Горизонтальная плоскость

Рис. 1. Схематическое изображение отвесной линии (направления «зенит» и «надир»), а также горизонта («астрономический горизонт» и «видимый горизонт»).

Горизонта́льная пло́скость — в исходном значении, представляет из себя плоскость, перпендикулярную отвесной линии и параллесльную плоскости астрономического (или истинного) горизонта в выбранной точке.

В современном обороте находятся представления о горизонтальной плоскости, не связанные с процессом установления её ориентации:

1. элементы различных горизонтальных поверхностей конструкций и сооружений, находящиеся в эксплуатации (например, горизонтальные поверхности мебели в помещениях, палуба на судне, пол в движущемся автомобиле);
2. теоретическое представление горизонтальной плоскости, которое используется в науке и в конструкторской документации.

Определение положения горизонтальной плоскости

Рис. 9. Схема теодолита 4Т30П: 1 — трегер-подставка; 2 — подъемные винты; 3 — основание (дно футляра); 4 — наводящий винт лимба горизонтального круга; 5 — закрепительный винт лимба горизонтального круга; 6 — цилиндрический уровень; 7 — окулярное кольцо шкалового микроскопа; 8 — фокусирующий винт зрительной трубы; 9 — закрепительный винт зрительной трубы; 10 — окулярное кольцо зрительной трубы; 11 — вертикальный круг; 12 — наводящий винт зрительной трубы; 13 — наводящий винт алидады горизонтального круга.

Для определения положения горизонтальной плоскости в геодезии используют теодолиты. При этом применяют уровень 6, установленный в теодолите. Регулируя длину ножек штатива (придварительная настройка), а затем наклон трегера-подставки 1 при помощи подъёмных винтов 2 (высокоточная настройка) приводят горизонтальный круг в положение истинного горизонта в двух перпендикулярных направлениях.

В повседневной деятельности, горизонтальное положение плоскости определяется при помощи уровня в двух перперндикулярных направлениях, параллельных горизонту или перпендикулярных направлению действия силы тяжести.

Определение реального положения горизонтальной плоскости подразумевает наличие знаний и выполнение ряда условий, при которых оно приобретает однозначность.

В частности, в замных условиях необходимо учитывать, что выбранная точка к которой необходимо поставить в соответствие горизонтальную плоскость находится в инерциальной системе отсчёта «Земля»  — сферической поверхности с центрально симметричной ориентацией силы гравитации (геоцентрические координаты).

Кроме того, процесс определения истинного горизонта требует, помимо использование термина «горизонталь», наличие инструмента, позволяющего определить направление, перпендикулярное действию силы тяжести, — уровня.

Немаловажным является свойство относительности горизонтальной плоскости: при перемещении по поверхности земного шара изменяется ориентация горизонтальной плоскости: она меняется в зависимости от выбора точки отсчёта на поверхности Земли. Однако, две плоскости, расположенные на взаимно противоположных сторонах нашей планеты оказываются параллельными.

Для формирования логически непротиворечивого мысленного образа, необходимы познания в области геометрии и, в частности, знания свойств такого геометрического объекта, как плоскость, понятие «перпендикулярность» для определения перпентдикулярного положения относительно отвесной линии, а также понятие «параллельность» для построения горизонтальной плоскости параллельно плоскости истинного горизонта.

История развития представлений

Основными принципами развития понятия «горизонтальная плоскость», с древнейших времён и до современности, яляются геометризация и координатизация окружающего пространства и его объектов.

В процессе расширения знания и областей человеческой деятельности происходила эволюция, от умения непосредственного определения астрономического горизонта до использования термина «горизонтальная плоскость» в областях, не связанных с геодезическими измерениями (например, в технической документации, в медицине, в конструктивных элементах различных транспортных средств и др.)

