Как математики думают: примеры

Введение

Под понятием природа математического мышления понимаются основные принципы, лежащие в основе мыслительных процессов, посредством которых ученые-математики приходят к построению решений математических задач, осуществляют свою исследовательскую деятельность.

Вопрос о сущности математического мышления интересовал ученых, занимающихся математикой, со времен античности. Декарт, получивший важные результаты в области математики, интересовался принципами проведения рассуждений, приводящих к правильным выводам, и свои гипотезы высказал в труде «Правила для руководства ума».

Многие ученые-математики обращают внимание на некоторые особенности исследовательской работы в этой области, связанные с необходимостью вести абстрактные рассуждения, что для математики особенно важно, по сравнению с другими науками. Таким образом, становится очевидным, что мышление математика должно отличаться от ученых, работающих в других областях знания.

На современном этапе значительное развитие психологии как науки и психоанализа позволяет математикам использовать более совершенные средства в своих исследованиях по указанной проблеме. Поэтому, неудивительно, что интерес к изучению основ математического мышления возрастает. Данной проблеме были посвящены международные научные конференции, в недавнем времени проведенные в Мексике, Бельгии, Дании, Италии, Испании, Швеции, Венгрии. Помимо рассматриваемых авторов, можно указать ученых Б. Хайнца, К. Челуччи, А. Боровика, посвятивших данному вопросу свои работы. Среди первых ученых двадцатого века, полностью посвятивших свою деятельность исследованию психологии математики, важно упомянуть И. Лакатоса и его книгу «Доказательства и опровержения» (1976).

Изучаемая проблема является довольно спорной: не существует единого мнения среди ученых об основах математического мышления. Каждый математик обращается к собственным мыслительным процессам, абстрагируясь, насколько возможно, поэтому доля субъективизма в подобных наблюдениях и выводах может быть достаточно велика. Рассмотрим точки зрения некоторых ученых на указанную проблему.

Исследование теории Жака Адамара

В книге «Исследование психологии процесса изобретения в области математики» [1] французского математика Жака Адамара представлено обширное и глубокое исследование представленной темы. В качестве источников своих рассуждений Ж. Адамар указывает самонаблюдения, а также анкеты, предложенные автором другим ученым-математикам, на основании которых можно говорить о получении некоторых статистических данных.

В качестве гипотезы, объясняющей наличие математических способностей у некоторых людей, в книге упоминается френологическая теория, согласно которой способности к математике проявляют люди, обладающие особо развитой некоторой частью мозга и с максимальным развитием соответствующей части черепной коробки, своеобразной «математической шишкой». Однако данная идея признается специалистами несостоятельной, так как она не объясняет способностей некоторых выдающихся математиков к другим видам творчества, в том числе искусству. Тем не менее, взаимосвязь способностей человека к математике как достаточно сложной умственной деятельности и анатомии мозга не отрицается полностью и признается возможной.

В подходе к вопросу о психологии изобретательства автор отмечает существование двух взаимоисключающих точек зрения. К первой Адамар относит теорию Поля Сурио, согласно которой изобретательство вообще и в математике в частности носит совершенно случайный характер, является результатом спонтанной активности мозга. Вторая же точка зрения выражается мнением Ф. Полана, который видел в процессе изобретения систематический характер. Самому автору более приемлемым представляется второй подход. Таким образом, его задачей становится изучение процесса, приводящего к изобретению.

Для этого Адамар обращается к рассказам своих коллег о том, как они совершают открытия и изобретения. Наиболее интересным автору представляется рассказ Анри Пуанкаре об одном из своих открытий. В течение длительного времени Анри Пуанкаре думал над одной сложной задачей, и ему не удавалось найти решение. Не добившись результата, Пуанкаре оставил эту проблему и отправился на отдых в другой город. Там спустя некоторое время внезапно и мгновенно его посетило озарение, давшее верное решение задачи. Такие процессы не уникальны, случаев озарения описано достаточно много, можно привести в пример В. А. Моцарта, к которому мелодии приходили «сами собой», складываясь мгновенно в новые сочинения.

При этом интересно, что Анри Пуанкаре замечает:

То, что вас удивит прежде всего, — это видимость внезапного озарения,- явный результат длительной неосознанной работы: роль этой бессознательной работы в математическом творчестве мне кажется несомненной.

Таким образом, выдвигается гипотеза о том, что открытию предшествует бессознательная работа ума, некоторым образом связанная со случайностью.

