https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0

Квантовая механика

\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}

Принцип неопределённости

Введение
Математические основы

Основа
Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан · Старая квантовая теория

Фундаментальные понятия

Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая запутанность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект

Эксперименты
Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона

Формулировки
Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана

Уравнения
Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение Швингера — Томонаги · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга

Интерпретации
Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая · Теория де Бройля — Бома

Развитие теории
Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация

Сложные темы
Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего

Известные учёные
Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

EffetTunnel — Туннельный эффект — квантовая механика показывает, что электроны могут преодолеть потенциальный барьер, что подтверждается результатами экспериментов.
Классическая механика, наоборот, предсказывает, что это невозможно.

Ква́нтовая меха́ника — раздел теоретической физики, описывающий физические явления, в которых действие сравнимо по величине с постоянной Планка. Предсказания квантовой механики могут существенно отличаться от предсказаний классической механики. Поскольку постоянная Планка является чрезвычайно малой величиной по сравнению с действием макроскопических объектов, квантовые эффекты в основном проявляются в микроскопических масштабах. Если физическое действие системы намного больше постоянной Планка, квантовая механика органически переходит в классическую механику. В свою очередь, квантовая механика является нерелятивистским приближением (то есть приближением малых энергий по сравнению с энергией покоя массивных частиц системы) квантовой теории поля.

Классическая механика, хорошо описывающая системы макроскопических масштабов, не способна описать все явления на уровне молекул, атомов, электронов и фотонов. Квантовая механика адекватно описывает основные свойства и поведение атомов, ионов, молекул, конденсированных сред, и других систем с электронно-ядерным строением. Квантовая механика также способна описывать поведение электронов, фотонов, а также других элементарных частиц, однако более точное релятивистски инвариантное описание превращений элементарных частиц строится в рамках квантовой теории поля. Эксперименты подтверждают результаты, полученные с помощью квантовой механики.

Основными понятиями квантовой кинематики являются понятия наблюдаемой и состояния.

Основные уравнения квантовой динамики — уравнение Шрёдингера, уравнение фон Неймана, уравнение Линдблада, уравнение Гейзенберга и уравнение Паули.

Уравнения квантовой механики тесно связаны со многими разделами математики, среди которых: теория операторов, теория вероятностей, функциональный анализ, операторные алгебры, теория групп.

История[]

Основная статья: История квантовой механики

На заседании Немецкого физического общества Макс Планк зачитал свою историческую статью «К теории распределения энергии излучения в нормальном спектре», в которой он ввёл универсальную постоянную h. Именно дату этого события, 14 декабря 1900 года, часто считают днем рождения квантовой теории.

Квантовая гипотеза Планка состояла в том, что для элементарных частиц, любая энергия поглощается или испускается только дискретными порциями (квантами). Эти порции состоят из целого числа квантов с такой энергией $\mathcal{E}$ , что эта энергия пропорциональна частоте ν с коэффициентом пропорциональности, определённым по формуле:

\mathcal{E} = h \nu = \hbar \omega\,

где h — постоянная Планка, и $\hbar = \frac{h}{2 \pi}$ .

В 1905 году, для объяснения явлений фотоэффекта, Альберт Эйнштейн, использовав квантовую гипотезу Планка, предположил, что свет состоит из квантов. Впоследствии «кванты» света получили название фотонов.

Для объяснения структуры атома Нильс Бор предложил в 1913 году существование стационарных состояний электрона, в которых энергия может принимать лишь дискретные значения. Этот подход, развитый Арнольдом Зоммерфельдом и другими физиками, часто называют старой квантовой теорией (1900—1924 г.). Отличительной чертой старой квантовой теории является сочетание классической теории с противоречащими ей дополнительными предположениями.

В 1923 году Луи де Бройль выдвинул идею двойственной природы вещества, опиравшуюся на предположение о том, что материальные частицы обладают и волновыми свойствами, неразрывно связанными с массой и энергией. Движение частицы Л. де Бройль сопоставил с распространением волны, что в 1927 году получило экспериментальное подтверждение при исследовании дифракции электронов в кристаллах.

Высказанные в 1924 году идеи корпускулярно-волнового дуализма были в 1926 году подхвачены Э. Шрёдингером, развернувшим на их основе свою волновую механику.

