука», М., 1985.

Примечания[править | править код]

  1. 1,0 1,1 Боголюбов, 1983, с. 121—123
  2. Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.)  Математика XIX века. Т. 1. — М.: Наука, 1978. — С. 52.
  3. Дербишир, Дж.  Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. — М.: Астрель, 2010. — С. 76—77.  ISBN 978-5-271-25422-2.
  4. Гаусс К. Ф.  Отрывки из писем и черновиков, относящиеся к неевклидовой геометрии // Основания геометрии. — М.: ГИТТЛ, 1956.
  5. Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию её идей. — М.: Гостехиздат, 1956.  С. 103.
  6. Моисеев, 1961, с. 334
  7. Тюлина, 1979, с. 179—180
  8. Маркеев, 1990, с. 90
  9. Голубев, 2000, с. 417
  10. Дронг В. И., Дубинин В. В., Ильин М. М. и др.  Курс теоретической механики / Под ред. К. С. Колесникова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. — 758 с.  ISBN 978-5-7038-3490-9.
  11. Маркеев, 1990, с. 89
  12. Голубев, 2000, с. 427
  13. Храмов, 1983, с. 76

Ссылки[править код]

См. также - Литература[править | править код]

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.