Горизонтальная плоскость

Рис. 1. Схематическое изображение горизонтов: «астрономического», «видимого»);а также отвесной линии по направлениям: «зенит», «надир».

Горизонта́льная пло́скость (астр. плоскость горизонта) — в исходном значении, представляет из себя плоскость, перпендикулярную отвесной линии и параллельную плоскости астрономического (математического, истинного) горизонта в выбранной точке.

Исходя из определения, горизонтальная плоскость — это геофизическое понятие, которое сформировалось в процессе повседневной деятельности человека в гравитационном поле (формулировка: «плоскость, перпендикулярная отвесной линии») планетарного характера с центрально симметричной ориентацией (формулировка: «в выбранной точке»).

С учётом принципа эквивалентности сил гравитации и инерции, критерий «в выбранной точке» упраздняется, если сила притяжения не является центрально симметричной: вызвана не гравитацией астрономического объекта, а, например, ньютоновской силой инерции тела, возникающей в процессе ускорения прямолинейного движения.

В современном обороте находятся представления о горизонтальной плоскости, не требующие установления её ориентации:

1. находящиеся в эксплуатации элементы различных горизонтальных поверхностей конструкций и сооружений (например, горизонтальные поверхности мебели и палуба на судне, пол в автомобиле и др.);
2. теоретическое представление горизонтальной плоскости, которое используется в науке и в конструкторской документации.

При отсутствии сил гравитации—инерции, термин «горизонтальная плоскость» теряет связь с понятием «астрономический горизонт» и вырождается в более общий класс геометрических фигур — «плоскость».

Определение положения горизонтальной плоскости

Рис. 2. Строение теодолита 4Т30П: 1 — трегер-подставка; 2 — подъёмные винты; 3 — основание (дно футляра); 4 — наводящий винт лимба горизонтального круга; 5 — закрепительный винт лимба горизонтального круга; 6 — цилиндрический уровень; 7 — окулярное кольцо шкалового микроскопа; 8 — фокусирующий винт зрительной трубы; 9 — закрепительный винт зрительной трубы; 10 — окулярное кольцо зрительной трубы; 11 — вертикальный круг; 12 — наводящий винт зрительной трубы; 13 — наводящий винт алидады горизонтального круга; 14 — крючок установочного винта.

Для определения положения горизонтальной плоскости в геодезии используют теодолиты.

Перед началом работы проводят горизонтирование геодезического прибора (совмещение вертикальной оси геодезического прибора с отвесной линией над выбранной точкой на поверхности Земли и приведение его горизонтального круга в горизонтальное положение). При этом применяют уровень 6, установленный в теодолите. С этой целью, регулируя длину ножек штатива (предварительная настройка), а затем наклон трегера–подставки 1 при помощи подъёмных винтов 2 (высокоточная настройка), приводят горизонтальный круг теодолита в положение истинного горизонта в двух перпендикулярных направлениях.

Рис. 3. Современный электронный теодолит.

Отвес, подвешенный за нить на крючок становочного винта 14, предназначен для центрирования теодолита — установки центра лимба (оцифрованного по часовой стрелке градуированного стеклянного круга в теодолите) над вершиной измеряемого угла (установки теодолита точно над выбранной точкой на поверхности Земли).

В окулярной части зрительной трубы, где образуется действительное уменьшенное изображение предмета, вставлена стеклянная пластинка с нанесенными взаимно перпендикулярными прямыми линиями — сеткой нитей. Прямую линию между оптическим центром объектива и перекрестием сетки нитей называют визирной осью зрительной трубы.

Положение зрительной трубы, соответствующее нулевому значению на вертикальном круге теодолита, определяет горизонтальное положение визирной оси зрительной трубы, а также её нахождение на горизонтальной плоскости.

Рис. 4. Совмещённый пузырьковый и электронный уровень.

В повседневной деятельности используются также:

Рис. 5. Схема, иллюстрирующая принцип определения при помощи нивелира разности высот между двумя точками на поверхности рельефа местности. Цифрами 1 и 3 обозначены нивелирные рейки. Визирная ось зрительной трубы обозначена цифрой 2.

1. пузырьковый и электронный уровни — позволяют определить горизонтальное положение плоской поверхности: нивелирование производится в двух перпендикулярных направлениях, параллельных горизонту;
2. нивелир — геодезический инструмент, используется только для определения разности высот или выравнивания на горизонтальной плоскости (в отличие от теодолита, не измеряет вертикальных углов); лазерный нивелир отмечает лучом пересечение плоскости астрономического горизонта с обрабатываемыми поверхностями, например, стенами;
3. гидроуровень — предназначен для оценки взаимного расположения удалённых предметов относительно выбранной горизонтальной плоскости.

   

   Рис. 6. Схема устройства гидроуровня.

Определение реального положения горизонтальной плоскости подразумевает наличие знаний и выполнение ряда условий, при которых оно приобретает однозначность.

Рис. 7. Величина и направление вектора ускорения свободного падения g на поверхности Земли определяется двумя его составляющими: гравитационной (в приближении сферически симметричной зависимости плотности от расстояния до центра Земли), равной g₀=GM/r², и центробежной, равной ω²a, где G — гравитационная постоянная, М — масса Земли, r — расстояние от точки на поверхности Земли до центра гравитации, a — расстояние от точки на поверхности до оси вращения Земли, ω — угловая скорость вращения Земли.

В частности, в земных условиях необходимо учитывать, что выбранная точка к которой необходимо поставить в соответствие горизонтальную плоскость находится, можно считать, в инерциальной системе отсчёта «Земля» — сферической поверхности с мало заметным отклонением от центрально симметричной ориентации силы гравитации (геоцентрические координаты).

Кроме того, процесс определения истинного горизонта требует, не только понимания свойства «горизонтальности», но также и наличие инструмента, позволяющего определить направление, перпендикулярное действию силы тяжести, — уровня.