Доисторический период

В доисторический период (в эпоху палеолита и неолита), когда первобытный человек занимался собирательством, т.е. добычей продуктов питания и одежды, ему необходимо было ориентироваться в окружающем его ближайшем пространстве, находить пути возвращения в места постоянного обитания. Кроме того, нужно было разделить свою территорию – ойкумену – на части по каким-либо характерным особенностям ладшафта (рекам, горным хребтам, направлению на астрономический объект и др.), а затем представить их в уменьшенном виде в какой-либо модели, определенным образом ориентированной. По всей вероятности эта потребность ориентирования в пространстве стала одной из главных причин появления наук о пространстве – астрономии, географии, геодезии. Люди изображали свою территорию в виде рисунков (картоподобных изображений) на скалах, стенах пещер, костях животных. Сейчас известно около 100 таких картоподобных изображений.

Переход к оседлому образу жизни, к новым способам добывания пищи и одежды – скотоводству и земледелию – потребовал закрепления за отдельными группами людей участков земной поверхности и разделения их на более мелкие части, т.е. применение измерительных действий.

Месопотамия и Древний Египет

Практическая деятельность требовала умения определять горизонтальную линию и горизонтальную поверхность, а также величину различных уклонов. Для этой цели существовало приспособление (в современном понимании уровень), который представляло из себя две дощечки, соединённые между собой под прямым углом. В их перекрестье крепился отвес. А натянутая нить отвеса проходила мимо линейки (с шестидесятеричной сумерийской системой счисления), которая крепилась к прибору, образуя равнобедренный треугольник с основными дощечками, что позволяло определять доли наклона измеряемой поверхности.

Самые ранние зарегистрированные начала геометрии можно проследить до древней Месопотамии и Древнего Египта во 2-м тысячелетии до нашей эры.  Ранняя геометрия была набором эмпирически открытых принципов, касающихся длин, углов, площадей и объёмов, которые были разработаны для удовлетворения некоторых практических потребностей в геодезии, строительстве, астрономии и различных ремеслах.

Характер накопленный знаний не требовал доказательств или теоретических построений: нужно было просто уметь вычислить по аналогии с уже имеющимися описаниями, например, площадь земельного участка, величину уклона или объём амбара.

В Древнем Египте при постройке зданий, при межевании плодородных земель, омываемых Нилом, в живописи при расписывании стен и на колоннах зданий, работая над стенными барельефами, прибегали к элементарным проекционным приёмам. Об этом свидетельствуют сохранившиесы планы египетских городов, планы и фасады зданий и поместий.

Важным выводом из содержания сохранившихся артефактов является то, что в древней Месопотамии и Древнем Египте существовали представления о трёхмерности пространства, навыки определять горизонтальные и вертикальные линии и поверхности, достаточно высокий уровень прикладной геометрии и алгебры, а также знание масштаба и умение применять проекцию.

Древняя Греция и Древний Рим

Древняя Греция подарила человечеству логику и принцип доказательства истинности утверждения. Геоме́трия — с древне-греческого γεωμετρία, от γῆ — земля и μετρέω — измеряю, позволила перейти от практики решения прикладных проблем к поиску общих приципов и решений посредством системы аксиом и теорем.

Во времена Фалеса Милетского вавилонская и египетская математика превратилась в «мёртвые» знания: уже не был известен ход рассуждений, лежащий в их основе. Например, от вавилонян можно было узнать, что площадь круга равна $3r^2$, а египтяне уверяли, что она равна $\left ( \frac{8}{9}\cdot2r^2 \right )^2$.

Заслуга Фалеса, стоявшего у истоков античной математики, заключается в том, что он дал логическое построение геометрии и ввёл доказательства. При этом он применял метод перехода при помощи доказательств от одного утверждения к другому.

Наиболее значительный вклад в развитие классической геометрии внесли древнегреческие философы и математики Пифагор Самосский (570—490 гг. до н. э.), Платон (427—347гг. до н.э.), Евклид (около 300 года до н. э.), Архимед (287—195 гг. до н.э.), Эратосфен (275—195гг. до н.э.), Аполлоний Пергский (250—190гг. до н.э.)

В итоге, геометрия Древней Греции позволила выработать абстрактный образ плоскости, как поверхности или фигуры, образованной кинематическим движением образующей, представляющей собой прямую линию, по направляющей (другой прямой линии).

Геодезия выделилась в самостоятельную науку и достигла высокого уровня развития в эллинистическо-римскую эпоху в силу определённого рядя причин и факторов, и прежде всего, в силу социально-экономических условий.