Ссылаясь на психологов, автор говорит о структуре бессознательного, отмечая ее многоуровневый характер. При этом наиболее «близко» к сознанию находится так называемое краевое сознание. Согласно этому предположению, в глубоких слоях бессознательного содержится долговременная память; в краевом же сознании находятся идеи, мысли, которые затем озвучиваются.

Рассмотрим подробнее процесс изобретения в математике, основываясь на предложенной теории бессознательного.

Когда возникает совершенно неизученная проблема, требующая решения, изобретение или открытие осуществляется путем сочетания идей. Но так как подобных сочетаний различных идей может быть очень большое количество, человеческое сознание не способно отследить все эти сочетания и выбрать из них полезные для решения поставленной проблемы. Данные процессы происходят на бессознательном уровне, причем не без вмешательства определенной случайности, участвующей в построении сочетаний идей. Данная мысль дополнительно подчеркивает множественный характер бессознательного - эта множественность необходима для построения многочисленных сочетаний и для их сравнения между собой.

Очевидно, что на этапе построения и отбора сочетаний идей ученый не знает точного решения поставленной проблемы, следовательно, возникает вопрос о том, по каким критериям, принципам осуществляется отбор. Правила, которые здесь действуют, «предельно деликатны и тонки, их почти невозможно выразить точными словами; они легче чувствуются, чем формулируются; можно ли при таких условиях представить себе аппарат, который их применяет автоматически?» (Пуанкаре) Затем Пуанкаре называет эти правила:

Среди бессознательных идей привилегированными, т. е способными стать сознательными, являются те, которые прямо или косвенно наиболее глубоко воздействуют на наши чувства.

Может вызвать удивление обращение к чувствам, когда речь идет о математических доказательствах, которые, казалось бы, связаны только с разумом. Но это означало бы, что мы забываем о чувстве красоты, гармонии чисел и форм, геометрической выразительности. Это настоящее эстетическое чувство, знакомое всем настоящим математикам. Воистину, здесь налицо чувство!»

Тот факт, что эмоциональный элемент является существенной частью открытия или изобретения, более чем очевиден, и многие мыслители это подтверждали; ясно, что никакое важное открытие или изобретение не может совершиться без желания его сделать. Таким образом, можно заключить, что изобретение – это выбор из сочетаний идей, осуществляемый под воздействием чувства научной красоты.

Формирование сочетаний идей и их отбор осуществляются в области разума, названной бессознательным, и не отслеживаются сознанием. Далее многие ученые отмечают наступление стадии так называемого предчувствия, ожидание того, что скоро произойдет открытие, возникающее при долгой усердной мыслительной работе. Г. Уоллас объясняет это явление «переходом» идей из бессознательного в краевое сознание.

Далее Ж. Адамар обращает внимание на то, что бессознательная работа, рассматриваемая выше, сама является результатом некоторых предварительных размышлений, а именно, предварительной работы. Она заключается в изучении проблемы и поиске решения в течение достаточно длительного времени. Данные процессы являются абсолютно сознательными. Автор приводит поясняющую аналогию: «Открытие не может быть сделано лишь благодаря случаю, хотя последний может играть в нем некоторую роль, - так же, как неизбежная роль удачи в артиллерии не исключает необходимости артиллериста наводить, и притом наводить с большой точностью» [1].

Следовательно, предварительная работа, или подготовка, оказывают значимое влияние на дальнейший процесс бессознательной работы, приводящей к изобретению. Поэтому, для ученых было бы желательным способствовать лучшей работе бессознательного, изменяя определенным образом сознательную работу в процессе подготовки.

В этом направлении автор отмечает следующие рекомендации для ученых: не замыкаться в рамках одной науки, а быть в курсе других, что позволяет более широко смотреть на проблему; работая длительное время над вопросом безрезультатно, работу прекратить и затем вернуться к ней снова. Вторая рекомендация была получена в результате исследования, предпринятого журналом «Психология и жизнь» в 1932 году. В частности Двельшауверс в своей статье в этом журнале отмечал необходимость изучать условия, в которых происходит открытие, например, время, проведенное в поисках решений и т. д.

После периода бессознательной работы и наступления озарения, собственно открытия, большое значение имеет сознательная активность разума, направленная, во-первых, на проверку полученных результатов, во-вторых, на их «завершение», в-третьих, на формулировку и получение результата-эстафеты.

Проверка результатов необходима для того, чтобы убедиться в верности выводов и формул, полученных в ходе открытия или изобретения. «Завершение» результатов подразумевает выражение их в понятном приемлемом виде.

