Лагранжиан

Лагранжиа́н, функция Лагранжа ${\mathcal {L}}[\varphi _{i}]$ динамической системы, названа в честь Жозефа Лагранжа, является функцией динамических переменных $\ \varphi _{i}(s)$ и описывает уравнения движения системы. Уравнения движения в этом подходе получаются из принципа наименьшего действия, записываемого как

${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0$

где действие — функционал ${\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]{}\,d^{n}s},$

${}{}{}{}\ s_{\alpha }$ обозначает множество параметров системы.

Уравнения движения, полученные посредством функциональной производной, идентичны обычным уравнениям Эйлера-Лагранжа. Динамические системы, чьи уравнения движения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранной функции Лагранжа, известны как лагранжевые динамические системы. Примеров лагранжевых динамических систем много, начиная с классической версии Стандартной Модели в физике элементарных частиц и заканчивая уравнениями Ньютона в классической механике. Также к ним относятся чисто математические проблемы, такие как уравнения геодезических и проблема Плато.

Пример из классической механики

Понятие функции Лагранжа было первоначально введено для переформулировки классической механики в виде, известном как лагранжева механика. В этом контексте функция Лагранжа обычно берётся в виде разности кинетической и потенциальной энергии механической системы.

Пусть размерность пространства равна трём и функция Лагранжа записана в виде

${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m{\dot {\vec {x}}}^{2}-V({\vec {x}}),$

где производная по времени обозначается точкой над дифференцируемой величиной, ${\vec {x}}$ — радиус-вектор частицы, m — её масса и V — потенциальная энергия. Тогда уравнение Эйлера-Лагранжа будет: $m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V=0$, где $\nabla$ — градиент.

Используя этот результат, можно легко показать, что этот подход эквивалентен подходу Ньютона. Запишем силу F в терминах потенциала ${\vec {F}}=-\nabla V(x)$, тогда мы получим уравнение ${\vec {F}}=m{\ddot {\vec {x}}}$, которое аналогично уравнению Ньютона с постоянной массой. Простые вычисления приведут нас к выражению ${\vec {F}}=d{\vec {p}}/dt$, которое является вторым законом Ньютона в его обобщённой форме.

Для трёхмерной системы со сферическими координатами r, θ, φ с лагранжианом

${\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r)$

можно получить следующие уравнения Эйлера-Лагранжа:

$m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+V'=0,$

${\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0,$

${\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0.$

Лагранжианы и плотности лагранжианов в теории поля

В теории поля сделано различие между лагранжианом L, действие которого задаётся интегралом по времени

$S=\int {L\,dt}$

и плотностью лагранжиана ${\mathcal {L}}$, которую нужно интегрировать по всему фазовому пространству:

$S[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x)]\,d^{4}x}$

Тогда лагранжиан — это интеграл по пространственным переменным от плотности лагранжиана. Однако в последнее время плотность лагранжиана ${\mathcal {L}}$ часто называют просто лагранжианом; это полезно в релятивистских теориях, поскольку он определён локально. Оба определения лагранжиана можно получить в специальных случаях общего определения, зависящих от того, включены пространственные переменные ${\vec {x}}$ в индекс i или в параметры s в $\varphi _{i}(s)$. Квантовые теории поля в физике элементарных частиц, такие как квантовая электродинамика, обычно описываются в терминах ${\mathcal {L}}$. Эта форма удобна, так как быстро переводится в правила, используемые для оценки диаграмм Фейнмана.

Электромагнитный лагранжиан

В общем случае лагранжиан в лагранжевой механике равен

$L=T-V$

где T — кинетическая энергия и V — потенциальная энергия. Для заряженной частицы с массой m, зарядом q и скоростью v, находящейся в электромагнитном поле со скалярным потенциалом φ и векторным потенциалом A, кинетическая энергия задаётся выражением

$T={1 \over 2}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ,$

а потенциальная энергия:

$V=q\phi -{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A}$

где c — скорость света. Тогда электромагнитный лагранжиан запишется в виде

$L={1 \over 2}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} -q\phi +{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} .$

Лагранжиан квантовой теории поля

Лагранжиан квантовой электродинамики

Плотность лагранжиана для КЭД

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\not \!\,D-m)\psi -{1 \over 4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

где ψ — биспинор, ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ — его дираковское сопряжение, $F^{\mu \nu }$ — тензор электромагнитного поля, D — калибровочная ковариантная производная, и $\not \!\,D$ — обозначение Фейнмана для $\gamma ^{\sigma }D_{\sigma }$.

Лагранжиан Дирака

Плотность лагранжиана для дираковского поля

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\not \!\;\partial -m)\psi$.

Лагранжиан квантовой хромодинамики

Плотность лагранжиана для квантовой хромодинамики [1] [2] [3]

${\mathcal {L}}=-{1 \over 4}F^{\alpha }{}_{\mu \nu }F_{\alpha }{}^{\mu \nu }-\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}(\not \!\,D_{\mu }+m_{n})\psi _{n}$

где $D_{\mu }$ — калибровочная ковариантная производная КХД, и $F^{\alpha }{}_{\mu \nu }$ — тензор напряжённости глюонного поля.

Ссылки

• Christoph Schiller (2005), Global descriptions of motion: the simplicity of complexity, Motion Mountain
• David Tong Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)