Наука
Регистрация
Advertisement
Ивентология Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Интуиционистским нечетким множеством (ИНМ) называют множество вида:

где -функция принадлежности интуиционистского нечеткого множества и -функция непринадлежности интуиционистского нечеткого множества . Функции такие, что и .

Функцией принадлежности называется функция, которая позволяет вычислить степень принадлежности произвольного элемена множества к нечеткому можеству .

Функцией непринадлежности называется функция, которая позволяет вычислить степень непринадлежности произвольного элемена множества к интуиционистскому нечеткому множеству


Замечание:Очевидно, что каждое нечеткое множество может быть представлено в виде интуиционистского нечеткого множества: , где .


Для каждого интуиционистского нечеткого множества мы будем определять интуиционистский индекс нечеткости: , . Это выражение позволяет получить необходимое знание о том принадлежит ли множеству или нет. Очевидно, что , для .


Операции[]

Для каждых двух ИНМ и могут быть определены нижеследующие отношения и операции:

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Замечание. Таким образом, применение ИНМ вместо нечетких множеств означает введение дополнительных степеней свободы. Такое обобщение нечетких множеств дает нам дополнительную возможность представления недостаточных знаний о том, что лежит в описании многих действительных проблем.

Геометрическая интерпретация[]

Учитывая все вышесказанное, нетрудно заметить, что для каждого элемента , принадлежащего множеству значения функций принадлежности, непринадлежности и интуиционистского индекса нечеткости в сумме дают единицу, то есть: и что каждое из значений функций принадлежности, непринадлежности и интуиционистского индекса нечеткости лежит в интервале [0,1].

File1

Таким образом, нами может быть представлен куб (смотрим рис.), вместо которого мы будем рассматривать треугольник , полностью удовлетворяющий равенству .

Другими словами, треугольник описывает поверхность, любая точка которой может представлять элемент, принадлежащий ИНМ (то есть данному элементу однозначно ставится в соответствие точка представленного треугольника, имеющая три координаты: ).

Точки и являются крисп-элементами: точка представляет элемент, полностью принадлежащий ИНМ, так как . Точка представляет элемент полностью не принадлежащий ИНМ, так как . Точка представляет элемент, о котором мы не можем сказать принадлежит он или нет ИНМ (интуиционистский индекс нечеткости .(Такая интерпретация интуитивна, она обеспечивает средства для представления многих аспектов неполной информации.) Отрезок (где ) представляет элементы, принадлежащие классическому нечеткому множеству . Любая другая комбинация значений, характеризующих ИНМ, может быть представлена внутренней точкой треугольника . Другими словами, каждый элемент, принадлежащий ИНМ, может быть представлен как точка , принадлежащая треугольнику (см.рис.).

Используя вышеопределенное геометрическое представление, мы можем вычислить расстояние между двумя любыми ИНМ и ,состоящих из элементов.

Расстояние[]

Для интуиционистских нечетких множеств есть два способа измерения расстояния. Некоторые исследователи в своих расчетах используют только два параметра (функции принадлежности и непринадлежности), тогда как другие используют все три параметра (функции принадлежности, непринадлежности и интуиционистский индекс нечеткости), характеризующие интуиционистские нечеткие множества.

Оба метода корректны в -метрике Минковского, поскольку выполнены все необходимые и достаточные аксиомы для расстояний.

Ситуация совершенно отличаетя (недостаток формулы с двумя параметрами) в метрике Хаусдорфа. В деталях обсудим это ниже.

Можно было сказать, что, если оба нижеследующих метода (в -метрике Минковского) правильны, то могут быть взаимозаменяемы. Но, к сожалению, фактически, то какой метод мы используем, действительно влияет на конечные результаты - результаты вычислений отличаются не только по значениям (что является очевидным), но также дают весьма различные, качественные, ответы.