Так как часто математические проблемы требуют достаточно серьезных, больших исследований, наиболее удобным является рассмотрение не всей задачи сразу, а составляющих ее более простых вопросов. При исследовании этого вопроса получают результат-эстафету в виде оформленного открытия, затем, основываясь на уже полученных данных, переходят к следующему вопросу и так далее.

Подводя итог, выделим в процессе изобретения следующие более общие этапы: подготовка; инкубация, включающая в себя работу бессознательного по сочетанию идей, отбору полезных из них, а также предчувствие; озарение, собственно изобретение.

Размышляя о природе мышления математиков, Адамар стремится рассмотреть различные подходы к вопросу. В частности, автора интересует теория образного мышления и возможность ее применения в контексте исследуемой проблемы. Адамар обращается к идеям школы Бине, занимающейся изучением роли слов, образов в мышлении. При этом получены выводы о том, что мышление и образы, мысли и слова дополняют друг друга и делают рассуждения ученых, в том числе математиков, более простыми и полными.

Рассмотренные явления характерны для мышления всех ученых-математиков. Однако индивидуальные особенности мыслительных операций возможны и должны учитываться. В данном случае Ж. Адамар предлагает рассматривать классификацию мыслительных процессов математиков следующим образом:

1. более или менее глубоко в бессознательном происходят эти процессы;
2. мысль более или менее узко направленная;
3. различные вспомогательные представления, то есть различие в степени использования образов или других конкретных представления.

Таким образом, в работе Жака Адамара получен еще один важный результат - возможный и вполне состоятельный пример классификации способов осуществления математической исследовательской деятельности.

Обзор теории П. Эрдниева

Рассмотренная теория об осуществлении процесса изобретения достаточно полно раскрывает поставленную проблему.

Дополнить представленные рассуждения можно взглядом математика П. М. Эрдниева на проблему природы и особенностей математического мышления. В своей работе «Аналогия в математике» [2] Эрдниев особое внимание уделяет использованию приема аналогии учеными-математиками в решении научных проблем, роль аналогии в развитии математических способностей.

Эрдниев так объясняет появление аналогии как приема познания:

В процессе изучения окружающего мира и овладения силами природы человек многократно замечал характерную связь: если два предмета имеют некоторые одинаковые признаки, то очень часто (но не всегда!) оказывалось, что они имели и некоторые другие общие признаки. В результате подобных наблюдений, где данная элементарная связь между предметами проявлялась много и много раз, выработался следующий прием формирования новой мысли. На основе того, что два предмета имеют некоторые общие признаки, и установлено, что первый из них имеет еще некоторый признак Х, наличие которого у второго предмета пока неизвестно, делается предположение, что второму предмету, по-видимому, тоже присущ признак Х. [2]

Таким образом строятся умозаключения по аналогии.

Причем, очевидно, что истинность таких заключений должна устанавливаться посредством применения строгих законов логики, которые могут выявить, что сделанное предположение ошибочно. Однако, как утверждает П. Эрдниев, даже в этом случае применение аналогии полезно, так как она обращает наше внимание на возможность необычных связей между предметами, что расширяет представления ученого о проблеме.

Автор рассматривает процесс построения аналогии и замечает, что механизм ее умственного применения сложен и диалектичен по своей сути, так как сочетает в себе элементы дедукции и индукции, анализа и синтеза.

В умозаключении по аналогии прежде всего используется индукция, ибо переход от первого предмета ко второму состоит в установлении связей между одними частными свойствами и другими частными свойствами. В то же время умозаключение по аналогии тесно связано с дедукцией, ибо истинность вывода по аналогии устанавливается дедуктивным доказательством. Достоверный вывод, сделанный на основе аналогии, начинается, таким образом, индукцией и завершается дедукцией.[2]

Автор подчеркивает, что прием аналогии применяется учеными достаточно широко. Наиболее привычный и распространенный способ использования аналогии – это построение обобщений на ее основе.

Например, попытаемся обобщить общеизвестный признак делимости на 9, а именно установить признак делимости на 99=10²-1, 999=10³-1 и вообще на число вида 10ⁿ-1. Получим следующий вывод: число делится на 10ⁿ-1, если сумма чисел, содержащихся в n-циферных гранях, делится на 10ⁿ-1. Так число 907092 делится без остатка на 999, потому что 907+092=999.

Пюрвя Эрдниев отмечает, что аналогия, используемая учеными, в частности математиками, очень тесно связана с процессами, получившими в психологии название «сопоставление и противопоставление». Есть основания полагать, что в умозаключениях по аналогии значительно возрастает роль именно ассоциаций по сходству. Автор замечает, что подобные выводы делали многие ученые и изобретатели.