В период Римской империи получает дальнешее развитие теория проекций и перспектив. Один из наиболее древних, дошедших до нас письменных источников — трактат римского архитектора Витрувия (I в. до н.э.) «Десять книг об архитектуре». В нем упоминается о несохранившемся сочинение великого греческого геометра Евклида, в котором излагались правила составления планов и фасадов (без проекционной связи между ними).

По свидетельству Витрувия, строительству здания предшествует составление проекта. Он приводит первоначальные сведения, необходимые для построения наглядных изображений, упоминает ”центральную проекцию”, ”главную точку” и ”точку зрения”.

Форма Земли и гелиоцентризм

Нужно отметить, что решающим фактором в развитии представлений о горизонтальной плоскости сыграла гравитация, а также размеры и форма нашей планеты. Первые сомнения в правильности модели плоской Земли были высказаны в Древней Греции.

В 340 г. до н. э. греческий философ Аристотель подводя итоги человеческих знаний своей эпохи о Земле в книге «О небе» привел два веских довода в пользу того, что Земля круглая, как шар.

Во-первых, Аристотель заметил, что лунные затмения происходят тогда, когда Земля оказывается между Луной и Солнцем. Земля всегда отбрасывает на Луну круглую тень, а это может быть лишь в том случае, если Земля имеет форму шара. Будь Земля плоским диском, ее тень имела бы форму вытянутого эллипса – если только затмение не происходит всегда именно в тот момент, когда Солнце находится точно на оси диска.

Во-вторых, из опыта своих морских путешествий греки античности знали, что в южных районах Полярная звезда на небе наблюдается ниже, чем в северных (поскольку Полярная звезда находится над Северным полюсом, она будет прямо над головой наблюдателя, стоящего на Северном полюсе, а человеку на экваторе она будет видна, как звезда, находящаяся очень близко к линии горизонта).

Зная разницу в кажущемся положении Полярной звезды в Египте и Греции, Аристотель сумел даже вычислить, что длина экватора составляет 400 000 стадиев. Чему равнялся один стадий, точно не известно, но он составлял приблизительно 200 метров, и, стало быть, оценка Аристотеля длины экватора (80000 км) было на порядок больше современной его оценки (6378,1 км).

У древних греков был еще и третий довод в пользу шарообразной формы Земли: если Земля не круглая, то почему же мы сначала видим паруса морского судна, поднимающиеся над горизонтом, и только потом само судно?

Данные астрономии и установленный в эпоху великих географический открытий факт сферичности нашей планеты стали причиной, по которой пришло понимание относительности геодезических систем отсчёта в зависимости от выбора местополложения отвесной линии на поверхности земного шара.

Аналитическая геометрия и декартова система координат

В аналитической геометрии каждая точка трёхмерного пространства описывается как набор из трёх величин — координат. Задаются три взаимно перпендикулярных координатных оси, пересекающихся в начале координат. Положение точки задаётся относительно этих трёх осей заданием упорядоченной тройки чисел. Каждое из этих чисел задаёт расстояние от начала отсчёта до точки, измеренное вдоль соответствующей оси, что равно расстоянию от точки до плоскости, образованной другими двумя осями.

В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые сформулированный Пьером Ферма (Pierre de Fermat) в рукописном трактате «Введение в изучение плоски и телесных мест» («Ad locos planos et solidos»). Независимо от Ферма, этот принцип был изложен Рене Декартом (René Descartes) в трёх книгах «Гео­мет­рии» в 1637 году. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела, и наоборот. Такой метод «алгебраизации» геометрических свойств доказал свою универсальность и плодотворно применяется во многих естественных науках и в технике.

