Наука
Регистрация
Advertisement

Мно́жество — один из ключевых объектов математики, в частности теории множеств. «Множество есть многое, мыслимое нами как единое» (Георг Кантор). Это не является в полном смысле логическим определением понятия множество, а всего лишь пояснением (ибо определить понятие — значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качеств вида, но множество — это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики). Существует два подхода к понятию множества.

  • «Наивная теория множеств» Георга Кантора. Дать определение чему-либо это значит выразить понятие через ранее определенные. При этом должны быть некоторые базовые понятия, которые формально не определены. Множество как раз одно из таких понятий. В рамках наивной теории множеств множеством считается любой четко определенный набор объектов. Кантору принадлежит также следующая характеристика понятия «множество»: Множество — это объединение определённых, различных объектов, называемых элементами множества, в единое целое. Однако вольное использование наивной теории множеств приводит к некоторым парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.
  • Аксиоматическая теория множеств.

История определения[]

До 19-го века считалось, что точного определения множества нет. Множеством считалось любое скопление предметов. В конце 19-го века Георг Кантор определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Множество объектов, обладающих свойством , обозначается . Если некое множество , то называется характеристическим свойством множества . Данная концепция привела к парадоксам. После этого теория множеств была аксиоматизирована. На сегодняшний день множество определяется как модель удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора)). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

См. также[]

Advertisement