В 1925—1926 годах были заложены основы последовательной квантовой теории в виде квантовой механики, содержащей новые фундаментальные законы кинематики и динамики. Первая формулировка квантовой механики содержится в статье Вернера Гейзенберга, датированной 29 июля 1925 года. Эту дату можно считать днем рождения нерелятивистской квантовой механики.

Развитие и формирование основ квантовой механики продолжается до сих пор. Оно связано, например, с исследованиями открытых и диссипативных квантовых систем, квантовой информатикой, квантовым хаосом и пр. Помимо квантовой механики, важнейшей частью квантовой теории является квантовая теория поля.

В 1927 году К. Дэвиссон и Л. Джермер в исследовательском центре Bell Labs демонстрируют дифракцию медленных электронов на никелевых кристаллах (независимо от Дж. Томсона). При оценке угловой зависимости интенсивности отраженного электронного луча, было показано её соответствие предсказанной на основании условия Вульфа — Брэгга для волн с длиной де Бройля (см. Волны де Бройля). До принятия гипотезы де Бройля, дифракция расценивалась как исключительно волновое явление, а любой дифракционный эффект — как волновой. Когда длина волны де Бройля была сопоставлена с условием Вульфа — Брэгга, была предсказана возможность наблюдения подобной дифракционной картины для частиц. Таким образом экспериментально была подтверждена гипотеза де Бройля для электрона.

Подтверждение гипотезы де Бройля стало поворотным моментом в развитии квантовой механики. Подобно тому, как эффект Комптона показывает корпускулярную природу света, эксперимент Дэвиссона — Джермера подтвердил неразрывное «сосуществование» с частицей её волны, иными словами — присущность корпускулярной материи также и волновой природы. Это послужило оформлению идей корпускулярно-волнового дуализма. Подтверждение этой идеи для физики стало важным этапом, поскольку дало возможность не только характеризовать любую частицу, присваивая ей определённую индивидуальную длину волны, но также при описании явлений, полноправно использовать её в виде определённой величины в волновых уравнениях.

Основания квантовой механики[]

Основная статья: Основания квантовой механики

Как и в других разделах физики, в квантовой механике существует система постулатов, составляющая ее основания и задающая базовые понятия. Если исходить из совета А.Эйнштейна "Если вы хотите кое-что выяснить у физиков-теоретиков о методах, которые они применяют, я советую вам твердо придерживаться одного принципа: не слушайте, что они говорят, а лучше изучайте их действия..." (О методе теоретической физики (1933)), то вырисовывается следующая система постулатов.

Постулаты Э.Шрёдингера (будем использовать математическое "представление Шрёдингера"). Они задают математические образы состояния квантовой частицы - нового типа объекта, обладающего корпускулярно-волновым поведением, но несводимым ни к частице, ни к волне, в виде волновой функции в гильбертовом пространстве. Они также задают уравнение движения, задающего связь состояний, каковым является уравнение Шрёдингера.
Постулаты М.Борна - центральные для квантовой механики и ее понимания.а)Они вводят принципиально новый тип состояний объекта - оно задается распределением вероятностей величин (и их корреляций "томографическим" методом^[1]), а не величинами, как в классической физике. б)Отсюда следует принципиальное изменение процедур измерения - один акт измерения ничего не говорит о распределении вероятностей, для определения последней требуется достаточно длинная серия измерений. В этом состоит особенность измерения в квантовой механики. Никакой особой роли наблюдателя или сознания, о котором часто говорят, здесь не появляется. в)При этом вводится связь между математическим образом состояния и физическим состоянием в виде "вероятностной интерпретации волновой функции", позволяющей, зная волновую функцию, вычислить любые распределения вероятностей и средние значения величин. Постулаты Борна вводят в квантовую механику вероятностное описание (уравнения Шрёдингера абсолютно (однозначно) детерминистичны) и корпускулярно-волновое поведение, что иллюстрирует знаменитый двухщелевой эксперимент, где квантовая частица проходит как волна через обе щели, но на фотопластинке поглощается как частица в определенной точке. Но если этот опыт многократно повторять, то на распределении вероятностей в виде интегрального потемнения фотопластинки проявится дифракционно-интерференционная картинка, характерная для волны проходящей через обе щели.
Постулаты В.Гейзенберга о квантовании, которые вводят универсальную процедуру по нахождении оператора Гамильтона, входящего в уравнение Шрёдингера и являющегося математическим образом объекта с учетом внешнего воздействия на него. Процедура состоит в следующем: берется "затравочная" классическая модель, например, планетарная модель атома, для нее строится классический гамильтониан, затем в нем по определенному правилу ряд величин заменяется на операторы (например, импульс p_x заменяется на дифференциальный оператор ihd/dx), в результате образуется квантовый оператор Гамильтона, приводящий к электронным орбиталям в атоме. Дирак указывает на усложненный случай, когда в "затравочный" классический гамильтониан входит произведение величин, отвечающих некоммутирующим операторам. Тогда требуется дополнительно ввести упорядочение этих операторов.
В случае многочастичных объектов требуется еще постулат о тождественности частиц, приводящий к двум статистикам: Ферми-Дирака (для фермионов) и Бозе-Эйнштейна (для бозонов), а также к принципу Паули для заполнения электронных орбиталей в атоме.^[2] [Липкин А.И. Основания физики. Взгляд из теоретической физики. М.: URSS, 2014 г., 207 с]

