Гипераналитическая функция[править код]


Итак, два величайших математика, а впоследствии и многочисленные физики, не увидели связи с формулой (1). Простейшая гипотеза состоит в том, что у них не было персональных ЭВМ и алгоритмов длинной арифметики. Это действительно принципиально важно, потому что интеграл неберущийся, а работать надо с подинтегральной функцией, которая появляется после тождественного преобразования интеграла:

 

Более существенной причиной отсутствия интереса к правой части возможно было предположение, что она не интереснее левой. На самом деле справа находится уже совершенно новый математический объект - гипераналитическая функция, конкретный пример которой назовём решётчатой функции (РФ).

Таким образом, РФ[1] есть


Рис. 1. График РФ.

Space1.png


Все расчёты проводились при значениях L=1 и = 0.4992619105929628.

Для тех кто любит объяснение смысла любого математического преобразования можно сказать, что в результате преобразования (2) бесконечное количество частей непрерывной исходной функции размещаются без разрыва на отрезке [-0.5,0.5]. Тем самым создаётся возможность выполнить известный математический фокус - превратить полученную суммарную функцию в ряд Фурье (Барон Жан Батист Жозеф Фурье (21 марта 1768, Осер, Франция — 16 мая 1830, Париж)).

Однако, очевидно, что гипераналитическая функция не может быть разложена в ряд Фурье, так как она не интегрируется в элементарных функциях. В силу этого гипераналитическая функция не может быть разложена на чётную и нечётную функцию[2], в то время как произвольная аналитическая функция f может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций в интервале [a,b]:

, где , . 

Благодаря этому может быть разложена в бесконечный ряд по двум примитивным гипераналитическим функциям путём последовательных попыток разложения на чётную и нечётную функцию. Таким образом, гипераналитическая функция может быть формально разложена в как бы ряд Фурье самым простым способом, но в отличие от ортонормированного ряда Фурье полученный ряд таковым не является. Благодаря этому получаемое разложение демонстрирует необычные свойства, отсутствующие в ортонормированных пространствах[3].

Представляет интерес и второе свойство гипераналитических функций - высокая скорость сходимости коэффициентов разложения к нулю. Известно, что существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса , а экспоненциальное — аналитическим функциям. Отсюда и следует возможность существования гипераналитических функций, для которых убывание коэффициентов Фурье по определению соответствует тетрации - следующему гипероператору после возведения в степень.

Разложение РФ[править код]


Для наглядного подтверждения второго свойства гипераналитических функций приведём графики разностей, возникающих при последовательном вычитании членов разложения из .

Рис. 2. Первая разность. Рис. 3. Вторая разность - Рис. 4. Третья разность -

Space22.png Space3.png Space4.png

Рис. 5. Четвёртая разность - Рис. 6. Пятая разность -

Space6.png WW.png

Таким образом, абсолютное значение пятой разности уменьшается на 77 порядков. Введём следующие определения:

, 
 

Теперь введём параметр тонкой структуры как функцию от :


 

Выбор названия и обозначения этого параметра обусловлен тем, что

Следует отметить, что число в последней формуле введено для компенсации в . Оставшаяся в определении двойка присутствует также и в формуле (4). Таким образом, никаких других математических констант в формуле (4) не может быть по определению.

Теперь аппроксимация будет иметь вид:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle A\left(x\right)=\frac{\mathbb{R}_{max}+\mathbb{R}_{min}}{2}(1+2\alpha cos\left(2\pi x\right))\\ +2\sum_{i=1}^{\infty}\alpha^{4^{i}}\left(cos\left(2i\times 2\pi x\right)-1\right)\\ +\frac{2}{\mathbb{W}_{max}}\sum_{i=1}^{\infty}\alpha^{9{i}^2}\left(cos\left(3 \times (2i-1)\times 2\pi x\right)-cos\left((2i-1) \times 2\pi  x\right)\right). }

  1. Для выделения всех гипераналитических функций и образованных от них констант используется шрифт MATHEMATICAL DOUBLE-STRUCK CAPITAL.
  2. По определению отсутствие определённой чётности это несохранение чётности.
  3. Кроме упомянутого несохранения чётности следует также сказать о смешанности состояний.

Недавние правки[править код]



Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.