Интересный исторический факт: прямоугольнаясистема координат на­зва­на в честь Де­кар­та, хо­тя в его сочинении «Гео­мет­рия» (1637 год) рас­смат­ри­ва­лась ко­со­уголь­ная двумерная сис­те­ма ко­ор­ди­нат, в ко­то­рой ко­ор­ди­на­ты то­чек мог­ли быть толь­ко по­ло­жи­тель­ны­ми. В из­да­нии 1659–61 годов к «Гео­мет­рии» при­ло­же­на ра­бо­та голладского ма­те­ма­ти­ка И. Гуд­де (Johannes van Waveren Hudde), в ко­то­рой впер­вые до­пус­ка­ют­ся как по­ло­жи­тель­ные, так и от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния двумерных ко­ор­ди­нат. Про­стран­ст­вен­ную (трёхмерную) декартову систему координат ввёл в 1679 году французский ма­те­ма­тик Ф. Ла­ир (Philippe de La Hire). Из всей терминологии, предложенной Лаиром, привилось только обозначение О (фр. origine — начало). В начале 18 века Жераром Дезаргом (Girard Desargues) были введены обо­зна­че­ния $x$, $y$ и $v$.

Обозначение геометрических фигур

Универсальность метода математической абстрации исключает возможность применения прилагательных «горизонтальный» и «вертикальный» применительно к математическим линиям и плоскостям.

Исторически, точки обозначаются прописными буквами начала латинского алфавита или арабскими цифрами:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle А} , Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle В} , Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle С} , ...: $1$, $2$, $3$, ... .

линии — строчными буквами начала латинского алфавита:

$a$, $b$, $c$, ... ;

поверхности — строчными буквами начала греческого алфавита:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle α} , Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle β} , Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle γ} , ... , либо буквой Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle π} ;

точки на поверхности — прописными буквами середины латинского алфавита, например:

$M(x,y,z)$,

где $x$, $y$, $z$ — соответствующие определённой точке значения координатных осей.

Уравнение поверхности

Алгебраическая поверхность Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle π} первого порядка, как множество точек М (x, y, z), задаётся относительно прямоугольной декартовой системы $Oxyz$ общимуравнением первой степени:

$Ax + By + Cz + D = 0\qquad$     (1)

где $A$,$B$,$C$ и $D$ — какие угодно постоянные величины, причём хотя бы одна из постоянных $A$,$B$,$C$ не равна нулю.

Уравнения координатных плоскостей

Рис. 2. Декартова система координат.

Ox — ось абцисс, Oy — ось ординат, Oz — ось аппликат.

Декартовыми прямоугольными координатами x, y и z точки М называются величины направленных отрезков ОМ_x, O M_y и O M _z.

Из уравнения (1) следует, что при $A = 0$, Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle В=0} и $D=0$ уравнение

$Cz=0$     (2)

определяет координатную плоскость $Oxy$.

При $A = 0$, $C=0$ и $D=0$ уравнение

$By=0$     (3)

определеляет координатную плоскость $Oyz$.

А при $B = 0$, $C=0$ $D=0$ уравнение

$Ax=0$     (4)

определеляет координатную плоскость $Oyz$.

Траектория полёта снаряда

Основная статья: Полёт снаряда

Рис. 3. Компоненты начальных данных и параболическая траектория полёта снаряда.

Это пример задачи, в которой декартова двумерная система координат олицетворяет горизонтальную и вертикальную линии.

Пусть снаряд будет запущен с начальной скоростью $\mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}$, которая может быть выражена как сумма горизонтальных и вертикальных компонентов следующим образом:

$\mathbf{v}_0 = v_{0x}\mathbf{i} + v_{0y}\mathbf{j}$.

Компоненты $v_{0x}$, а также $v_{0y}$ можно найти, если известен начальный угол запуска, $\theta$,:

$v_{0x} = v_0\cos\theta$,

$v_{0y} = v_0\sin\theta$.

Как видно из графика траектории полёта снаряда в декартовой системе координат, ось $Ox$ представляет из себя горизонтальную линию, а ось $Oy$ — вертикальную.

Начертательная геометрия

В своём классическом произведении «Geometrie descriptive» («Описательная геометрия»), опубликованном в 1798г., Гаспар Монж разработал общую геометрическую теорию, дающую возможность на плоском листе, содержащем ортогональные проекции трёхмерного тела, решать различные стереометрические задачи.

Им была создана абстрактная геометрическая модель реального пространства, согласно которой каждой точке трёхмерного пространства ставится в соответствие две её ортогональные проекции на взаимно перпендикулярные плоскости. Со временем, проекционный чертёж, построенный по правилам начертательной геометрии, становится рабочим инструментом инженеров, архитекторов и техников всех стран.

