Линейно упорядоченное множество или цепь ― частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов и имеет место или .
Важнейший частный случай линейно упорядоченных множество ― вполне упорядоченные множества.
Связанные определения[]
Сечением линейно упорядоченного множества называется разбиение его на два подмножества и так, что , и для любых и , Классы и называются соответственно нижним и верхним классами сечения.
Различаются следующие типы сечений:
- скачок ― в нижнем классе имеется наибольший элемент, а в верхнем ― наименьший;
- дедекиндово сечение ― в верхнем классе нет наименьшего элемента;
- щель ― в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем ― наименьшего.
Линейно упорядоченное множество называется непрерывным, если все его сечения дедекиндовы.
Подмножество линейно упорядоченного множества называется плотным, если каждый неодноэлементный интервал множества содержит элементы, принадлежащие .
Свойства[]
- Подмножество линейно упорядоченного множества само является линейно упорядоченным.
- Всякий максимальный (минимальный) элемент линейно упорядоченного множества оказывается наибольшим (наименьшим).
- Линейно упорядоченное множество вещественных чисел может быть охарактеризовано как непрерывное линейно упорядоченное множество в котором нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, но содержится счётное плотное подмножество.
- Всякое счётное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству линейно упорядоченному множеству всех двоичных дробей отрезка .
- Решётка изоморфна подмножеству линейно упорядоченного множества целых чисел тогда и только тогда, когда каждая ее подрешетка является ретрактом.