Импульс

«Школьное» определение импульса

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорость

$\vec p=\sum_{i}m_i \vec{v}_i,$

соответственно величина $\vec p_i=m_i \vec{v}_i,$ называется импульсом одной материальной точки.

Если мы имеем дело с телом конечного размера, для определения его импульса необходимо разбить тело на малые части, которые можно считать материальными точками и просуммировать по ним, в результате получим:

$\vec p=\int \rho(x,y,z)\vec{v}(x,y,z)dx dy dz.$

Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы) сохраняется во времени:

$\frac{d\vec p}{dt}=0$. (*)

Сохранение импульса в этом случае следует из второго и третьего закона Ньютона: написав второй закон Ньютона для каждой из составляющих систему материальных точек и просуммировав по всем матточкам, составляющим систему, в силу третьего закона Ньютона получим равенство (*).

В релятивистской механике трёхмерным импульсом системы невзаимодействующих материальных точек называется величина

$\vec p = \sum_i \frac{m_i \vec v_i}{\sqrt{1-v_i^2/c^2}}$,

где m_i — масса покоя i-й материальной точки.

Для замкнутой системы невзаимодействующих материальных точек эта величина сохраняется. Однако трёхмерный импульс не есть релятивистски инвариантная величина, так как он зависит от системы отсчёта. Более осмысленной величиной будет четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки определяется как

$p=(E/c,\vec p)=(\frac{m_0 c}{\sqrt{1-v_i^2/c^2}},\frac{m_0 \vec v}{\sqrt{1-v_i^2/c^2}}).$

В принципе, для системы невзаимодействующих материальных точек их 4-импульсы суммируются. Однако для взаимодействующих частиц в релятивистской механике следует учитывать импульсы не только составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия между ними. Поэтому гораздо более осмысленной величиной в релятивистской механике является тензор энергии-импульса, который в полной мере удовлетворяет законам сохранения.

Обобщённый импульс в аналитической механике

В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости $p_i = \partial {\mathcal L}/\partial \dot{q}_i$. В случае, если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты, то в силу уравнений Лагранжа $dp_i/dt=0\,\!$.

Для свободной частицы функция лагранжа имеет вид: $\mathcal L=-mc^2 \sqrt{1-v^2/c^2}$, отсюда: $\overrightarrow {p}= \frac{m \overrightarrow {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}}$

Независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве следует из свойства однородности пространства: для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства мы её поместим. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины. Эту величину и называют импульсом (обычным, не обобщённым).

Формальное определение импульса

Импульсом называется сохраняющаяся физическая величина, связанная с однородностью пространства (относительно трансляций).

Импульс в нерелятивистской квантовой механике

Формальное определение

В квантовой механике импульсом частицы называют оператор-генератор группы трансляций.

В координатном представлении для системы нерелятивистских частиц

$\hat{\vec P}=\sum_j \hat{\vec p}_j= \sum -i\hbar \nabla_j$

«Наивное» определение через волны де Бройля

ar:زخم الحركة bg:Импулс (механика) bs:Količina kretanja ca:Quantitat de moviment cs:Hybnost da:Impuls (fysik) de:Impuls (Physik) el:Ορμή en:Momentum eo:Movokvanto es:Cantidad de movimiento et:Impulss eu:Momentu lineal fa:اندازه حرکت fi:Liikemäärä fr:Quantité de mouvement gl:Cantidade de movemento he:תנע hr:Količina gibanja hu:Impulzus id:Momentum it:Quantità di moto ja:運動量 ka:იმპულსი ko:운동량 ms:Momentum nl:Impuls (natuurkunde) nn:Rørslemengd no:Bevegelsesmengde pl:Pęd (fizyka) pt:Quantidade de movimento linear simple:Momentum sk:Hybnosť sl:Gibalna količina sr:Импулс sv:Rörelsemängd th:โมเมนตัม tr:Momentum uk:Імпульс vi:Động lượng zh:动量 zh-min-nan:Ūn-tōng-liōng