Немаловажным является свойство относительности горизонтальной плоскости: она меняет ориентацию в пространстве в зависимости от выбора точки отсчёта на поверхности Земли. Кроме того, две плоскости, расположенные на взаимно противоположных сторонах нашей планеты, можно считать параллельными с погрешностью, вносимой гравитационными аномалиями.

Современное описание способов определения положения горизонтальной плоскости в пространстве опираются на такие геометрические представления и понятия, как «характеристические свойства плоскости», «перпендикулярность» и «параллельность».

История развития представлений

Основными принципами развития понятия «горизонтальная плоскость», с древнейших времён и до современности, являются геометризация и координатизация окружающего пространства и объектов в нём.

В процессе расширения знания и областей человеческой деятельности происходила эволюция от умения непосредственного определения астрономического горизонта до использования термина «горизонтальная плоскость» в областях, не связанных с геодезическими измерениями (например, в технической документации, в медицине, в конструктивных элементах различных транспортных средств и др.)

Доисторический период

Рис. 8. Наскальная живопись Валь-Камоники. Топографическая композиция, 4 тысячелетие до н.э.

В доисторический период (в эпоху палеолита и неолита), когда первобытный человек занимался собирательством и охотой, ему необходимо было ориентироваться в окружающем его ближайшем пространстве, находить пути возвращения в места постоянного обитания. Кроме того, нужно было разделить свою территорию на части по каким-либо характерным особенностям ландшафта (рекам, горным хребтам, направлению на астрономический объект и др.), а затем представить их в уменьшенном виде в какой-либо модели, определенным образом ориентированной. По всей вероятности эта потребность ориентирования в пространстве стала одной из главных причин появления наук о пространстве — астрономии, географии, геодезии. Люди изображали свою территорию в виде рисунков (картоподобных изображений) на скалах, стенах пещер, костях животных. Сейчас известно около 100 таких картоподобных изображений.

Переход к оседлому образу жизни, к новым способам добывания пищи и одежды — скотоводству и земледелию — потребовал закрепления за отдельными группами людей участков земной поверхности и разделения их на более мелкие части, т.е. применение измерительных действий.

Месопотамия и Древний Египет

Рис. 9. Фрагмент вавилонской клинописной таблички BM 85194 Obv. В левой нижней части находится чертёж к задаче о расчёте земляного вала. Британский музей.

Хозяйственная деятельность требовала умения определять горизонтальную линию и горизонтальную поверхность, а также величину различных уклонов. Для этой цели существовало А–образное приспособление (в современном понимании — уровень), которое представляло из себя две дощечки, соединённые между собой под прямым углом. В их перекрестье крепился отвес. А натянутая нить отвеса проходила мимо линейки (с шестидесятеричной сумерийской системой счисления ), которая крепилась к прибору, образуя равнобедренный треугольник с основными дощечками, что позволяло определять степень наклона измеряемой поверхности.

Рис. 10. А—образный древнеегипетский уровень с отвесом. Каирский египетский музей

Рис. 11. Туринская папирусная карта — древнейшая сохранившаяся географическая (и геологическая) карта в мире: вверху — лицевая сторона, внизу — обратная сторона. Изображает 15-километровый отрезок Вади-Хаммамат с указанием деревень, холмов, золотых копей и каменоломен, а также расстояний между ними. Выполнена около 1160 года до н. э. для участников организованной Рамзесом IV экспедиции в тамошние каменоломни. Египетский музей (Турин).

Самые ранние зарегистрированные начала геометрии можно проследить до Древней Месопотамии и Древнего Египта во 2–м тысячелетии до нашей эры. Характерной чертой всей догреческой математики является то, что во всех доступных текстах она представлена не в виде общих формул или геометрических доказательств в стиле Евклида, а исключительно в виде ряда отдельных примеров на действия с числами: описанием эмпирически открытых принципов, касающихся длин, углов, площадей и объёмов, которые были разработаны для удовлетворения некоторых практических потребностей в геодезии, строительстве, астрономии и в различных ремёслах.

Такое качество накопленных знаний не требовал доказательств или теоретических построений: нужно было просто уметь вычислить по аналогии с уже имеющимися описаниями, например, площадь земельного участка, величину уклона или объём амбара.

В Древнем Египте при постройке зданий, при межевании плодородных земель омываемых Нилом, в живописи, при расписывании стен и колонн зданий, работая над стенными барельефами, прибегали к элементарным проекционным приёмам. Об этом свидетельствуют сохранившиеся планы египетских городов, поместий и фасадов зданий, а также географические карты.

Рис. 12. Сидящий писец из Саккары. Окрашенный известняк, глаза из меди инкрустированы горным хрусталём. Работа выполнена неизвестным скульптором периода 4 или 5 правящей династии фараонов Древнего царства, примерно 2600–2350 гг. до н.э. Музей Лувр.

Интересным с точки зрения истории является тот факт, что оказалось несостоятельным утверждение Аристотеля в отношении того, что наука зародилась в Древнем Египте, поскольку там жрецы располагали возможностью заниматься научными исследованиями. Папирус Ахмеса свидетельствует, что двигателем научных изысканий являлась практическая деятельность сословия царских писцов, которые одновременно выполняли инженерные расчёты и вели бухгалтерский учёт. Знания накапливались этим сословием и передавались через школы новым поколениям.

Важным выводом из содержания сохранившихся артефактов является то, что в Древней Месопотамии и в Древнем Египте существовали представления о трёхмерности пространства, знания и умения определять горизонтальные и вертикальные линии, плоские поверхности, достаточно высокий уровень прикладной геометрии (геодезии) и алгебры, а также знание масштаба и умение применять проекцию.

Древняя Греция и Древний Рим

Древняя Греция подарила человечеству логику и принцип доказательства истинности утверждения. Геоме́трия (с древнегреческого γεωμετρία, от γῆ — земля и μετρέω — измеряю) позволила перейти от практики решения прикладных проблем к поиску общих принципов и решений посредством системы аксиом и теорем.

Рис. 13. Безымянная копия фрагмента портретной статуи, посвящённой Софии (мудрости). Некоторые исследователи считают этот бюст изображением Фалеса Милетского. Правильного физиогномического изображения философа быть не может, так как в его эпоху портретная скульптура никогда не была реалистичной в смысле физиогномической достоверности. Ватикан, римская копия IV в. до н.э. (намного позже смерти Фалеса) греческого оригинала. Galleria Geografica Inv. 2892.

Во времена Фалеса Милетского (640/624 — 548/545 до н. э.) вавилонская и египетская математика превратилась в «мёртвые» знания: уже не был известен лежащий в их основе ход рассуждений. Например, от вавилонян можно было узнать, что площадь круга равна $3r^2$, а египтяне уверяли, что она равна $\left ( \frac{8}{9}\cdot2r^2 \right )^2$.

Заслуга Фалеса, стоявшего у истоков античной математики, заключается в том, что он перешёл от решения практических задач к доказательствам на основе логики. При этом он использовал метод перехода от доказательства одного утверждения к доказательству другого.

Наиболее значительный вклад в развитие классической геометрии внесли древнегреческие философы и математики Пифагор Самосский (570—490 гг. до н. э.), Платон (427—347гг. до н.э.), Евклид (около 300 года до н. э.), Архимед (287—195 гг. до н.э.), Эратосфен (275—195гг. до н.э.), Аполлоний Пергский (250—190гг. до н.э.)

Рис. 14. Евклид в представлении неизвестного художника. Иллюстрация из книги А. Теве "Настоящие портреты и жизнь иллюстрированная греков, латинян и сельских жителей" (1584 г.).

В числе прочего, геометрия Древней Греции позволила выработать абстрактный образ линии, поверхности и плоскости. По Евклиду, линия — это длина без ширины, поверхность — длина и ширина без высоты, а плоскость — одна из разновидностей поверхности, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямим линиям на ней.

Перспективное изображение пространственных фигур, т. е. центральное проектирование этих фигур на плоскость, применялось древними греками в «скенографии» — искусстве писать сценические декорации. Различные виды центральных проекций рассматривались в «Оптике» Евклида и в «Планесфериум» Птолемея.

Непрерывно расширявшаяся практика решения различного рода геометрических задач на местности, а с другой стороны, быстро увеличивавшиеся по объёму абстрактные знания специализированной теоретической геометрии, привели в конце концов к дифференциации (появлению признаков составных частей) и разделению геометрии на две части: теоретическую — классическую геометрию, и практическую — геодезию.

Рис. 15. Итальянское издание «De architectura» 1521 года, переведенное и иллюстрированное Чезаре Чезариано .

В период Римской империи получает дальнейшее развитие теория проекций и перспектив. Один из наиболее древних, дошедших до нас письменных источников — трактат римского архитектора Витрувия (I в. до н.э.) «Десять книг об архитектуре» («De architectura»). В нём упоминается несохранившееся сочинение великого греческого геометра Евклида, в котором излагались правила составления планов и фасадов (без проекционной связи между ними).

По свидетельству Витрувия, строительству здания предшествует составление проекта. Витрувий также приводит первоначальные сведения, необходимые для построения наглядных изображений, упоминает «центральную проекцию», «главную точку» и «точку зрения».

В трактате Витрувия описаны измерительные приборы, применявшиеся для определения горизонтальной плоскости и уклонов при строительстве зданий: линейка, наугольник, уровень и отвес; а также приборы, предназначенные для нивелирования поверхностей в процессе постройки водопровода: диоптр, водяной уровень и хоробат.

Форма Земли

Рис. 16. Шу (в центре) — божество воздуха и солнечных лучей в древнеегипетской мифологии, разделяет Геба — бога земли и Нут — богиню неба. Папирус Гринфилда. Британский музей.

Нужно отметить, что решающим фактором в развитии представлений об относительности ориентации горизонтальной плоскости в зависимости от выбора точки отсчёта на поверхности Земли сыграла гравитация, а также размеры и форма нашей планеты.

Рис. 17. Система мира по Анаксимандру (VI в. до н. э.) Иллюстрация из книги Оrr М. А. «Dante and the Early Astronomers», 1913.

Рис. 17. Центр мироздания по Филолаю. Изображение Центрального огня (в центре схемы), Земли (Earth), Противоземли (Antichthon) и Солнца (Sun). Иллюстрация из книги Оrr М. А. «Dante and the Early Astronomers», 1913.

В отличие от Вавилона и Древнего Египта, где астрономические наблюдения, каталоги звёзд, вычисление подробных эфемерид (кстати, это вавилонские учёные ввели в оборот удобную шестидесятиричную систему счисления) служили религиозным и хозяйственным целям, в Древней Греции возникли первые физические теории, и на их основе — первые геоцентрические и гелиоцентрические модели мира, где вместо общих представлений о характере движения планет появляются попытки дать их количественные характеристики (математическое описание форм, размеров, траекторий и т. п.), механически воспроизвести наблюдавшиеся движения.

Анаксима́ндр Миле́тский (611 — 546 до н. э.) — древнегреческий философ, представитель милетской школы натурфилософии, ученик Фале́са Миле́тского и учитель Анаксиме́на предполагал, что Земля имеет форму цилиндра, который ограничивает сфера звёзд. Далее следуют сферы Луны, Солнца. Границей мира является Область Огня. Небесные тела вращаются вокруг неподвижной Земли, заходя за горизонт на западе и, продолжая движение по окружности в свободном пространстве под Землёй, появляются в поле зрения людей на востоке.

Рис. 18. Бюст Аристотеля высотой чуть более 45 см. Считается «самым хорошо сохранившимся и достоверным изображением» (крючковатый нос соответствует древним описаниям). Римская копия IV в. до н. э. греческого бронзового оригинала. Хранится в музее Акрополя.