Существует несколько различных эквивалентных математических описаний (представлений) квантовой механики:

При помощи уравнения Шрёдингера;
При помощи операторных уравнений фон Неймана и уравнений Линдблада;
При помощи операторных уравнений Гейзенберга;
При помощи метода вторичного квантования;
При помощи интеграла по траекториям;
При помощи операторных алгебр, так называемая алгебраическая формулировка;
При помощи квантовой логики.

Шрёдингеровское описание[]

Математический аппарат нерелятивистской квантовой механики строится на следующих положениях^[3]:

Чистые состояния системы описываются ненулевыми векторами $|\psi\rangle$ комплексного сепарабельного гильбертова пространства $~H$ , причем векторы $|\psi_1\rangle$ и $|\psi_2\rangle$ описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда $|\psi_2\rangle=c|\psi_1\rangle$ , где $~c$ — произвольное комплексное число.
Каждой наблюдаемой можно однозначно сопоставить линейный самосопряжённый оператор. При измерении наблюдаемой $\hat{A}$ , при чистом состоянии системы $|\psi\rangle$ в среднем получается значение, равное

\langle A\rangle=\frac{\langle\psi|\hat A \psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle}=\frac{\langle\psi\hat A|\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle}

где через $\langle\psi|\phi\rangle$ обозначается скалярное произведение векторов $|\psi\rangle$ и $|\phi\rangle$ .

Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы определяется уравнением Шрёдингера

~i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle= \hat{H}|\psi\rangle

где $~\hat{H}$ — гамильтониан.

Основные следствия этих положений:

При измерении любой квантовой наблюдаемой, возможно получение только ряда фиксированных её значений, равных собственным значениям её оператора — наблюдаемой.
Наблюдаемые одновременно измеримы (не влияют на результаты измерений друг друга) тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряжённые операторы перестановочны.

Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Не все состояния квантовомеханических систем, однако, являются чистыми. В общем случае состояние системы является смешанным и описывается матрицей плотности, для которой справедливо обобщение уравнения Шрёдингера — уравнение фон Неймана (для гамильтоновых систем). Дальнейшее обобщение квантовой механики на динамику открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем приводит к уравнению Линдблада.

Стационарное уравнение Шрёдингера[]

Пусть $\psi (\vec{r})$ амплитуда вероятности нахождения частицы в точке М. Стационарное уравнение Шрёдингера позволяет её определить.
Функция $\! \psi ( \vec{r} )$ удовлетворяет уравнению:

- {{\hbar}^2 \over 2 m} {\nabla}^{\,2} \psi + U(\vec{r}) \psi = E \psi

где ${\nabla}^{\,2}$ —оператор Лапласа, а $U=U(\vec{r})$ — потенциальная энергия частицы как функция от $\vec{r}$ .

Решение этого уравнения и есть основная задача квантовой механики. Примечательно то, что точное решение стационарного уравнения Шрёдингера может быть получено только для нескольких, сравнительно простых, систем. Среди таких систем можно выделить квантовый гармонический осциллятор и атом водорода. Для большинства реальных систем для получения решений могут быть использованы различные приближенные методы, такие как теория возмущений.

