Квадра́тный ко́рень из (корень 2-й степени) — это решение уравнения вида .[1]

Применение операции корня к числам[править | править код]

Квадратный корень из числа — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен , то есть решение уравнения относительно переменной .[2][3]

Рациональные числа[править | править код]

Корень из рационального числа является рациональным числом, только если и (после сокращения общих множителей) являются квадратами натуральных чисел.

Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой стороны ограничивает точность приближения: , где зависит от [4][5].

Действительные числа[править | править код]

При натуральных уравнение не всегда разрешимо в рациональных числах, что и привело к появлению новых числовых полей. Древнейшее из таких расширений – поле вещественных (действительных) чисел.

Теорема. Для любого положительного числа a существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку. [6]

Неотрицательный квадратный корень из положительного числа называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала .[7]


Комплексные числа[править | править код]

Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только знаком (за исключением квадратного корня из нуля). Корень из комплексного числа часто обозначают как , однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространенная ошибка:

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

,

то

,

где k – целое число, а корень из модуля понимается в смысле арифметического значения. Два различных корня получаются при k=0 и k=1. [источник?]

Квадратный корень как элементарная функция[править | править код]

Вещественный анализ[править | править код]

Файл:Square root.png

График функции

Квадратным корнем называют также функцию вещественной переменной , которая каждому ставит в соответствие арифметическое значение корня.[8] Эта функция является частным случаем степенной функции с . Эта функция является гладкой при , в нуле же она непрерывна справа, но не дифференцируема.

Комплексный анализ[править | править код]

Обобщения[править | править код]

Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида и для других объектов: матриц [9], функций [10], операторов[11] и т. п. В качестве операции умножения при этом могут использоваться и её достаточно далекие аналоги, например, суперпозиция.

В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть - группоид и . Элемент называется квадратным корнем из если .

Квадратный корень в элементарной геометрии[править | править код]

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырех действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того. [12]

Способы отыскания квадратного корня[править | править код]

Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.

Геометрическое извлечение квадратного корня[править | править код]

Файл:Mitjana geomètrica amb teorema de l'altura.PNG

В частности, если , а , то [13]

Примечания[править | править код]

  1. Несмотря на то, что в первую очередь под и подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в т. ч. такими как матрицы и операторы. С другой стороны, не любое решение рассматриваемого уравнения называется квадратным корнем. При использовании термина следует уточнять его значение в конкретном разделе математики.
  2. «Корнем n-й степени из числа x называется число, n-я степень которого совпадает с x. При n = 2 и n = 3 корни называются соответственно квадратным и кубическим.» — определение из статьи «Алгебра» энциклопедии «Кругосвет»
  3. «Извлечь корень n-й степени из числа а — это значит найти такое число (или числа) x, которое при возведении в n-ю степень даст данное число ()... Корень 2-й степени называется квадратным» — определение из статьи «Извлечение корня» «Большой советской энциклопедии» третьего издания.
  4. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
  5. См. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, М. ГИФМЛ, 1960, §§ 4, 10.
  6. Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления Том. 1. Введение, §4 // Мат. анализ на EqWorld
  7. Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1974 г., п. 1.2.1
  8. Фихтенгольц, гл. 2, § 1
  9. См., например: Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953, или: Воеводин В., Воеводин В., Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ, Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
  10. См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б., Построение графиков функций, М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А., Практические занятия по высшей математике, Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
  11. См., например: Хатсон В., Пим Дж., Приложения функционального анализа и теории операторов, М.: Мир, 1983, или: Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, М.: Мир, 1970.
  12. Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. (ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей)
  13. Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. Стр. 148

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]



  1. Википедия Квадратный корень адрес
  2. Викисловарьадрес
  3. Викицитатникадрес
  4. Викиучебникадрес
  5. Викитекаадрес
  6. Викиновостиадрес
  7. Викиверситетадрес
  8. Викигидадрес

Выделить Квадратный корень и найти в:

  1. Вокруг света корень адрес
  2. Академик корень/ru/ru/ адрес
  3. Астронет адрес
  4. Элементы корень+&search адрес
  5. Научная Россия корень&mode=2&sort=2 адрес
  6. Кругосвет корень&results_per_page=10 адрес
  7. Научная Сеть
  8. Традицияадрес
  9. Циклопедияадрес
  10. Викизнаниекорень адрес
  1. Google
  2. Bing
  3. Yahoo
  4. Яндекс
  5. Mail.ru
  6. Рамблер
  7. Нигма.РФ
  8. Спутник
  9. Google Scholar
  10. Апорт
  11. Онлайн-переводчик
  12. Архив Интернета
  13. Научно-популярные фильмы на Яндексе
  14. Документальные фильмы
  1. Список ru-вики
  2. Вики-сайты на русском языке
  3. Список крупных русскоязычных википроектов
  4. Каталог wiki-сайтов
  5. Русскоязычные wiki-проекты
  6. Викизнание:Каталог wiki-сайтов
  7. Научно-популярные сайты в Интернете
  8. Лучшие научные сайты на нашем портале
  9. Лучшие научно-популярные сайты
  10. Каталог научно-познавательных сайтов
  11. НАУКА В РУНЕТЕ: каталог научных и научно-популярных сайтов

  • Страница 0 - краткая статья
  • Страница 1 - энциклопедическая статья
  • Разное - на страницах: 2 , 3 , 4 , 5
  • Прошу вносить вашу информацию в «Квадратный корень 1», чтобы сохранить ее

Комментарии читателей:[править код]

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.