Диоге́н Лаэ́ртский (II—III вв.) в трактате «О жизни, учениях и изречениях великих философов» ссылается на книгу Алекса́ндра Полиги́стора (100 г. до н. э.—40 г. до н. э.) «О преемствах философов» в которой изложены взгляды пифагорейцев на природу вещей: «... четыре основы — огонь, вода, земля и воздух; перемещаясь и превращаясь целиком, они порождают мир — одушевленный, разумный, шаровидный, в середине которого — земля; и земля тоже шаровидна и населена со всех сторон. Существуют даже антипо́ды, и наш низ — для них верх.»

Филола́й (около 470—после 400 до н. э.) — древнегреческий философ-пифагореец, математик, современник Сокра́та и Демокри́та. Согласно Аристо́телю, первым предположил возможность движения Земли, утверждая, что смена дня и ночи вызвана движением планеты вокруг воображаемого центра Космоса. Полагал, что шарообразные Земля, Противоземля и Солнце вращаются вокруг Центрального огня.

Примерно в 350 г. до н. э. греческий философ Аристотель (один из наиболее авторитетных мыслителей древнего мира, учение которого поддерживалось в Европе христианской церковью на протяжении всего средневековья), в книге «О небе» упоминает экспериментально установленный факт: «...тяжести, падающие на землю, падают не параллельно друг другу, а под равными углами [к касательной], откуда следует, что они движутся к одному центру [Вселенной] и Земли.»

Также в книге «О небе», подводя итоги человеческих знаний своей эпохи, он привёл ряд доводов в пользу того, что Земля круглая, как шар, и является неподвижным центром Вселенной.

В частности, Аристотель указал, что лунные затмения происходят тогда, когда Земля оказывается между Луной и Солнцем. Земля всегда отбрасывает на Луну круглую тень, а это может быть лишь в том случае, если Земля имеет форму шара. Будь Земля плоским диском, её тень, если затмение происходит сразу после заката, либо перед восходом Солнца, имела бы форму вытянутого эллипса.

Рис. 19. Трикветрум — древний астрономический угломерный инструмент, применявшийся для измерения зенитных расстояний небесных светил и параллакса Луны.

Рис. 20. Одно из самых ранних дошедших до нас изображений (рукопись IX века) геоцентрической системы на основе теории гомоцентрических сфер. Макробий, «Комментарий на Сон Сципиона», V в. Земля — ​​это самое внутреннее, а наивысшее — это небо, которое «содержит в себе всё остальное и само является Верховным Богом» ( unes est caelestis [...] qui reliquos omnes complectitur, summus ipse deus ). Между этими двумя крайностями лежат сферы Луны, Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна (которые идут от низшего к высшему).

Кроме того, по опыту морских путешествий греки античности знали, что в южных районах Полярная звезда на небе наблюдается ниже, чем в северных (поскольку Полярная звезда находится над Северным полюсом, она будет прямо над головой наблюдателя, стоящего на Северном полюсе, а человеку на экваторе она будет видна, как звезда, находящаяся очень близко к линии горизонта).

Зная разницу в кажущемся положении Полярной звезды в Египте и в Греции, Аристотель сумел даже вычислить, что длина экватора составляет 400 000 стадиев. Чему равнялся один стадий, точно не известно, приблизительно 200 метров, и, стало быть, оценка Аристотеля длины экватора (80000 км) была в два раза больше современной (40075,017 км).

У древних греков был ещё один довод в пользу шарообразной формы Земли: если Земля не круглая, то почему же мы сначала видим паруса морского судна, поднимающиеся над горизонтом, и только потом само судно?

Из приверженцев гелиоцентрической системы упоминаются Аристарх Самосский (Самос, ок. 310 г. до н. э. — ок. 230 г. до н. э.), как автор математической гипотезы, и вавилонянин Селевк (ок. 190 г. до н. э. — после 150 г. до н. э.), который дал её физическое обоснование.

Кратет Малльский, древнегреческий философ-стоик и грамматик, глава пергамской грамматической школы, занимался исследованием строения земного шара. По римским источникам около 150 года до н. э. он построил первый глобус. Выдвинутая им идея четырёхчастного (четыре континента) глобуса предопределила античные и западноевропейские представления о мире вплоть до конца средневековья (XVI век).

Рис. 21. Карта плоской Земли из рукописи Косьмы Индикоплова «Книга глаголемая Косьмы Индикоплова». Миниатюра из Лаврентианской рукописи, лист 92v

Рис. 22. Вселенная по Косьме Индикоплову в виде скинии. Великая гора на севере, за которую заходит вечером и из за которой восходит утром Солнце (тёмный круг справа от горы). Миниатюра из Лаврентианской рукописи, лист 95v.

Получив успешный начальный импульс к развитию, гелиоцентрическая система подверглась во II веке до н. э. критике со стороны всего научного сообщества того времени и религиозным гонениям, в результате чего была утрачена для древнегреческой науки (астрономия была заменена астрологией).

Между тем, геоцентрические научные представления получили своё дальнейшее развитие. Аполлоний Пергский (Перге, 262 г. до н. э. — 190 г. до н. э.) для объяснения видимого движения планет построил теорию эпициклов и эксцентрических окружностей. На их основе Гиппарх (ок. 190 до н. э. — ок. 120 г. до н. э.) и Клавдий Птолемей (ок. 100 г. — ок. 170 г.) создали так называемую «птолемееву» систему мира, в центре которой находилась шарообразная неподвижная Земля. Птолемеева система мира поддерживалась языческой религией Римской Республики, христианством и мусульманством, в результате чего оставалась доминирующей вплоть до XVI века.

Рис. 21. Небесные сферы в рукописи Коперника: 1. Покоящаяся сфера неподвижных звёзд. 2. Сатурн. 30-летнее вращение. 3. Юпитер. 12-летнее вращение. 4. Марс. Двухлетнее вращение. 5. Земля. Годовое вращение с лунной орбитой. 6. Венера. 9-месячное вращение. 7. Меркурий. 80-дневное вращение. Солнце.

Однако, даже птолемеева система мира была уделом очень малой части вредневекового общества из числа состоятельных людей, которым было доступно высшее образование (в школах этому не учили).