Решение стационарного уравнения

Пусть E и U две постоянные, независимые от $\vec{r}$ .
Записав стационарное уравнение как:

{\nabla}^{\,2} \psi(\vec r) + {2m \over {\hbar}^2} (E-U) \psi(\vec r) = 0

Если E - U > 0, то:

Schrodinger — Решение стационарного уравнения в случае, когда E-U>0

\psi(\vec r) = A e^{-i\vec k \cdot \vec r} + B e^{i\vec k \cdot \vec r}

где:

k=\frac{\sqrt{2m(E-U)}}{\hbar}

— модуль волнового вектора; A и B — две постоянные, определяющиеся граничными условиями.

Если E - U < 0, то:

\psi(\vec r) = C e^{-\vec k \cdot \vec r} + D e^{\vec k \cdot \vec r}

где:

k=\frac{\sqrt{2m(U-E)}}{\hbar}

— модуль волнового вектора; C и D — две постоянные, также определяющиеся граничными условиями.

Принцип неопределённости Гейзенберга[]

Соотношение неопределённости возникает между любыми квантовыми наблюдаемыми, определяемыми некоммутирующими операторами.

Неопределенность между координатой и импульсом[]

Пусть $\Delta x\,$ — среднеквадратическое отклонение координаты частицы $M \,$ , движущейся вдоль оси $x\,$ , и $\Delta p\,$ — среднеквадратическое отклонение её импульса. Величины $\Delta x\,$ и $\Delta p\,$ связаны следующим неравенством:

\Delta x \Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2}

где $h$ — постоянная Планка, а $\hbar = \frac{h}{2 \pi} .$

Согласно соотношению неопределённостей, невозможно абсолютно точно определить одновременно координаты и импульс частицы. С повышением точности измерения координаты, максимальная точность измерения импульса уменьшается и наоборот. Те параметры, для которых такое утверждение справедливо, называются канонически сопряженными.

Это центрирование на измерении, идущее от Н.Бора, очень популярно. Однако соотношение неопределенности выводится теоретически из постулатов Шрёдингера и Борна и касается не измерения, а состояний объекта: оно утверждает, что для любого возможного состояния выполняются соответствующие соотношения неопределенности. Естественно, что оно будет выполняться и для измерений. Т.е. вместо "с повышением точности измерения координаты, максимальная точность измерения импульса уменьшается" следует говорить: "в состояниях, где неопределенность координаты меньше, неопределенность импульса больше".

Неопределенность между энергией и временем[]

Пусть $\Delta E$ — среднеквадратическое отклонение при измерении энергии некоторого состояния квантовой системы, и $\Delta t$ — время жизни этого состояния. Тогда выполняется следующее неравенство,

\Delta E \Delta t \geqslant \frac{\hbar}{2} .

Иными словами, состояние, живущее короткое время, не может иметь хорошо определённую энергию. При этом, хотя вид этих двух соотношений неопределенности похож, но их природа (физика) совершенно различны.

Необычные явления, мысленные эксперименты и парадоксы квантовой механики[]

Соотношение неопределённостей Гейзенберга
Корпускулярно-волновой дуализм
- Дифракция электронов
Сверхтекучесть (Бозе-конденсат)
Сверхпроводимость
Квантовая телепортация
Квантовая запутанность (Квантовая нелокальность, «Квантовое Вуду»)
- Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена
Парадокс Клейна
Квантовый парадокс Зенона («Парадокс незакипающего чайника», связанный с аксиомой идеального измерения)
Кот Шрёдингера
Надбарьерное отражение
Теорема о запрете клонирования
Обменное взаимодействие

Разделы квантовой механики[]

В стандартных курсах квантовой механики изучаются следующие разделы

математическая основа квантовой механики и теория представлений;
точные решения одномерного стационарного уравнения Шрёдингера для различных потенциалов;
приближённые методы (квазиклассическое приближение, теория возмущений и т. д.);
нестационарные явления;
уравнение Шрёдингера в трёхмерном случае и теория углового момента;
теория спина;
тождественность частиц;
строение атомов и молекул;
рассеивание частиц;

Интерпретации квантовой механики[]

Существует множество интерпретаций квантовой теории, которые иногда плохо согласуются друг с другом.