Защитники метода с двумя параметрами (функции принадлежности и непринадлежности) утверждают, что бесполезно принимать во внимание третий параметр (интуиционистский индекс нечеткости), значение которого всегда известно как результат двух используемых параметров. Однако, факт, что мы знаем эти значения, не означает, что мы можем отказаться от них в формулах расстояний, если это дает более подробную информацию. Это особенно ясно для метрики Хаусдорфа (где формулы с двумя параметрами не работают). Для -метрики Минковского, с математической точки зрения, мы можем вычислить расстояния, используя только два параметра, но мы потеряем много важной информации. Вычисляя расстояния для интуиционистских нечетких множеств, мы должны не только соблюдать математическую правильность, но должны применять формулы, которые используют всю возможную информацию, важную с точки зрения приложения. Поэтому, можно утверждать, что, пренебрегая значениями интуиционистского индекса нечеткости, мы не используем важную часть доступных знаний. Интуиционистский индекс нечеткости сообщает нам, вообще говоря, о размере недостающей информации. Очевидно, если мы знаем много, мало или, возможно, ничего, это существенно, и если это не используется, мы можем сделать неверные выводы.

Кажется, что защитники методов с двумя параметрами только обобщают следующие рассуждение, известные о нечетких множествах:

  • для нечетких множеств достаточно одного параметра (функции принадлежности);
  • сумма функции принадлежности и непринадлежности "автоматически" равняется единице;
  • функция непринадлежности, как прямой результат принадлежности, избыточна;

Так, для ИНМ рассуждения подобны:

  • сумма функции принадлежности, непринадлежности и интуиционистского индекса нечеткости "автоматически" равняется единице;
  • интуиционистский индекс нечеткости -- прямой результат функций принадлежности и непринадлежности;
  • применение интуиционистского индекса нечеткости избыточно в формулах.

Хотя замечания похожи, мы покажем, что есть существенные различия, когда мы опускаем функцию непринадлежности для нечетких множеств и интуиционистский индекс нечеткости для интуиционистских нечетких множеств.


Формулы вычисления расстояний[]

Используя рассмотренную выше геометрическую интерпретацию, мы можем вычислить расстояние между двумя ИНМ и в , по следующим формулам:

  • Относительное хеммингово расстояние: ;
  • Относительное евклидово расстояние:

Значения обоих расстояний лежат на интервале [0,1].

Как уже говорилось ранее, расстояние между ИНМ можно вычислить двумя путями: используя при этом значения только двух параметров, либо же всех трех параметров, описывающих принадлежность элемента к данному множеству. К сожалению, нельзя сказать, что оба пути эквивалентны при оценке результатов, полученных в результате вычислений.

Рассмотрим аргументы в пользу того, что при вычислении расстояния по соответствующим формулам необходимо использовать все три параметра.

Главной причиной этого является то, принимая во внимание только два параметра, для элементов классического нечеткого множества (которое, как известно, является частным случаем ИНМ), мы получаем расстояние из другого интервала, нежели для элементов, принадлежащих ИНМ. Это, фактически, лишает нас возможности применения одной и той же формулы для множеств двух видов.

В случае расстояний Хемминга этого можно избежать, умножая результаты для нечетких множеств (или для ИНМ) на определенную постоянную. Теоретически - это просто, но для больших баз данных это может быть проблематично - проверять каждый раз тип данных(нечеткий или интуиционистский нечеткий), умножать на постоянную (или нет), чтобы в последствии было возможным сравнить полученные результаты.

Относительное хеммингово расстояние[]

Проиллюстрируем проблему в случае относительного хеммингова расстояния.

Как видно из геометрической интерпретации (см.рис.), все стороны рассматриваемого нами треугольника равны между собой, то есть . В то же время если использовать только два параметра для вычисления расстояния, то есть пользоваться формулой

, мы получим

,

.

Таким образом и .

В то время как используя все три параметра, мы имеем:

,

,

.

Откуда и .

Другими словами, принимая во внимание только два параметра для элементов, принадлежащих классическому нечеткому множеству (которые являются частным случаем интуиционистских нечетких множеств (отрезок на рис.)), мы получаем расстояние, которое отличается от расстояния, вычесленного для элементов, принадлежащих интуиционистскому нечеткому множеству.

На практике использование двух различных формул для вычисления расстояний может привести к значительным погрешностям вычисления как для нечетких, так и для интуиционистских нечетких множеств.

Аналогичные выводы - что все три параметра должны быть приняты во внимание в формулах для расстояний - могут быть также сделаны аналитическим способом. Давайте проверим, можем ли мы отказаться от значений в формуле .