Причем ассоциации могут возникать не только по сходству в содержании, но и по внешнему. Так, например, известно, что структурная формула бензола была составлена химиком Кекуле по аналогии после того, как он увидел в клетке игру обезьян, сцепившихся в кольцо.

Таким образом, П. Эрдниев видит в аналогии важный компонент математического мышления, который принимает большое участие в формировании и развитии математических способностей и решении научных задач. Кроме того, автор отмечает, что использование приема аналогии может быть весьма полезным в областях жизни, далеких от научных исследований.

Исследование теории У. Байерса

Рассмотренные нами точки зрения дополняют общее представление о математическом мышлении и его сущности.

В этой связи обратимся к мнению ученого Уильяма Байерса, который в своей книге «Как математики думают: использование двусмысленности, противоречия и парадокса для создания математики» [3] представляет несколько революционную точку зрения на поставленную проблему.

Вообще, следует отметить, что по данному вопросу существует много споров, но, по крайней мере, одно считалось очевидным: математическое мышление должно бать точным, однозначным. А математическое утверждение должно иметь единственный смысл. Однако У. Байерс утверждает, что двусмысленность присутствует всегда, от самых элементарных уровней математики, до наиболее передовых. При изучении науки это создает большие трудности, в исследовательской же работе двусмысленность является источником развития, прогресса.

Двусмысленность может пониматься просто как неопределенность. Но также возможно другое определение, которое дает Байерс: двусмысленность - это «одна ситуация или идея, которая воспринимается в двух последовательных, но взаимно несовместных системах взглядов"[3]. Фактически, двусмысленность делает математические идеи столь мощными.

Рассмотрим простые примеры двусмысленности: различные размеры бесконечных множеств, использование логики для доказательства ограничений логики и многие другие. Неудивительно, что двусмысленность также есть в понятиях «бесконечный», «бесконечность». Человек с философским мышлением заметит, что в понятиях «истина», «доказательство» определенно содержится некоторая двусмысленность.

Даже самые элементарные математические операции двусмысленны. Привычный пример: квадратные корни из отрицательных чисел. Достаточно сложно одновременно воспринимать, что «-1 не имеет квадратных корней (на вещественной прямой)» и «имеет два квадратных корня (на плоскости)». В зависимости от ситуации одно и то же число может иметь или не иметь квадратных корней.

Сама идея отрицательных чисел для математиков прошлого была так же удивительной. Сложно было представить, что может быть что-то меньшее, чем «ничего». Поэтому, ноль содержит двусмысленность. В отличие от математиков прошлых веков, сегодня мы не можем сказать, что «ноль» - это «ничего». Ноль – это что-то, некоторое число. При этом, «ничего» - это то, что ноль обозначает.

Единица также двусмысленна. Математики не могут однозначно определить, что считать «единицей». Фреже утверждал, что «один» есть «понятие» единичных предметов. При этом в школе изучают, что единица – это мера числа, которая при повторении станет равной двум, затем станет равной трем и т. д. Есть более глубокая двусмысленность в термине «единица». Когда мы говорим об объектах, принадлежащих некоторой системе (например, все вещественные числа), рассматриваем их как «одно» множество. Двусмысленность является одной из важнейших характеристик математического мышления.

Отношение равенства двусмысленно, если по обе стороны знака равенства стоят неодинаковые выражения («х=х» рассматривать неинтересно). В нетривиальных равенствах, когда выражения справа и слева неидентичные, утверждение, что они равны двусмысленно. В книге Байерса это поясняется простым примером. Когда мы рассматриваем выражение «1+1=2», оно нам кажется простым, четким и понятным. Однако, числа «один» и «два» содержат важную идею. В этом простом, на первый взгляд, выражении передается при помощи знака равенства утверждение, что в единстве есть дуальность, а дуальность содержит свойство единства. Эта более глубокая структура типична для ситуации двусмысленности. Таким образом, даже элементарные математические выражения содержат двусмысленность, которая, возможно, не видна с первого взгляда.

Более сложный пример двусмысленности – использование знака равенства в выражении «1=0,9999…». У многих изучающих математику эта запись вызывает недоверие, они согласны с тем, что дробь 0,999… очень близка к 1, некоторые даже скажут «бесконечно близка». Дробь рассматривается как бесконечное сложение, процесс, а 1 – число, определенный объект. Таким образом, в данном выражении знак равенства означает тождественность процесса и числа, глагола и объекта, что может восприниматься как категориальная ошибка. Эта двусмысленность не ослабляет математическую теорию, напротив, показывает, что одна идея может быть выражена и как 1, и как 1=0,999…,конкретный объект может быть вполне успешно заменен его бесконечным приближением.

