Лапласа распределение (двойное экспоненциальное)

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Распределение вероятностей случайной величины $\xi$ называется распределением Лапласа (двойное экспоненциальное распределение) с параметрами $(\alpha ,\lambda )(\lambda >0)$, если функция плотности имеет вид:

$f(x)={\frac {\lambda }{2}}e^{-\lambda |x-\alpha |},x\in (-\infty ,\infty ).$

Пусть $\xi _{1},\xi _{2}$ - независимые случайные величины, имеющие экспоненциальное распределение с параметром $\lambda$. Случайная величина $\xi =\xi _{1}-\xi _{2}+\alpha$ имеет распределение Лапласа с параметрами $(\alpha ,\lambda )$. Появляется в качестве предельного распределения в схемах суммирования случайного числа случайных слагаемых.

Характеристическая функция

$\varphi (t)=\lambda ^{2}e^{it\alpha }/(t^{2}+\lambda ^{2}).$

Свойства

• Моменты

$\mathbf {E} \xi ^{2k+1}=\alpha ^{2k+1}(2k+1)!,$

$\mathbf {E} \xi ^{2k}=\left[{\frac {\alpha ^{2k}}{(2k)!}}+{\frac {\alpha ^{2(k-1)}}{2(k-1)!\lambda ^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{\lambda ^{2k}}}\right](2k)!;$

• Дисперсия

$\mathbf {D} \xi ={\frac {2}{\lambda ^{2}}};$

• Мода и медиана равны $\alpha$;
• Коэффициент асимметрии: $\gamma _{1}=0$
• Коэффициент эксцесса: ${\gamma }_{2}=6\lambda -3$.

См.также

• Теория вероятностей
• Распределение вероятностей