Для широких масс в VI веке была создана рукопись «Христианская топография» (др.-греч. Χριστιανικὴ Τοπογραφία) — приписываемое византийскому купцу Косьме Индикоплову произведение, представляющее одно из первых известных христианских описаний мира. В этом произведении, Вселенная, имеющая форму скинии, делится в пространстве как бы на четыре яруса: в самом верхнем пребывает Христос — верховный судья всего сущего, во втором обитают ангелы, в третьем — люди, в четвертом, подземном, ярусе — демоны.

Обитаемая часть суши расположена в центре Океана, он, в свою очередь, окружён другой сушей, в восточной части которой расположен Рай. Четыре моря, являющиеся по теории Косьмы заливами Океана, вклиниваются в массив суши. Реки, начинающиеся в Раю, неизвестным образом пересекают Океан и вновь возникают и на обитаемой части суши. 

Описанная выше преемственность знаний в отношении сферичности Земли не означает повсеместное признание этой точки зрения плоть до XVI века. Николай Коперник вынужден был включить в свою книгу «О вращении небесных сфер» (сочинение издано в Нюрнберге в 1543 году) отдельный раздел, содержащий перечень фактов в качестве доказательств шарообразности нашей планеты. Упомянутый раздел содержит следующий вывод:

«Итак, Земля не является плоской, как думали Эмпедокл и Анаксимен, ни тимпанообразной, как считал Левкипп, ни ладьеобразной, как у Гераклита, ни как-нибудь иначе вогнутой, как у Демокрита; точно также она не цилиндрическая, как у Анаксимандра, и не опускается вглубь бесконечной толщиной, как считал Ксенофан, а абсолютно кругла, как учат философы.»

Шарообразность нашей планеты была впервые подтверждена экспериментально испанской морской географической исследовательской экспедицией под руководством Фернана Магеллана в середине XVI века в эпоху великих географический открытий.

То, что Земля не может быть идеальным шаром вследствие вращения вокруг собственной оси, впервые показал Исаак Ньютон.

Современные высокоточные геодезические измерения (в том числе методами космической геодезии) определяют форму нашей планеты, как геоид, форма которого близка к сплюснутому эллипсоиду вращения.

Аналитическая геометрия и декартова система координат

Рис. 22. Координата точки в декартовой трёхмерной правой системе координат.

В аналитической геометрии каждая точка трёхмерного пространства описывается как набор из трёх величин — координат. Задаются три взаимно перпендикулярных координатных оси, пересекающихся в начале координат. Положение точки задаётся относительно этих трёх осей заданием упорядоченной тройки чисел. Каждое из этих чисел задаёт расстояние от начала отсчёта до точки, измеренное вдоль соответствующей оси, что равно расстоянию от точки до плоскости, образованной другими двумя осями.

Рис. 23. Пьер де Ферма — французский математик-самоучка, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года — советник парламента вТулузе. Блестящий полиглот. Наиболее известен формулировкой Великой теоремы Ферма — «самой знаменитой математической загадки всех времён». Портрет из книги Louis Figuier «Vies de savants illustres. Savants du XVII^e siècle».

В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые сформулированный Пьером Ферма (Pierre de Fermat) в рукописном трактате «Введение в изучение плоских и телесных мест» («Ad locos planos et solidos»). Независимо от Ферма, этот принцип был изложен Рене Декартом (René Descartes) в трёх книгах «Гео­мет­рии» в 1637 году. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела, и наоборот. Такой метод «алгебраизации» геометрических свойств доказал свою универсальность и плодотворно применяется во многих естественных науках и в технике.

Интересный исторический факт: прямоугольная система координат на­зва­на в честь Де­кар­та, хо­тя в его сочинении «Гео­мет­рия» (1637 год) рас­смат­ри­ва­лась ко­со­уголь­ная двумерная сис­те­ма ко­ор­ди­нат, в ко­то­рой ко­ор­ди­на­ты то­чек мог­ли быть толь­ко по­ло­жи­тель­ны­ми. В из­да­нии 1659–1661 годов к «Гео­мет­рии» при­ло­же­на ра­бо­та голландского ма­те­ма­ти­ка И. Худ­де (Johannes van Waveren Hudde), в ко­то­рой впер­вые до­пус­ка­ют­ся как по­ло­жи­тель­ные, так и от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния двумерных ко­ор­ди­нат. Про­стран­ст­вен­ную (трёхмерную) декартову систему координат ввёл в 1679 году французский ма­те­ма­тик Ф. Ла­ир (Philippe de La Hire). Из всей терминологии, предложенной Лаиром, привилось только обозначение О (фр. origine — начало). В начале 18 века Жераром Дезаргом (Girard Desargues) были введены обо­зна­че­ния $x$, $y$ и $v$.

Обозначение геометрических фигур

В отличие от естественных наук, математика изучает объекты реального мира в наиболее абстрактном виде, существенно отвлекаясь от их конкретного содержания. Универсальность метода математической абстракции исключает возможность применения прилагательных «горизонтальный» и «вертикальный» применительно к математическим линиям и плоскостям.

Исторически, постоянные обозначаются прописными буквами начала латинского алфавита :

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle А} , Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle В} , Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle С} , ...: .

линии — строчными буквами начала латинского алфавита:

$a$, $b$, $c$, ... ;

поверхности — строчными буквами начала греческого алфавита:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle α} , Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle β} , Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle γ} , ... , либо буквой Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle π} , в том числе с нижней индексацией:Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle π_1} , Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle π_2} , ...;

точки на поверхности — прописными буквами середины латинского алфавита, например:

$M(x,y,z)$,

где $x$, $y$, $z$ — соответствующие определённой точке значения координатных осей.

Уравнение поверхности

Алгебраическая поверхность Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle π} первого порядка, как множество точек М (x, y, z), задаётся относительно прямоугольной декартовой системы $Oxyz$ общим уравнением первой степени:

$Ax + By + Cz + D = 0\qquad$     (1)

где $A$,$B$,$C$ и $D$ — какие угодно постоянные величины, причём хотя бы одна из постоянных $A$,$B$,$C$ не равна нулю.

Уравнения координатных плоскостей

Рис. 24. Декартова трёхмерная левая система координат.

Ox — ось абсцисс, Oy — ось ординат, Oz — ось аппликат.

Декартовыми прямоугольными координатами x, y и z точки М называются величины направленных отрезков ОМ_x, OM_y и OM_z.

Из уравнения (1) следует, что при $A = 0$, Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle В=0} и $D=0$ уравнение

$Cz=0$     (2)

определяет координатную плоскость $Oxy$.

При $A = 0$, $C=0$ и $D=0$ уравнение

$By=0$     (3)

определяет координатную плоскость $Oyz$.

А при $B = 0$, $C=0$ $D=0$ уравнение

$Ax=0$     (4)

определяет координатную плоскость $Oyz$.

Начертательная геометрия

Рис. 25. Гаспар Монж граф де Пелюз (1746-1818). Портрет кисти Жана–Батиста Мозесс. Картина из коллекции Версальского дворца.

В своём классическом произведении «Geometrie descriptive» («Описательная геометрия»), опубликованном в 1798г., Гаспар Монж разработал общую геометрическую теорию, дающую возможность на плоском листе, содержащем ортогональные проекции трёхмерного тела, решать различные стереометрические задачи.

Им была создана абстрактная геометрическая модель реального пространства, согласно которой каждой точке трёхмерного пространства ставится в соответствие две её ортогональные проекции на взаимно перпендикулярные плоскости. Со временем, проекционный чертёж, построенный по правилам начертательной геометрии, становится рабочим инструментом инженеров, архитекторов и техников всех стран.

Рис. 26. Пример использования начертательной геометрии для нахождения кратчайшего расстояния между двумя наклонными линиями. Красные, жёлтые и зелёные цвета показывают расстояния, одинаковые для проекций точки P.

Монж использовал в своей теории термины «горизонталь», «горизонтальная линия проекции» и «горизонтальная плоскость проекций», а также «вертикаль», «вертикальная линия проекции» и «вертикальная плоскость проекций». Наличие установившихся терминов в профессиональной среде, по мнению Монжа, является достаточным основанием к отказу от введения в оборот более общей абстрактной терминологии:

«Кроме того, поскольку большинство специалистов, применяющих метод проекций. привыкло иметь дело с положением горизонтальной плоскости и направлением линии отвеса, они обычно предполагают, что из двух плоскостей проекций одна — горизонтальная, а другая — вертикальная.»

Примеры применения понятия «горизонтальная плоскость»

Существует огромное разнообразие способов применения декартовой системы координат, а вместе с ней понятия горизонтальная плоскость, во всевозможных областях знания и человеческой деятельности.

Однако, для иллюстрации существующего разнообразия достаточно указать базовые, которые легко распространить на всевозможные теоретические и прикладные направления в науке, технике, технологиях, искусстве и в повседневной жизни.

В геодезии

Рис. 27. Карта мира между 85° ю. ш. и 85° с. ш. в проекции Меркатора.

Рис. 28. Соотношения между площадями различных территорий в проекции Меркатора (см. рис. 24) и истинными (уменьшенные площади).

Способ перенесения изображений со сферической поверхности на плоскость, обеспечивающий минимальные искажения, называется картографической проекцией.

При геодезических работах, выполняемых на небольших по площади участках местности, уровенную поверхность принимают за горизонтальную плоскость. Такая замена влечёт за собой некоторые искажения в длинах линий и высотах точек.

На участках радиусом 10 км погрешность определения расстояния составляет малозначащие 2 см.

Иначе обстоит дело с влиянием кривизны Земли на высоты точек (см. табл. 1). Влияние кривизны Земли на высоты точек сказывается уже на расстоянии в 0,3 км (1 см. погрешности). Это необходимо учитывать при производстве геодезических работ.

Таблица 1. Погрешности измерений высот точек на разных расстояниях

l, км	0,3	0,5	1,0	2,0	5,0	10,0	20,0
p, м	0,01	0,02	0,08	0,30	1,96	7,85	33,40

Горизонтальная плоскость в геодезии определена как плоскость, перпендикулярная к отвесной линии, проходящей через данную точку.

Рис. 29. Фрагмент топографической карты USGS города Стоу (Вермонт, США) и его окрестности с 20-футовым (6,096 м) интервалом между изогибсами. Масштаб 1: 24000.

Горизонталь – линия равных высот на карте, при помощи которых формируются изогибсы.

Геодезические координаты – три величины, две из которых характеризуют направление нормали к поверхности земного эллипсоида в данной точке пространства относительно плоскостей его экватора и начального меридиана, а третья является высотой точки над поверхностью земного эллипсоида.

Монтажная линия – линия, закреплённая на местности, относительно которой сооружения и технологическое оборудование (станки, механизмы и пр.) устанавливается в проектное положение.

Таким образом, все мыслимые горизонтальные плоскости помещений и этажей в зданиях, относящихся к жилью, промышленным, сельскохозяйственным, культурным, спортивным и культовым сооружениям, а также прилегающих к ним территорий (площади, дворы, парки, скверы и др.), кроме того, надземных, наземных и подземных сооружений, такие как железнодорожные пути, пешеходные, велосипедные дорожки и автодороги, мостовые сооружения (мосты, путепроводы, эстакады, виадуки), транспортные развязки, а также плотины, определяются геодезическими методами.

В инженерной графике

Основная статья: Инженерная графика

Инженерная графика – геометрическое и проекционное черчение.

Черчение – выполнение чертежей по по правилам, определяемым комплексом государственных стандартов (ГОСТ), например, в России – по «Единой системе конструкторской документации» (ЕСКД), составленной по правилам и нормам международных стандартов.

Чертёж – документ в виде графического изображения, выполненный в определённом масштабе, с указанием размеров и графически выраженных технических условий, соблюдение которых, в зависимости от назначения чертежа, должно быть обеспечено при изготовлении, монтаже, контроле и упаковке изделия.

