Лине́йная а́лгебра — часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются в математике и её приложениях повсеместно. Линейная алгебра широко используется в общей алгебре и функциональном анализе и находит многочисленные приложения в естественных науках.

Предмет линейной алгебры[править | править код]

К линейной алгебре относят: теорию линейных уравнений, теорию определителей, теорию матриц, теорию векторных пространств и линейных преобразований в них, теорию форм (например, квадратичных), теорию инвариантов (частично), тензорное исчисление (частично)[1].

Система линейных алгебраических уравнений[править | править код]

Система линейных уравнений от трёх переменных определяет набор плоскостей. Точка пересечения является решением.

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными — это система уравнений вида

Она может быть представлена в матричной форме как:

или:

.

Векторные пространства[править | править код]

Векторное пространство — множество элементов, или векторов, в котором определены операции сложения и умножения на скаляр, для которых действует ряд аксиом. Скаляром является элемент числового поля. Линейное отображение — важное понятие теории векторных пространств — представляет собой гомоморфизм над одни м и тем же полем. Линейное отображение пространства в себя называется линейным преобразованием. Для конечномерного пространства выбор базиса позволяет определить квадратную матрицу линейного преобразования в данном базисе[2].

Приложения[править | править код]

Евклидовы пространства, аффинные пространства, а также многие другие пространства, изучаемые в геометрии, определяются на основе векторного пространства. Автоморфизмы векторного пространства над полем образуют группу относительно умножения, изоморфную группе невырожденных квадратных матриц, что связывает линейную алгебру с теорией групп, в частности с теорией линейных представлений групп[2].

Переход от используемых в линейной алгебре n-мерных векторных пространств к бесконечномерным линейным пространствам нашёл своё отражение в некоторых разделах функционального анализа[1].

Исторический очерк[править | править код]

Исторически первым вопросом линейной алгебры был вопрос о линейных уравнениях. Линейные уравнения, как уравнения прямых и плоскостей, стали естественным предметом изучения после изобретения Декартом и Ферма метода координат (около 1636)[источник не указан 2889 дней]. Построение теории систем таких уравнений потребовало таких инструментов, как матрицы, её определители и ранги[1][2]. В 1750 году для решения систем линейных уравнений было предложено правило Крамера (число уравнений равно числу неизвестных и определитель от коэффициентов не равен нулю), а в 1849 году — метод Гаусса. В 1877 году Фробениус предложил понятие ранга матрицы, что позволило сформулировать теорему Кронекера — Капелли[2].

В XX веке основным объектом изучения линейной алгебры становится векторное пространство[2].

Гамильтон в своей работе 1833 представлял комплексные числа в виде, как мы бы сейчас сказали, двумерного вещественного векторного пространства, ему принадлежит открытие кватернионов, а также авторство термина «вектор». Теория матриц была разработана в трудах Кэли (1850-е). Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились, по-видимому, в работах Лагерра (1867). Грассман в работах 1844 и 1862 года изучает то, что мы теперь назвали бы алгебрами, и его формальное изложение по существу является первой аксиоматической теорией алгебраических систем. В явном виде аксиомы линейного пространства сформулированы в работе Пеано (1888)[источник не указан 2889 дней].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру, Ч. 2: Линейная алгебра. М.: МЦНМО, 2009.
  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
  • В. А. Ильин, Г. Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007, 400с.
  • Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
  • Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры.-М.:Наука 1983, 336с.
  • Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных.-Л.:ЛГУ 1985, 496с.
  • Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 248 с. (см. ISBN )

  • Сандаков Е. Б. Основы аналитической геометрии и линейной алгебры: учебное пособие.-М.:МИФИ, 2005.-308с.
  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.-М.: Наука 1966, 576с.
  • Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
  • Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия.-М.:Наука 1969, 528с.
  • Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия.-СПб.: Лань 2005, 304с.
  • Курош А. Г. Курс высшей алгебры.-М.:Наука 1968, 331с.
  • Ланкастер П. Теория матриц.-М.:Наука 1973, 280с.
  • Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.-М.:Наука 1966, 384с.
  • Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения.-М.:Мир 1980, 454с.
  • Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.- 356с.
  • Халмош П. Конечномерные векторные пространства.-М.:Физматгиз 1963, 264с.
  • Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson). Матричный анализ. — М.: Мир, 1989, 655 с., ил. (ISBN 5-03-001042-4).
  • Шилов Г. Е. Математический анализ (Конечномерные линейные пространства).- 264с.
  • Тыртышников Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра. Курс лекций для студентов факультета ВМК, МГУ.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
  • Шарипов Р. А., Курс линейной алгебры и многомерной геометрии, — БашГУ, Уфа, 1996.

oc:Algèbra linear

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.