Принимая во внимание , мы имеем:

Данное неравенство означает, что третий параметр не должен быть опущен, как это возможно в случае нечетких множеств, для которых принятие во внимание второго параметра приводит только лишь к умножению на константу. Для ИНМ игнорирование третьего параметра значительно влияет на результаты.

Относительное евклидово расстояние[]

Подобная ситуация происходит и для евклидового расстояния. Давайте проверим результат в случае неприменения третьего параметра в формуле для относительного евклидого расстояния. Принимая во внимание , имеем:

что означает, что применение третьего параметра при вычислении евклидового расстояния для ИНМ действительно имеет влияние на конечный результат. Это также очевидно и потому, что двумерное геометрическая интерпритация (получающаяся при использовании только двух параметров) представляет собой ортогональное проектирование геометрической интерпритации с тремя параметрами.

Таким образом, мы представили и аналитические, и геометрические аргументы в пользу того, почему вычисляя расстояния для ИНМ необходимо использовать значения всех трех параметров. Теперь покажем некоторые отрицательные результаты использования только двух параметров.

Недостатки использования двух параметров[]

Расстояния, основанные «на личных мнениях»[]

Некоторые исследователи утверждают, что использование только двух параметров при вычислении расстояний для ИНМ являются приемлемыми. По их мнению расстояние от элемента, о котором у нас не достает знания по поводу принадлежности ИНМ до крисп-элемента, например должно быть меньше, чем расстояние между двумя крисп-элементами, что гарантируется представлениями двух параметров.

Хотя довольно трудно полностью придерживаться конструкции общих моделей, основываясь на личных мнениях, мы можем согласиться с такими объяснениями. Но немедленно возникает противоречие. Согласно теории ИНМ, представляет такой элемент, о принадлежности которого мы не имеем никаких знаний вообще; так, что это может быть крисп-элемент, любой нечеткий элемент (где: ), или любой интуиционистский нечеткий элемент (где: ).

Давайте рассмотрим один из частных случаев: допустим, что это крисп-элемент. Но это не может быть крисп-элемент (для случая двух параметров) так как тогда расстояние между и крисп-элементом меньше, чем расстояние между двумя крисп-элементами (для расстояния Хемминга, оно является равным ).

Конечно, мы можем согласиться, что, с теоретической точки зрения, можно было применить ЛЮБУЮ формулу, чтобы вычислить расстояние (по некоторым математическим правилам) и представить ЛЮБЫЕ личные рассуждения относительно отношения расстояний: между крисп-элементами и с одной стороны, и между и крисп-элементом с другой стороны. Однако, должно быть подчеркнуто, что индивидуальное решение, принятое в индивидуальной работе может быть надлежащим в определенном случае, но не в общем.

Расстояние Хаусдорфа[]

Введение формул для вычисления расстояния Хаусдорфа на основе двух параметов приводит к полностью неправильным результатам. Покажем ниже результы, представленные Grzegorzewski в его статье "Расстояния между интуиционистскими нечеткими множествами и/или интервалом нечеткого множества, основанные на метрики Хаусдорфа".

Grzegorzewski говорит: "предложенное новое расстояние - прямое обобщение известного расстояния Хемминга, евклидового расстояния и их нормализованных интерпритаций.. ". Он имеет в виду расстояния Хемминга и Евклида, принимающие во внимание только два параметра:

которое, фактически, не расстояние Хаусдорфа.

Важно оценить должным образом результаты. Лучшие объяснения даются Grzegorzewski в примере, где расстояния Хаусдорфа вычесленно для отдельных элементов. Поскольку мы знаем, что для отдельных элементов расстояние Хаусдорфа уменьшается только для "нормальных" расстояний, то есть для Хеммингова или Евклидова. Так что давайте рассмотрим результаты на Примере и сравним их с расстоянием Хемминга (использующим только два параметра), которые - согласно Grzegorzewski - являются правильными.

Пример.

Рассмотрим интуиционистские нечеткие множества , представленные следующим образом:

,

Так, фактически, вычисляя расстояния между вышеупомянутыми множествами, мы вычисляем расстояния между (двумя) элементами. Теперь мы проверим, дает ли предложенная формула и ее интерпритация, расстояние Хемминга,тот же самый результат, как в случае (по известному определению расстояния Хаусдорфа) для расстояний между отдельными элементами.