Изображения предметов должны выполняться на чертежах (электронных моделях) всех отраслей промышленности и строительства по методу прямоугольного проецирования, либо аксонометрической проекции.

При прямоугольном проецировании предмет предполагается между наблюдателем и соответствующей плоскостью проекций (рис. 27).

Рис. 30. Изображения предмета на чертеже по методу прямоугольного проецирования.

Установлены следующие названия видов, получаемых на основных плоскостях проекций (рис. 27):

1. вид спереди (главный вид) – на фронтальной плоскости проекций;
2. вид сверху – на горизонтальной плоскости проекций;
3. вид слева – на профильной плоскости проекций;
4. вид справа – на профильной плоскости проекций;
5. вид снизу – на горизонтальной плоскости проекций;
6. вид сзади – на плоскости проекций противоположной фронтальной.

Хотя ортогональные плоскости проекции расположены четыре — вертикально (1, 3, 4, 6) и две — горизонтально (2, 5), это обстоятельство не связано с реальным положением предмета на монтажной поверхности, поскольку предмет на чертеже располагают относительно фронтальной плоскости проекций (1) так, чтобы изображение на ней давало наиболее полное представление о его форме и размерах.

В физике

Рис. 31. Траектория полёта снаряда в двумерной системе координат OXY.

Вектор начальной скорости определяется как величина v₀=v_0x+ v_0y, где вектора v_0x и v_0y представляют из себя проекции v₀ на оси OX и OY.

g — ускорение свободного падения.

Основная статья: Физика и Полёт снаряда

Физика, как область современного естествознания, решает широкий спектр научных задач, связанных с необходимостью учитывать действие силы тяготения. По этой причине в физике повсеместно применяется декартова система координат, привязанная к астрономическому горизонту.

При этом, размерность декартовой системы координат может быть различной:

• две оси, когда область решений находится на плоскости $Oxy$,
• три оси, для области решения в трёхмерном пространстве $Oxyz$
• $n$ осей, для областей решения задач теоретической физики в $n$—мерном пространстве.

  

  Рис. 32. Траектория полёта снаряда в трёхмерной правой системе координат.

  Под действием ветра, скорость которого равна v₁, происходит смещение траектории в третьем измерении (ось ОZ).

  ΔZ — величина отклонения снаряда на уровне пересечения траектории снаряда с горизонтальной плоскостью OXZ.

Задача определения траектории полёта снаряда является примером перехода двумерной области решения (без учёта бокового ветра) в трёхмерную (в учётом действия бокового ветра). В этом случае:

• двумерная декартова система координат $Oxy$ представленная в виде двух осей: горизонтальной $Ox$, совпадающей с направлением астрономического горизонта, и вертикальной $Oy$ (см. рис. 7),
• переходит в трёхмерную правостороннюю систему координат $Oxyz$ представленной тремя осями: двух горизонтальных $Ox$ и $Oz$, определяющих горизонтальную плоскость $Oxz$ и совпадающих с астрономическим горизонтом, а также одной вертикальной осью $Oy$, совпадающей с отвесной линией (см. рис. 8),

началом отсчёта в обеих системах координат является точка вылета снаряда из канала ствола.

Современные высокоточные данные

Рис. 33. Два спутника NSSDC ID: 2002-012A и 2002-012B миссии GRACE—FO NASA—German Aerospace Center.

Доминировавшие с эпохи Возрождения до конца XX века представления о гравитационном поле Земли были откорректированы экспериментальными данными гравитационного картирования : космическими миссиями GRACE (2002—2017 г. г.), GOCE (2009—2013 г. г.), GRACE-FO (2018 г.—миссия продолжается).

Рис. 34. Изостатические модели по Джорджу Эйри (1) и Джону Пратту (2).#

Новые представления в геофизике можно описать следующим образом:

1. сложно найти две точки на противоположных сторонах Земли, лежащие на прямой, проходящей через центр гравитации нашей планеты, в которых горизонтальные плоскости были бы параллельны;
2. установленная в выбранной точке горизонтальная плоскость меняет свою ориентацию с течением времени.

До запуска выше перечисленных космических миссий, астрофизика и геофизика опирались на модели, в которых ядро и мантия, а вслед за ними и земная кора образуют сплюснутый сфероид .

Рис. 35. Примеры компенсации масс материи на суше и в Мировом океане, приводящие к повсеместному выравниванию силы тяжести на поверхности Земли.

Кроме того, доминирующая в геофизике теория изостазии подразумевает существование гидростатического равновесного состояния земной коры, при котором менее плотная земная кора (средняя плотность 2,8 г/см³) «плавает» в более плотном слое верхней мантии — астеносфере (средняя плотность 3,3 г/см³), подчиняясь закону Архимеда .

Изостазия является одни из основополагающих принципов, который должен учитываться при построении любых геотектонических моделей.

Более точные измерения распределения силы тяжести на поверхности нашей планеты, осуществлённые космическими аппаратами, установили гравитационные отклонения (аномалии), которые не вписываются в теорию изостазии. Новые данные в отношении двух основных состояний гравитационного поля получили название «геоид» и «вариация интенсивности гравитационного поля Земли».

Геоид

Основная статья: Геоид

Рис. 36. Схема, демонстрирующая различия между понятиями «геоид» и «эллипсоид вращения»
1. Мировой океан.
2. Земной эллипсоид.
3. Отвесные линии.
4. Суша.
5. Геоид.

Рис. 37. Схематическое изображение глобальной геометрии основной уровенной поверхности — геоида, а также уровенных поверхностей и линий отвеса сфероида. g — вектор ускорения свободного падения в точке P на поверхности рельефа местности.

Геоид представляет из себя эквипотенциальную поверхность силы тяжести на поверхности Земли (силы гравитации с учётом центробежной силы), определяет уровенную поверхность, приблизительно совпадающей со средним уровнем вод Мирового океана в невозмущённом состоянии и условно продолженную под материками.

