ФЭНДОМ


Градиент холма

Операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены «в горку» и тем длиннее, чем круче наклон.

Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины $ \varphi $, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля). Например, если взять в качестве $ \varphi $ высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма». Величина (модуль) вектора градиента равна скорости роста $ \varphi $ в этом направлении.

Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введен Максвеллом в 1873 г. Обозначение grad тоже предложил Максвелл.

Определение Править

Для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами $ \frac {\partial \varphi} {\partial x} $, $ \frac {\partial \varphi} {\partial y} $, $ \frac {\partial \varphi} {\partial z} $, где $ \varphi $ — некоторая скалярная функция координат $ x $, $ y $, $ z $.

Если $ \varphi $ — функция $ n $ переменных $ x_1,\;\ldots,\;x_n $, то её градиентом называется $ n $-мерный вектор

$ \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_1},\;\ldots,\;\frac{\partial \varphi}{\partial x_n}\right), $

компоненты которого равны частным производным $ \varphi $ по всем её аргументам.

Градиент обозначается $ \mathrm{grad}\,\varphi $ или, с использованием оператора набла, $ \nabla \varphi $.

Из определения градиента следует, что:

$ \mathrm{grad}\,\varphi = \nabla \varphi = \frac {\partial \varphi} {\partial x} \vec e_x + \frac {\partial \varphi} {\partial y} \vec e_y + \frac {\partial \varphi} {\partial z} \vec e_z. $

Смысл градиента любой скалярной функции $ f $ в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения $ d\mathbf{x} $ дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена $ f $, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения $ f $ при смещении на $ d\mathbf{x} $. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

$ df = \frac {\partial f} {\partial x_1}\,dx_1 + \frac {\partial f} {\partial x_2}\,dx_2 + \frac {\partial f} {\partial x_3}\,dx_3 + \ldots = \sum_i \frac {\partial f} {\partial x_i}\,dx_i = (\mathrm{grad}\,\mathbf{f} \cdot d\mathbf x). $

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат $ x_i $, то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку $ d\mathbf{x} $ — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

$ d f = \sum_i (\partial_i f)\,dx^i $

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

$ df=(\partial_i f)\,dx^i $

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Пример Править

Например, градиент функции $ \varphi(x,\;y,\;z)=2x+3y^2-\sin z $ будет представлять собой:

$ \nabla \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\;\frac{\partial \varphi}{\partial y},\;\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)=(2,\;6y,\;-\cos z) $

В физике Править

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т. д. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз, например, октанол/вода.

Геометрический смысл Править

Рассмотрим семейство линий уровня функции $ \varphi $:

$ \gamma(h)=\{(x_1,\;\ldots,\;x_n)\mid \varphi(x_1,\;\ldots,\;x_n)=h\}. $

Нетрудно показать, что градиент функции $ \varphi $ в точке $ \vec{x}{\,}^0 $ перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности $ \vec{x}{\,}^0 $, то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.

Связь с производной по направлению Править

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции $ \varphi $ по направлению $ \vec{e}=(e_1,\;\ldots,\;e_n) $ равняется скалярному произведению градиента $ \varphi $ на единичный вектор $ \vec{e} $:

$ \frac{\partial \varphi}{\partial \vec e}=\frac{\partial \varphi} {\partial x_1} e_1+\ldots+\frac{\partial \varphi}{\partial x_n} e_n = (\nabla \varphi,\;\vec e) $

Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.

Градиент в ортогональных криволинейных координатах Править

$ \operatorname{grad}\,U(q_1,\;q_2,\;q_3) = \frac{1}{H_1}\frac{\partial U}{\partial q_1}\vec{e}_1 + \frac{1}{H_2}\frac{\partial U}{\partial q_2}\vec{e}_2 + \frac{1}{H_3}\frac{\partial U}{\partial q_3}\vec{e}_3, $

где $ H_i $коэффициенты Ламе.

Полярные координаты (на плоскости) Править

Коэффициенты Ламе:

$ \begin{matrix}H_1 = 1; \\ H_2 = r. \end{matrix} $

Отсюда:

$ \operatorname{grad}\,U(r,\;\theta) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\vec {e_\theta}. $

Цилиндрические координаты Править

Коэффициенты Ламе:

$ \begin{matrix}H_1 = 1; \\ H_2 = r; \\ H_3 = 1. \end{matrix} $

Отсюда:

$ \operatorname{grad}\,U(r,\;\theta,\;z) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta}\vec {e_\theta} + \frac{\partial U}{\partial z}\vec {e_z}. $

Сферические координаты Править

Коэффициенты Ламе:

$ \begin{matrix}H_1 = 1; \\ H_2 = r; \\ H_3 = r\sin{\theta}. \end{matrix} $.

Отсюда:

$ \operatorname{grad}\,U(r,\;\theta,\;\varphi) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\vec {e_\theta} + \frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial U}{\partial\varphi}\vec {e_\varphi}. $

См. также Править


Wiki letter w
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: