Логарифмическое распределение

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Логарифмическое распределение — дискретное распределение вероятностей случайной величины $\xi$, принимающей целые положительные значения $n=1,2,\ldots$ с вероятностями

$p_n = \mathbf{P}(\xi=n) = -\frac{(1-p)^n}{n\ln{p}},$

где $p$ — параметр, $(0<p<1)$.

Логарифмическое распределение является предельным для отрицательного биномиального распределения в следующем смысле. Если $\eta _r$ - случайная величина, имеющая отрицательное биномиальное распределение с параметром $(r, p)$, то $\lim_{r\to\infty} \mathbf{P} \{ \eta _r = k | \eta _r > 0 \} = -\frac{(1-p)^k}{k \ln{p}}.$

Логарифмическим называют также распределение случайной величины $\xi$, у которой $\mathbf{P} ( \xi = k )=\log_m (k+1) - \log_m k, k=1,\ldots,m-1.$

Характеристическая функция

$\varphi (t)=\frac{1}{\ln{p}} \ln[1-(1-p)e^{it}]=1-\frac{1}{\ln{p}} \ln \left[ 1-\frac{(1-p)t}{p\cdot 1!}- \frac{(1-p)t^2}{p\cdot 2!}-\ldots \right].$

Свойства

• Математическое ожидание:

$\mathbf{E}\xi=\frac{1-p}{p\ln{p}}$

• Моменты 2-го и 3-го порядка:

$\mathbf{E}\xi ^2=-\frac{1-p}{p^2\ln{p}}$

$\mathbf{E}\xi ^3=\frac{(1-p)(2-p)}{p^3\ln{p}}$

• Дисперсия:

$\mathbf{D}\xi=-\frac{1-p}{p^2\ln{p}} \left[ 1+\frac{1-p}{\ln{p}} \right].$

См.также

• Теория вероятностей
• Распределение вероятностей