Логнормальное распределение

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Cлучайная величина $\xi$ имеет логарифмически нормальное (логнормальное) распределение с параметрами $(m, \sigma ^2)$, если

$f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }} \exp{\left[ -\frac{(\ln{x} - m)^2}{2\sigma ^2} \right] }, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{matrix} \right..$

Свойства

• Моменты:

$\mathbf{E}\xi ^k =\exp{\left[ \frac{1}{2} k^2\sigma ^2 + km \right]};$

• Дисперсия:

$\mathbf{D}\xi=e^{\sigma ^2 + 2m} \left[ e^{\sigma ^2} -1 \right];$

• Коэффициент асимметрии:

$\gamma _1 = (e^{\sigma ^2} + 2)\sqrt{e^{\sigma ^2}-1};$

• Коэффициент эксцесса:

$\gamma _2 = e^{4\sigma ^2} + 2e^{3\sigma ^2} + 3e^{2\sigma ^2} - 6.$

Значение

Если $\eta$ имеет нормальное (0, 1) распределение, то $\xi = \exp{\sigma \eta + m}$ имеет логнормальное распределение с параметрами $(m, \sigma ^2)$.

Широко используется в статистической физике, статистической геологии, экономической статистике, биологии и т.д.

Логнормальное распределение можно получить как частный случай так называемого распределения Кептейна, имеющего плотность вероятности

$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} exp{\left[ -\frac{[G(x) - m]^2}{2\sigma ^2} \right]} \left| \frac{dG(x)}{dx} \right|,$

где $G(x)$ - монотонная дифференцируемая функция. Если $\xi$ имеет распределение Кептейна $(m, \sigma ^2, G(x))$, то $\eta = G(\xi )$ имеет нормальное (0, 1) распределение. Распределение Кептейна появляется как результат применения центральной предельной теоремы к схеме суммирования вида $x_{i+1} = x_i + z_{i+1} g(x_i)$, где $z_i$ - независимые случайные величины, $G(x) = \int_{x_0}^x \frac{du}{g(u)}$.

См.также

• Теория вероятностей
• Распределение вероятностей