Мультигралы

Мультигралы, продакт-интегралы (англ. multigrals, product integrals) — мультипликативная версия стандартных интегралов в исчислении бесконечно малых; впервые введены математическим биологом Вито Вольтерра (Vito Volterra) в 1890-х для решения одновременных дифференциальных уравнений; нашли применение в различных областях от эпидемиологии (оценка Каплана-Майера (Kaplan-Meier estimator)) до стохастической популяционной динамики, анализа и даже квантовой механики.

Мультигралы никогда реально не входили в господствующую математику, вероятно из-за противоинтуитивного примечания, которое сделал Вольтерра. До настоящего времени различные версии мультигралов регулярно переоткрывались, а сбивающий с толку диапазон терминологии и обозначений продолжает расти.

В этой статье для обозначения мультигрирования (продакт-интегрирования) вместо обычного интеграла «$\int$» используется знак произведения «$\prod$» (часто модифицируемый в символ «$\times$» или в букву «$P$»), который одобрен Вольтерра и другими. Также предпринята классификация типов, чтобы навести некоторый терминологический порядок в данной области.

Основные определения

В их наиболее основной форме стандартные интегралы можно рассматривать как предел суммы ряда

$\int f(x)dx=\lim_{\Delta x\to 0}\sum{f(x_i){\Delta x}},$

который вычисляет площадь под графиком функции $f(x).$

Мультигралы можно рассматривать похожим образом, за исключением того, что вместо взятия предела суммы берется предел произведения:

$\sideset{}{_a^b}\prod_{x\in\mathbb{R}}{f(x)^{dx}}=\lim_{\Delta x\to 0}\prod{f(x_i)^{\Delta x}}.$

Они могут мыслиться скорее как «непрерывные», чем «дискретные» произведения.

Однако, в отличие от стандартного исчисления, существует несколько типов мультигралов, которые из-за нехватки общепринятой терминологии вынуждены обозначать типами от I-го до III-го:

Type I:

$\; \sideset{}{_a^b}\prod_{x\in\mathbb{R}}{f(x)^{dx}}=\lim_{\Delta x\to 0}\prod{f(x_i)^ {\Delta x}} =\exp\left(\int_a^b {\ln(f(x))dx}\right)$

Type II:

$\; \sideset{}{_a^b}\prod_{x\in\mathbb{R}}{1+f(x)\,{dx}}=\lim_{\Delta x\to 0}\prod{(1+f (x_i){\Delta x})}$

(замечание: условия требуют от $f (x), a, b$, чтобы произведение сходилось, а для последнего типа также должно быть в пределе описано разбиение области).

Аргументами ($x$) могут служить и вещественные переменные и матрицы (см. ниже ссылку на работу Гилла).

Пример

$\; \sideset{}{_1^2}\prod_{x\in\mathbb{R}}{x^{dx}} =\exp\left(\int_a^b {\ln(x)dx}\right)=\exp(x\ln(x)-x)_1^2=4/e$

Результаты

Как и стандартное исчисление, исчисление мультигралов имеет «мультипликативные» аналоги стандартных результатов (для подходящих $f (x), a, b$):

• Фундаметальная теорема

$\; \sideset{}{_a^b}\prod_{x\in\mathbb{R}}{f^*(x)^{dx}}=\sideset{}{_a^b}\prod_{x\in\mathbb{R}}{\exp\left (\frac{f'(x)}{f(x)}dx\right )}=\frac{f(b)}{f(a)}$

где $f^*(x)=\exp(f'(x)/f(x))$ — мульти-производная (или $m$-производная).

• Правило произведения

$\; (fg)^* = f^*g^*$

• Правило частного

$\; (f/g)^* = f^*/g^*$

• Закон больших чисел

$\; \sqrt[n] {X_1*X_2*...*X_n} \to \sideset{}{}\prod_{x}{X^{pr(x)dx}}$ при $n \to \infty ,$

где $X$ — случайная величина с вероятностным распределением $pr(x)$.

Сравните со стандартным законом больших чисел:

$\; \frac{X_1+X_2+...+X_n}{n} \; \to \; \int X*pr(x)dx$ при $n \to \infty$

(замечание: это справедлио для мультиграла типа I. Другие типы приводят к другим результатам).

История

(Эта история не представляет большого числа публикаций по мультигралам.)

В 1887 Вито Вольтерра предложил "мультипликативное исчисление" начав с мультипликативного интеграла, который мог быть также определен на комплексной плоскости. Позже это было переформулировано в более простой манере с мультипликативной производной в качестве отправной точки.

В 1901 Роберт Эдуард Мориц (Robert Edouard Moritz) опубликовал "Квотенцирование (quotientiation), расширение процесса дифференцирования", где определяется оператор $qy/qx =\lim_{k \to 1} \log_k (f(kx)/f(x))$.

Между 1972 и 1988 Майкл Гроссман (Michael Grossman), Роберт Кац (Robert Katz) и Джейн Гроссман (Jane Grossman) произвели множество публикаций по неньютоновому исчислению и смежным вопросам, которые описывают, между прочим, бесконечную семейство исчислений, обнаруженных первыми двумя между 1967 и 1970. Семейство включает классическое исчисление, геометрическое исчисление и бигеометрическое исчисление. Эти авторы также дают справочник для того, когда может быть предпочтительно использовать один из этих специфических типов исчисления. Их публикации включают детализированные расчеты геометрического исчисления и бигеометрического исчисления .

В 1999 геометрическое исчисление открыто вновь Диком Стэнли (Dick Stanley), который опубликовал статью "Мультипликативное исчисление" в журнале Примус (Primus). Тот же самый выпуск также содержит статью Даффа Кэмпбэла (Duff Campbell): "Мультипликативное исчисление и студенческие проекты".

В 2004 мультипликативная производная (бигеометрическая производная) определена Ф. Кордоба-Лепе (F.Córdova-Lepe), который называет это "пропорциональным исчислением".

См.также

• Мультипликативное исчисление

Ссылки

• W. P. Davis, J. A. Chatfield, "Concerning Product Integrals and Exponentials" Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 25, No. 4 (Aug., 1970), pp. 743-747, doi:10.2307/2036741
• Volterra, V., Hostinsky, B, "Operations Infinitesimales Lineaires", Gauthier-Villars, Paris (1938).
• Dollard, John D., Friedman, Charles, N., "Product integrals and the Schrodinger Equation", Journ. Math. Phys. 18 #8,1598-1607 (1977).
• Gill, R.D. & Johansen, S. (1990) A survey of product-integration with a view toward application in survival analysis, The Annals of Statistics, Vol. 18, pp.1501-1555.

Внешние ссылки

• Richard Gill "Product Integration"
• Richard Gill "Product Integral Symbol"
• David Manura "Product Calculus"
• Tyler Neylon "Easy bounds for n!"
• An Introduction to Multigral (Product) and Dx-less Calculus
• Notes On the Lax equation
• Сайт Ричарда Гилла, который содержит ссылки на различные статьи по мультигрированию