Байерс замечает, что интересен пример двусмысленности понятия «переменная х». В уравнении «х+2=4» переменная «х» обращается к какому-то конкретному числу или к любому? Ответ будет неоднозначным. В начале решения х может быть любым числом, в конце – только 2. Также в конце рассуждений мы утверждаем, что любое значение х, не равное 2, является нерешением, то есть речь снова идет о любом числе. Таким образом, х обращается к любому числу и в то же время к конкретно определенному. Если осознавать это, решение уравнения сложно назвать чисто механическими рассуждениями. Ученику нужно иметь в виду оба контекста выражения и применять нужный в зависимости от ситуации.

Как утверждает У. Байерс, примечательно, что среди математиков распространено использование различных представлений одной идеи. Это возможно благодаря понятию изоморфизма. Группа перестановок из трех букв изоморфна равностороннему треугольнику и т.д. Любой граф эквивалентен его матрице. Решение уравнения Лапласа – «то же самое», что и ожидаемая ценность результата случайного движения броуновской частицы, потенциал распределения гравитационной массы и электростатического напряжения и т.д. Когда мы создаем разные описания одной идеи, мы используем двусмысленность в контролируемом алгоритме.

В обсуждении природы математического мышления часто употребляется понятие «абстракции», но редко разъясняется, что при этом подразумевается. Байерс дает объяснение абстракции: «абстракция заключается в создании и использовании двусмысленности»[3].

Например, когда вводится понятие функции, она рассматривается как закон, переводящий одно число в другое, то есть функция активна, это процесс. Затем при рассмотрении операторов функции пассивны, операции производятся над ними. В таком неоднозначном понимании функции как объекта и процесса заключается идея двусмысленности, порождающая абстракцию.

Идеи двусмысленности, парадоксов и противоречий характерны не только для самой математики, но и для философской основы математики. Создается ли математика и ее идеи людьми или она существует в природе? Глубокая двусмысленность содержится в идее «существования». Что считать существующим? То, что сконструировано из чего-то раннее созданного, или то, что не противоречит имеющимся аксиомам? Математики не один век спорят над этим вопросом. Байерс в своей книге утверждает, что не стоит в данной ситуации выяснять, кто прав. Двусмысленность, присущая «существованию», свойственна математической практике, и спор по этому поводу плодотворен для дальнейшего развития науки.

Таким образом, Байерс приходит к выводу, что нет необходимости стремиться избавится от противоречий, возникающих в процессе познавательной деятельности. Математика как часть противоречивой и неоднозначной жизни должна быть двусмысленной и содержать противоречия и парадоксы.

Математические идеи не являются правильными или неправильными; они описывают математические ситуации. Идеи не логичны. На самом деле, зависимость должна быть другой: логика не является абсолютным стандартом, по которому должны оцениваться все идеи. Логика сама есть идея.[3]

Заключение

Изучив все предложенные точки зрения на поставленную проблему, можно сделать следующий вывод о том, что среди математиков не существует единого мнения о природе математического мышления. Однако представленные работы известных авторов позволяют составить общее и достаточно полное представление о рассматриваемой проблеме. А именно то, что сущность математического мышления заключается в особой направленной работе разума, бессознательной в период инкубации открытия и сознательной при подготовке и завершении его. Совершить изобретение или открытие невозможно без желания его совершить и усердной работы над проблемой. Важной особенностью математического мышления является использование аналогии для решения поставленных задач, что подчеркивает абстрактность мышления и способствует развитию способностей к математике. Кроме того, математика как наука и способ мышления характеризуется двусмысленностью, парадоксальностью и противоречивостью.

Такой взгляд на математическое мышление нельзя назвать стандартным и привычным, однако он открывает новые перспективы в изучении психологии науки и математики в частности.

Литература

1. Ж. Адамар Исследование психологии процесса изобретения в области математики. – М.: МЦНМО, 2001.
2. П. М. Эрдниев Аналогия в математике. – М.: Знание, 1970.
3. Byers W. How Mathematicians Think: Using Ambiguity, Contradiction, and Paradox to Create Mathematics. Princeton University Press.-2007.
4. Hersh R. How Mathematicians Think. - Notices of the AMS.-December 2007.-Volume 54, Number 11.-p.1496-1499