С точки зрения философии позитивизма, разногласия в интерпретациях не влияют на предсказания исходов конкретных экспериментов в рамках квантовой теории, и потому интерпретации являются нефальсифицируемыми, а следовательно, и ненаучными концепциями. Практическая ценность различных интерпретаций усматривается их сторонниками в некотором упрощении хода рассуждений при рассмотрении различных экспериментов, или обосновывается философскими соображениями.

Есть и другая точка зрения по данному вопросу.

В наше время физик вынужден заниматься философскими проблемами в гораздо большей степени, чем это приходилось делать физикам предыдущих поколений. К этому физиков вынуждают трудности их собственной науки.^[4]

При изучении этих вещей в их совокупности физик на каждом шагу встречается с логическими и гносеологическими трудностями; и хотя физика имеет дело лишь с ограниченным кругом знания и исключает такие явления, как жизнь и сознание, все же решение этих логических и гносеологических проблем является глубокой потребностью нашего стремления к познанию.^[5]

Для выбора между конкурирующими научными теориями одного лишь опыта не достаточно. Кроме опыта, важными компонентами научного творчества являются интуиция, психология и философские соображения. Эталон для построения научной теории называется парадигмой. Смысл научных революций заключается не в смене одной фундаментальной теории другой под влиянием новых фактов, а в смене научных парадигм.^[6]

Обсуждение интерпретаций квантовой механики связано с рефлексией того, что было сделанов в 1925-27 гг. и основывается на том, что физики говорят (а не делают).

Чтобы понять о чем тут речь, за основу можно взять различение трех семейств интерпретаций, выделенных К.Поппером в 1930-х гг.: 1)"копенгагенские", главным представителем которых выступал Н.Бор; 2) противопоставлявшиеся им "антикопенгагенские", главным представителем которых выступал А.Эйнштей, в центре которых было выдвижение "парадоксов" сформулированных для первой ("кота Шрёдингера", "Эйнштейна, Подольского, Розена" (ЭПР), "коллапса (редукции) волновой функции"). Здесь можно выделить три главных пункта, вокруг которых шел спор:а)существует ли состояние объекта до измерения?; является ли вероятностное описание индивидуальных объектов необходимой чертой квантовой механики?; в)можно ли считать полученную к 1927 г. квантовую механику полной, т.е. законченной. Главным является первый пункт, он лежит в основе "парадоксов", здесь "копенгагенцы" говорили "нет", а Эйнштейн провозглашал, как и для любого раздела физики, "да". По второму вопросу "копенгагенцы" говорили "да", а Эйнштейн говорил "нет", он надеялся на существование более глубокого слоя ("скрытых параметров" или "ансамблевости"), где "Бог не играет с нами в кости". Соответственно на вопрос о полноте антикопенгагенцы утверждали "нет", а копенгагенцы "да". Споры между этими группами продолжаются до сих пор составляют основное содержание философии квантовой механики. Третья группа, выделенная К.Поппером как "работающие физики" - физики, которые строят квантовомеханические теории и не обращают внимание на все эти споры и "парадоксы". Эти физики занимаются нормальной наукой - квантовой механикой и могут это делать, поскольку к 1927 г. были созданы описанные выше основания квантовой механики. Если анализировать что они делают, то они, следуя постулатам Борна, отвечают на первый вопрос, как Эйнштейн (не по копенгагенски), а на два других - как копенгагенцы. Все парадоксы для них рассыпаются, поскольку они основаны на копенгагенском утверждении, что один акт измерения задает состояние, в то время как согласно постулатам Борна измерение состояния должно состоять из достаточно длинной серии измерений.

Интерпретации квантовой механики



		Квантовая теория

		Квантовая теория

Не должна представлять реальность		Не полностью представляет реальность			Полностью представляет реальность
Не должна представлять реальность		Не полностью представляет реальность			Полностью представляет реальность


Позитивизм	Измененные квантовые законы	Влияние сознания	Полная переработка	Декогеренция		Многомировая интерпретация

Стивен Хокинг Нильс Бор	Роджер Пенроуз	Юджин Вигнер	Интерпретация Бома	Ролан Омнес Мюррей Гелл-Манн Джеймс Хартл		Хью Эверетт

	Джанкарло Джирарди Альберто Римини Вебер Вильгельм	Джон фон Нейман Фриц Лондон & Эдмонд Бауэр		Ханс-Дитер Зех Войцех Зурек