Квадра́тный ко́рень из $\! a$ (корень 2-й степени) — это решение $\!x$ уравнения вида $x\cdot x=a$ .^[1]

Применение операции корня к числам[]

Квадратный корень из числа $\! a$ — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен $\! a$ , то есть решение уравнения $\! x^2=a$ относительно переменной $\!x$ .^[2]^[3]

Рациональные числа[]

Корень из рационального числа $\!p/q$ является рациональным числом, только если $\!p$ и $\!q$ (после сокращения общих множителей) являются квадратами натуральных чисел.

Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой стороны ограничивает точность приближения: $|\sqrt{r}-p/q|>\frac{1}{Cq^2}$ , где $\! C$ зависит от $\! r$ ^[4]^[5].

Действительные числа[]

При натуральных $\! a$ уравнение $\! x^2=a$ не всегда разрешимо в рациональных числах, что и привело к появлению новых числовых полей. Древнейшее из таких расширений – поле вещественных (действительных) чисел.

Теорема. Для любого положительного числа a существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку. ^[6]

Неотрицательный квадратный корень из положительного числа $\! a$ называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала $\sqrt{a}$ .^[7]

Комплексные числа[]

Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только знаком (за исключением квадратного корня из нуля). Корень из комплексного числа $\! a$ часто обозначают как $\sqrt{a}$ , однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространенная ошибка:

-1=(\sqrt{-1})^2=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

\! a=|a|e^{i\phi}

,

то

\sqrt{a}=\sqrt{|a|}e^{i(\phi+2\pi k)/2}

,

где k – целое число, а корень из модуля понимается в смысле арифметического значения. Два различных корня получаются при k=0 и k=1. ^{[источник?]}

Квадратный корень как элементарная функция[]

Вещественный анализ[]

Файл:Square root.png

График функции $y=\sqrt x$

Квадратным корнем называют также функцию $\sqrt{x}$ вещественной переменной $\!x$ , которая каждому $\!x\geq 0$ ставит в соответствие арифметическое значение корня.^[8] Эта функция является частным случаем степенной функции $\! x^\alpha$ с $\! \alpha=1/2$ . Эта функция является гладкой при $\! x>0$ , в нуле же она непрерывна справа, но не дифференцируема.

Комплексный анализ[]

Обобщения[]

Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида $x\cdot x=a$ и для других объектов: матриц ^[9], функций ^[10], операторов^[11] и т. п. В качестве операции умножения при этом могут использоваться и её достаточно далекие аналоги, например, суперпозиция.

В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть $(G,\cdot)$ - группоид и $a \in G$ . Элемент $x \in G$ называется квадратным корнем из $\ a$ если $\ x \cdot x=a$ .

Квадратный корень в элементарной геометрии[]

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырех действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того. ^[12]

Способы отыскания квадратного корня[]

Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.

Геометрическое извлечение квадратного корня[]

Файл:Mitjana geomètrica amb teorema de l'altura.PNG

$|BH| = \sqrt{|AH|\cdot|HC|}$

В частности, если $\! |AH| = 1$ , а $\! |HC| = x$ , то $|BH|=\sqrt{x}$ ^[13]

Примечания[]

↑ Несмотря на то, что в первую очередь под $\!x$ и $\! a$ подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в т. ч. такими как матрицы и операторы. С другой стороны, не любое решение рассматриваемого уравнения называется квадратным корнем. При использовании термина следует уточнять его значение в конкретном разделе математики.
↑ «Корнем n-й степени из числа x называется число, n-я степень которого совпадает с x. При n = 2 и n = 3 корни называются соответственно квадратным и кубическим.» — определение из статьи «Алгебра» энциклопедии «Кругосвет»
↑ «Извлечь корень n-й степени из числа а — это значит найти такое число (или числа) x, которое при возведении в n-ю степень даст данное число ( $\! x^{n}=a$ )... Корень 2-й степени называется квадратным» — определение из статьи «Извлечение корня» «Большой советской энциклопедии» третьего издания.
↑ Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
↑ См. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, М. ГИФМЛ, 1960, §§ 4, 10.
↑ Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления Том. 1. Введение, §4 // Мат. анализ на EqWorld
↑ Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1974 г., п. 1.2.1
↑ Фихтенгольц, гл. 2, § 1
↑ См., например: Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953, или: Воеводин В., Воеводин В., Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ, Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
↑ См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б., Построение графиков функций, М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А., Практические занятия по высшей математике, Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
↑ См., например: Хатсон В., Пим Дж., Приложения функционального анализа и теории операторов, М.: Мир, 1983, или: Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, М.: Мир, 1970.
↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. (ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей)
↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. Стр. 148

См. также[]

Корень (значения)
Арифметический корень
Квадратное уравнение
Итерационная формула Герона
Корень квадратного уравнения
Теорема Абеля — Руффини
[|извлечение корня пятой степени (программа содержит описание алгоритма)]

Ссылки[]

Выделить Квадратный корень и найти в:

Страница 0 - краткая статья
Страница 1 - энциклопедическая статья
Разное - на страницах: 2 , 3 , 4 , 5
Прошу вносить вашу информацию в «Квадратный корень 1», чтобы сохранить ее

Комментарии читателей:[]

[1] Несмотря на то, что в первую очередь под $\!x$ и $\! a$ подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в т. ч. такими как матрицы и операторы. С другой стороны, не любое решение рассматриваемого уравнения называется квадратным корнем. При использовании термина следует уточнять его значение в конкретном разделе математики.

[2] «Корнем n-й степени из числа x называется число, n-я степень которого совпадает с x. При n = 2 и n = 3 корни называются соответственно квадратным и кубическим.» — определение из статьи «Алгебра» энциклопедии «Кругосвет»

[3] «Извлечь корень n-й степени из числа а — это значит найти такое число (или числа) x, которое при возведении в n-ю степень даст данное число ( $\! x^{n}=a$ )... Корень 2-й степени называется квадратным» — определение из статьи «Извлечение корня» «Большой советской энциклопедии» третьего издания.

[4] Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел

[5] См. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, М. ГИФМЛ, 1960, §§ 4, 10.

[6] Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления Том. 1. Введение, §4 // Мат. анализ на EqWorld

[7] Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1974 г., п. 1.2.1

[8] Фихтенгольц, гл. 2, § 1

[9] См., например: Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953, или: Воеводин В., Воеводин В., Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ, Спб.: БХВ-Петербург, 2006.

[10] См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б., Построение графиков функций, М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А., Практические занятия по высшей математике, Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.

[11] См., например: Хатсон В., Пим Дж., Приложения функционального анализа и теории операторов, М.: Мир, 1983, или: Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, М.: Мир, 1970.

[12] Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. (ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей)

[13] Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. Стр. 148

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Квадратный корень

Содержание