Наука
Advertisement

Вектор

Математический ве́ктор — понятие, широко используемое в математике, изначально возникшее как геометрическая абстракция объектов, характеризуемых одновременно направлением и величиной (таких как скорость, момент силы) — направленный отрезок в евклидовом пространстве, обобщённое до представления в виде упорядоченной последовательности компонент в -мерном пространстве (и в развитие этой интерпретации используется в информатике для обозначения последовательности однородных элементов) и до произвольного элемента алгебры, определённой над полем. Во всех случаях вместе с вектором определяется сопутствующее понятие скаляра — объекта, характеризующегося только величиной (число, компонента -мерного пространства, элемент поля), определяются операции умножения вектора на скаляр, скалярного произведения двух векторов (комбинации векторов, дающей в результате скаляр).

Является одним из основополагающих понятий линейной алгебры. При использовании наиболее общего определения векторами оказываются практически все изучаемые в линейной алгебре объекты, в том числе матрицы, тензоры, однако, при наличии в окружающем контексте этих объектов, под вектором понимаются соответственно вектор-строка или вектор-столбец, тензор первого ранга. Свойства операций над векторами изучаются в векторном исчислении.

В геометрических интерпретациях векторы обозначаются буквами с чертой или стрелкой сверху (, ) или обозначением точек, объединёнными стрелкой сверху (), в алгебраических интерпретациях — прямым жирным шрифтом (), встречаются и другие обозначения.

Набор всех физических цветов можно интерпретировать как математические векторы в бесконечномерном векторном пространстве, более узко — в гильбертовом пространстве ([1]). Его называют цветовым пространством, Hcolor.

Средняя точка треугольника X

Место физических цветов можно интерпретировать как симплексы (геометрические фигуры, являющаяся n-мерными обобщениями треугольников) в (математическом) конусе, вершины которого — спектральные цвета. Белый цвет (свет) располагается на оси (в точке пересечения оси и основания конуса) (en:Centroid) симплекса, черно-белый — только на оси конуса (внизу — чёрный, вверху — белый, между ними — оттенки серого), и монохроматические цвета, связанные с осью с любой данной вершиной где-нибудь по линии оси от этих вершин в любых плоскостях сечений конусов в зависимости от их яркости. (Максимально яркие цвета спектра располагаются в плоскости наибольшего диаметра сечений конусов, в середине оси).

Общее определение

В евклидовом пространстве

Вектор в арифметическом -мерном пространстве является частным случаем определения вектора в абстрактной алгебре: если

  • в качестве поля взять поле вещественных чисел с их обычными операциями сложения и умножения;
  • n-мерное пространство задать как декартову степень множества вещественных чисел ;
  • точку — как кортеж длины n из вещественных чисел, что соответствует определению пространства как множества точек;
  • операцию «+» для задать следующим образом: ,
  • нейтральный элемент: =(0,…,0),
  • обратный элемент: ;
  • операцию умножения на скаляр задать выражением

— тогда алгебраический вектор, задаваемый кортежем длиной n, состоящим из вещественных чисел, является

арифметическим вектором векторного пространства над полем вещественных чисел .

Вектор в планарной евклидовой геометрии (связанный вектор) — упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая — концом вектора.

Два вектора равны, если разности по каждой из координат с одинаковыми номерами конечной и начальной точки для этих векторов равны. Эти разности называются пространственными координатами вектора.

Свободный вектор задается классом всех равных связанных векторов и полагается равным каждому из этих связанных векторов и таким образом может быть определен как вектор в арифметическом пространстве (кортеж чисел длины n (пространственных координат равных ему связанных векторов) с операциями сложения и умножения на скаляр).

Результатом операций со связанными векторами принимается вектор, начальная точка которого совпадает с начальной точкой первого слагаемого при сложении векторов и начальной точке исходного вектора при умножении вектора на скаляр.

Нуль-вектор — вектор, начало и конец которого совпадают.

Также существует более распространенное определение вектора как направленного отрезка, но оно требует определения прямой и отрезка в n-мерном пространстве. Однако, прямую и отрезок можно задать через вектор, определённый алгебраически:

  • Прямая, на которой лежит ненулевой вектор с началом в точке , заданный свободным вектором с пространственными координатами — множество точек , удовлетворяющее условию
  • Отрезок MN — множество всех точек O (удовлетворяющих условию ), все различные точки которого принадлежат одной прямой. Точки M и N называются концевыми точками отрезка. Отрезок называется направленным, если его концевые точки упорядочены. Если концы отрезка совпадают, он состоит из 1 точки.

При введении операций получения скалярного произведения двух векторов, угла между векторами и длины вектора, как расстояния между начальной и конечной точками вектора (см. ниже), векторное пространство становится евклидовым нормированным пространством и

  • при n=3 соответствует модели физического трехмерного пространства;
  • при n=2 — плоскости этого пространства;
  • при n=1 точка соответствует числу на числовой прямой, свободный вектор — разности двух чисел, а длина вектора соответствует модулю;
  • при n=0 существует только одна точка (задается пустым кортежем), декартово произведение содержит только пустой кортеж, соответственно пространство представляет собой точку, есть только нулевой вектор;
  • пространство при n>3 не имеет наглядной геометрической интерпретации, так как физическое пространство трёхмерно.

Скалярное произведение в этом случае определяется по формуле: , где — пространственные координаты векторов

Длина вектора где — пространственные координаты вектора.

Угол между двумя векторами определяется через скалярное произведение где — пространственные координаты векторов .

Вектор в линейном пространстве

Линейное пространство — это множество элементов, называемых векторами, над которыми определённым образом определены операции сложения и умножения на число. В любом линейном пространстве можно выделить особую систему векторов, называемых базисом линейного пространства. Количество векторов в базисе равно размерности пространства. Любой вектор из пространства можно представить, как линейную комбинацию базисных векторов. То есть, если у нас есть базис , то , где — это поле, над которым определенно линейное пространство .

Выбор базиса в линейном пространстве неоднозначен, однако коэффициенты векторов при измерении базиса связанны определённым образом. Пусть есть базис и . Причём: . Матрица , полученная из коэффициентов называться матрицей перехода от базиса к базису и связывает координаты вектора в различных базисах следующем образом: . Связь между матрицами перехода между двумя базисами: . Векторы могут иметь различную природу: направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие, однако все линейные пространства одной размерности изоморфны между собой.

Операции над векторами

Евклидовы и нормированные пространства

Геометрическая интерпретация

Свободные, скользящие и фиксированные векторы

Операции над векторами

Сложение

Вычитание

Векторное произведение

Смешанное произведение

Обозначения

Физическая интерпретация

Вектор как последовательность

См. также

Литература

Ссылки

Advertisement