Наука
Регистрация
Advertisement

Линейно упорядоченное множество или цепьчастично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов и имеет место или .

Важнейший частный случай линейно упорядоченных множество ― вполне упорядоченные множества.

Связанные определения[]

Сечением линейно упорядоченного множества называется разбиение его на два подмножества и так, что , и для любых и , Классы и называются соответственно нижним и верхним классами сечения.

Различаются следующие типы сечений:

  • скачок ― в нижнем классе имеется наибольший элемент, а в верхнем ― наименьший;
  • дедекиндово сечение ― в верхнем классе нет наименьшего элемента;
  • щель ― в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем ― наименьшего.

Линейно упорядоченное множество называется непрерывным, если все его сечения дедекиндовы.

Подмножество линейно упорядоченного множества называется плотным, если каждый неодноэлементный интервал множества содержит элементы, принадлежащие .

Свойства[]

  • Подмножество линейно упорядоченного множества само является линейно упорядоченным.
  • Всякий максимальный (минимальный) элемент линейно упорядоченного множества оказывается наибольшим (наименьшим).
  • Линейно упорядоченное множество вещественных чисел может быть охарактеризовано как непрерывное линейно упорядоченное множество в котором нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, но содержится счётное плотное подмножество.
  • Всякое счётное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству линейно упорядоченному множеству всех двоичных дробей отрезка .
  • Решётка изоморфна подмножеству линейно упорядоченного множества целых чисел тогда и только тогда, когда каждая ее подрешетка является ретрактом.
Advertisement