Естественной отсчетной поверхностью служит эллипсоид вращения, связанный с соответствующим ему «нормальным» гравитационным полем. Этот математический эллипсоид вращения используется в качестве «геодезической системы отсчёта» (Geodetic Reference System, GRS) или «общеземной геодезической системы» (World Geodetic System, WGS).

Геоид отличается от удачно выбранного эллипсоида (например, GRS 1980) менее, чем на 100 м. Геоцентрические положения сегодня могут быть определены с помощью GPS с точностью лучше 0,1 м в системе геоцентрических декартовых координат, либо в системе эллипсоидальных координат.

Рис. 38. Волнистость геоида — характеристика, показывающая разность высот геоида и референц—эллипсоида в метрах. Источник: GRACE NASA—German Aerospace Center. Видно, что поверхность океана расходится с эллипсоидом: например, на севере Индийского океана она понижена на ~100 метров, а на западе Тихого — поднята на ~80 метров.

По определению эквипотенциальной поверхности, поверхность геоида везде перпендикулярна отвесной линии. Таким образом касательная к произвольно выбранной точке на поверхности геоида совпадает с астрономическим горизонтом и горизонтальной поверхностью.

Форма, которую поверхность океана могла бы принять под действием гравитации и центробежной силы, если бы отсутствовали другие воздействия, такие как ветры и приливы—отливы (предложена Гауссом). В прошлом, точная конфигурация геоида могла быть установлена только путём расчётов, основанных на измерениях силы тяжести на поверхности Земли. С конца XX века слежение за конфигурацией геоида проводятся с высокой точностью методами космической геодезии.

Некоторые авторы обозначают вышеописанную поверхность не как «геоид», а термином «основная уровенная поверхность», в то время как сам «геоид» определяется как 3-мерное тело, ограниченное этой поверхностью.

Модель геоида на рисунке 35 представляет из себя усреднённое значение вариации силы тяжести на поверхности нашей планеты.

Вариация интенсивности гравитационного поля Земли

Основная статья: GRACE

Рис. 39. Вариация интенсивности силы тяжести на поверхности Земли: верхнее изображение — на поверхности Мирового океана, нижнее изображение — на поверхности суши. Источник: GRACE NASA—German Aerospace Center.

Вариация интенсивности гравитационного поля Земли показана на рис. 36. Изображение представляет из себя последовательную смену ежемесячных данных миссии GRACE NASA и German Aerospace Center в период с января 2002 г. по март 2009 г.

Разделение изображения на две части (океаны и суша) искусственное: несложно заметить, что области различной интенсивности гравитационного поля свободно перемещаются через береговую линию.

Амплитуда вариации интенсивности гравитационного поля на поверхности Земли (примерно от -20 до 20 Гал) в 10⁵ раз больше величины амплитуды лунно—солнечных воздействий на нашу планету и на порядок больше изменения интенсивности за счёт центробежной силы или вследствие сплюснутости Земли:

• максимальная амплитуда лунно—солнечных возмущений — 0,24 мГал;
• изменение от полюса к экватору за счёт центробежной силы — 3,4 Гал;
• изменение от полюса к экватору за счёт сплюснутости Земли — 1,8 Гал.

Литература

1. Кривоногов В. Г. История геодезии. Лекции. StudFiles. Дата обращения 10 ноября 2019.
2. ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука I. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — 1. — Москва: ГИФМЛ, 1959. — С. 17-21, 51-57. — 460 с.
3. Нейгебауер О. Лекции по истории античных математических наук. Том 1. Догреческая математика. / Перевод с предисловием и примечаниями проф. Лурье С. Я. — 1. — Москва—Ленинград: Главная редакция общетехнической и техно-теоретической литературы, 1937. — С. 18. — 243 с.
4. Каргин Д. И. Гаспар Монж и его «Начертательная геометрия» / Приложение к книге Гаспара Монжа «Начертательная геометрия» / Под общей редакцией Кравца Т. П. — 1. — Ленинград: Академия Наук СССР, 1947. — С. 254. — 291 с.
5. Торхова Е. К., Кунгурцева Н. Ю. История развития начертательной геометрии. / под редакцией Торховой Е. К.. — 1. — Ижевск: Электронное учебное пособие, 2012. — С. 4—5. — 14 с.
6. Кривоногов В. Г. История геодезии. Лекции. StudFiles.Дата обращения 16 ноября 2019.
7. Никонов О. А. Становление аналитической геометрии и принцип дополнительности // Теория И Практика Общественного Развития. — 2010. — Вып. 2. — С. 138–148. — ISSN 2072-7623 1815-4964, 2072-7623
8. Розенфельд Б. А., Юшкевич А. П. Пятая глава «Математика». / История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. / под редакцией Юшкевич А. П. — т. 2. — 1 — Москва: Наука, 1970. — С. 101-110. — 301 с.
9. Гаспар Монж. Начертательная геометрия / Перевод Газе В. Ф. Под общей редакцией Кравца Т. П. — 1. — Ленинград: Академия Наук СССР, 1947. — С. 23. — 291 с.
10. Petrie W. M. F. Tools and weapons. Illustrated by the egyptian collection in University College, London, and 2,000 outines from other sources. — 1. — London and Aylesbury: Hazell, Watson and Viney, LD, 1917. — С. 118. — 262 с.
11. Friberg J. Methods and traditions of Babylonian mathematics: Plimpton 322, Pythagorean Triples, and the Babylonian Triangle Parameter Equations (англ.) // Historia Mathematica. — 1981-08-01. — Vol. 8, iss. 3. — P. 277–318. — [стандартный серийный номер|ISSN] 0315-0860. — doi:10.1016/0315-0860(81)90069-0.
12. Гофман-Велленгоф Б., Мориц Г. Физическая геодезия. / Перевод с английского Неймана Ю. М., Сугаиповой Л. C. / Под редакцией Неймана Ю. М. — Москва: МИИГАиК, 2007. — С. VI., 1, 48. — 426 с. — ISBN: 978-5-91188-007-1.
13. Спутники GRACE: 15 лет исследований воды (рус.). Дата обращения 3 декабря 2019.

См. также

Вертикальная плоскость