Монж использовал в своей теории термины «горизонталь», «горизонтальная линия проекции» и «горизонтальная плоскость проекций», а также «вертикаль», «вертикальная линия проекции» и «вертикальная плоскость проекций». Наличие установившихся терминов в профессиональной среде, по мнению Монжа, является достаточным основанием к отказу от введения в оборот более общей абстрактной терминологии:

«Кроме того, поскольку большинство специалистов, применяющих метод проекций. привыкло иметь дело с положением горизонтальной плоскости и направлением линии отвеса, они обычно предполагают, что из двух плоскостей проекций одна — горизонтальная, а другая — вертикальная.»

Области применения понятия «горизонтальная плоскость»

Огромное разнообразие способов применения декартовой системы координат не позволяют перечислить все существующие области её применения.

Однако, для иллюстрации масштаба её применения достаточно указать базовые, которые легко распространить на широкий спектр теоретических и прикладных направлений в науке, технике, технологиях, искусстве и в повседневной жизни.

Геодезия

Система плоских прямоугольных координат используется в геодезии преимущественно при составлении планов небольших участков земной поверхности, принимаемых за плоскость (диаметром до 10 км), и представляет собой декартову прямоугольную систему координат (плоские прямоугольные геодезические координаты), в которой обычно положительное направление оси абсцисс Х северное, оси ординат Y — восточное. Нумерация четвертей идет по часовой стрелке.

На этом принципе построена зональная система прямоугольных координат топографических карт, составленных в проекции, например,Гаусса — Крюгера. Способ перенесения изображений со сферической поверхности на плоскость, обеспечивающий минимальные искажения, называется картографической проекцией.

Горизонтальная плоскость в геодезии определена как плоскость, перпендикулярная к отвесной линии, проходящей через данную точку.

Геодезические координаты – три величины, две из которых характеризуют направление нормали к поверхности земного эллипсоида в данной точке пространства относительно плоскостей его экватора и начального меридиана, а третья является высотой точки над поверхностью земного эллипсоида.

Монтажная линия – линия, закрепленная на местности, относительно которой устанавливаются конструкции, станки, механизмы и технологическое оборудование в проектное положение.

Таким образом, все мыслимые горизонтальные плоскости, которые встречаются, в помещениях, на этажах, в зданиях, относящихся к жилью, промышленным, сельскохозяйственным, культурным, спортнивным и культовым сооружениям, а также прилегающим к ним территориям, во дврах, в парках, скверах, кроме того в надземных, наземных и подземных сооружениях, такими как железнодорожные пути , пешеходные, велосипедные дорожки и автодороги, мостовые сооружения (мосты, путепроводы, эстакады, виадуки), транспортные развязки, плотины и многие другие, а также монтажные линии для установки на этих объектах всевозможных конструкций, станков, механизмов и технологического оборудования определяются геодезическими методами.

Инженерная графика

Инженерная графика – геометрическое и проекционное черчение.

Черчение – выполнение чертежей по по правилам, определяемым комплексом государственных стандартов (ГОСТ), например, в России – по «Единой системе конструкторской документации» (ЕСКД), составленной по правилам и нормам международных стандартов.

Чертёж – документ в виде графического изображения, выполненный в определённом масштабе, с указанием размеров и графически выраженных технических условий, соблюдение которых, в зависимости от назначения чертёжа, должно быть обеспечено при изготовлении, монтаже, контроле и упаковке изделия.

Изображения предметов в должны выполняться на чертежах (электронных моделях) всех отраслей промышленности и строительства по методу прямоугольного проецирования. При этом предмет предполагается расположенным между наблюдателем и соответствующей плоскостью проекций (рис. 4).

Рис. 4. Изображения предмета на чертеже по методу прямоугольного проецирования.

Установлены следующие названия видов, получаемых на основных плоскостях проекций (рис. 4):

1. – вид спереди (главный вид); на фронтальной плоскости проекций;
2. – вид сверху; на горизонтальной плоскости проекций;
3. – вид слева; на профильной плоскости проекций;
4. - вид справа;
5. - вид снизу;
6. - вид сзади.

Литература

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с. (см. ISBN )

См. также

Вертикальная плоскость