Итак, вот результаты, полученные при использовании формулы для вычисления расстояния Хаусдорфа на основе двух параметов:

Интерпритация расстояния Хемминга, вычисленная без использования интуиционистского индекса нечеткости:

то есть значения расстояний Хемминга, и интерпритация расстояния Хаусдорфа противоречивы:

,

.

Вывод: способ вычисления расстояние Хаусдорфа для ИНМ, используя при этом два параметра, приводит к неправильным результатам - математические предположения для расстояния Хаусдорфа опровергнуты.

Теперь давайте вычислим расстояние Хаусдорфа надлежащим способом, то есть с использованием формулы:

Пример. Используем приведенную формулу для для данных предыдущего примера. Но теперь, поскольку мы также принимаем во внимание интуиционистский индекс нечеткости, мы используем "полное описание" данных:

,

,

,

,

и получим:

Теперь вычислим интерпритацию расстояния Хемминга, используя все три параметра. Результаты:

то есть расстояние Хаусдорфа и расстояние Хемминга (с использованием функций принадлежности, непринадлежности и интуиционистского индекса нечеткости) дают полностью одинаковые результаты.

С другой стороны, расстояние Хемминга с двумя параметрами не дает результатов, равных результатам интерпритации расстаяния Хаусдорфа.

Стоит повториться снова: хотя значение интуиционистского индекса нечеткости может быть известно как последствие функций принадлежности и непринадлежности, от этого значения нельзя отказаться в формулах, вычисляя расстояния Хемминга или Евклида, или расстояние Хаусдорфа.

Качественные различия при анализе результатов[]

Таким образом, во всех случаях вычесления расстояний конечные результаты зависят от того, какую формулу мы использовали при вычислении. Ответы могут быть абсолютно различными, в случае пренебрежения информацией об интуиционистском индексе нечеткости, как показано ниже.

Давайте возьмем следующие:

,

,

Расстояния Хемминга между этими множествами (отдельными элементами) вычислим, используя при этом только два параметра:

таким образом получаем, что расстояние от до равно расстоянию от до .

Теперь давайте вычислим расстояния Хемминга, используя все три параметра. Тогда получим:

теперь ответы различаются (расстояние от до не равно расстоянию от до .

Некоторые выводы после исследования формул-расстояний[]

Мы обсудили два способа вычисления расстояния между ИНМ: используя формулы с двумя и тремя параметрами. В результате этого можно сделать следующие выводы:

  • Оба вида формул полностью правильны с чисто математической точки зрения в -метрике Минковского - все условия для расстояний выполнены;
  • Расстояние Хаусдорфа корректно только в случае применения в вычислениях всех трех параметров. Формула с двумя параметрами неверна.

С математической точки зрения мы могли использовать формулы и с двумя параметрами в -метрике Минковского. Но есть важные причины, почему мы не должны делать этого:

  • Математическая правильность формул с двумя параметрами в -метрике Минковского не совпадает со значением некоторых понятий, существенных для интуиционистских нечетких множеств;
  • И аналитический, и геометрический подходы указывают на необходимость использования в формуле третьего параметра;
  • При использовании формул с двумя параметрами мы теряем важную информацию, и полученные результаты могут вызвать противоречия как на уровне интуиции, так и на уровне здравого смысла, и на уровне применения рациональных аргументов, и т.д..

Поэтому формулы с тремя параметрами не только формально правильны, но и так как они используют всю доступную информацию, они дают в действительности результаты, которые являются правильными и совместимыми с сущностью ИНМ. К сожалению, то же самое не может быть сказано о формулах с двумя параметрами. На практике это может быть часто решающим фактором.

Итак, как показано выше, даже для линейного расстояния (расстояние Хемминга) более удобно использовать все три параметра, вычисляя расстояния для обоих типов данных: нечетких множеств и для ИНМ. В случае нелинейного расстояния (например, Евклидово расстояние)ситуация еще более сложна: нет никакого простого способа свести результаты вычисления расстояний (используя только два параметра ) для нечетких множеств и для ИНМ к общему интервалу (для последующего их сравнения). Единственный выход - это необходимость использования формул со всеми тремя параметрами, что, в свою очередь, позволяет получить результаты, принадлежащие одному и тому же интервалу - и для нечетких множеств и для интуиционистских нечетких множеств.

Advertisement