ФЭНДОМ


Гипераналитическая функция Править


Итак, два величайших математика, а впоследствии и многочисленные физики, не увидели связи $ \alpha $ с формулой (1). Простейшая гипотеза состоит в том, что у них не было персональных ЭВМ и алгоритмов длинной арифметики. Это действительно принципиально важно, потому что интеграл неберущийся, а работать надо с подинтегральной функцией, которая появляется после тождественного преобразования интеграла:

$  \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x}{\sigma})^{2}}dx=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-nL}{\sigma})^{2}}dx. \;\;\;(2)   $ 

Более существенной причиной отсутствия интереса к правой части возможно было предположение, что она не интереснее левой. На самом деле справа находится уже совершенно новый математический объект - гипераналитическая функция, конкретный пример которой назовём решётчатой функции (РФ).

Таким образом, РФ[1] есть

$  \mathbb{R}(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-nL}{\sigma})^{2}}. \;\;\;(3)  $

Рис. 1. График РФ.

Space1


Все расчёты проводились при значениях L=1 и $ \sigma $ = 0.4992619105929628.

Для тех кто любит объяснение смысла любого математического преобразования можно сказать, что в результате преобразования (2) бесконечное количество частей непрерывной исходной функции размещаются без разрыва на отрезке [-0.5,0.5]. Тем самым создаётся возможность выполнить известный математический фокус - превратить полученную суммарную функцию в ряд Фурье (Барон Жан Батист Жозеф Фурье (21 марта 1768, Осер, Франция — 16 мая 1830, Париж)).

Однако, очевидно, что гипераналитическая функция не может быть разложена в ряд Фурье, так как она не интегрируется в элементарных функциях. В силу этого гипераналитическая функция не может быть разложена на чётную и нечётную функцию[2], в то время как произвольная аналитическая функция f может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций в интервале [a,b]:

$ f(x)=g(x)+h(x) $, где $ g(x)=\frac{f(x-a)-f(b-x)}{2} $, $ h(x)=\frac{f(x-a)+f(b-x)}{2} $. 

Благодаря этому $ \mathbb{R}(x) $ может быть разложена в бесконечный ряд по двум примитивным гипераналитическим функциям путём последовательных попыток разложения на чётную и нечётную функцию. Таким образом, гипераналитическая функция может быть формально разложена в как бы ряд Фурье самым простым способом, но в отличие от ортонормированного ряда Фурье полученный ряд таковым не является. Благодаря этому получаемое разложение демонстрирует необычные свойства, отсутствующие в ортонормированных пространствах[3].

Представляет интерес и второе свойство гипераналитических функций - высокая скорость сходимости коэффициентов разложения к нулю. Известно, что существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса $ C^{k} $, а экспоненциальное — аналитическим функциям. Отсюда и следует возможность существования гипераналитических функций, для которых убывание коэффициентов Фурье по определению соответствует тетрации - следующему гипероператору после возведения в степень.

Разложение РФПравить


Для наглядного подтверждения второго свойства гипераналитических функций приведём графики разностей, возникающих при последовательном вычитании членов разложения из $ \mathbb{R}(x) $.

Рис. 2. Первая разность. $ \;\;\; \;\; $ Рис. 3. Вторая разность - $ \overline{\mathbb{V}}(2\times2\pi x). $ $ \; $ Рис. 4. Третья разность - $ \mathbb{W}\left(1\times2\pi x\right). $

Space22 Space3 Space4

Рис. 5. Четвёртая разность - $ \overline{\mathbb{V}}(4\times2\pi x). $ $ \;\;\; $ Рис. 6. Пятая разность - $ \mathbb{W}\left(3\times2\pi x\right). $

Space6 WW

Таким образом, абсолютное значение пятой разности уменьшается на 77 порядков. Введём следующие определения:

$ \mathbb{R}\left(0\right)=\mathbb{R}_{max}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{-n}{\sigma}\right)^{2}} $, 
$ \mathbb{R}\left(1/2\right)=\mathbb{R}_{min}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{1/2-n}{\sigma}\right)^{2}}. $ 

Теперь введём параметр тонкой структуры $ \alpha $ как функцию от $ \sigma $:


$ \alpha\left(\sigma\right)=\frac{1}{2}\frac{\mathbb{R}_{max}-\mathbb{R}_{min}}{\mathbb{R}_{max}+\mathbb{R}_{min}}. \;\;\;(4)  $ 

Выбор названия и обозначения этого параметра обусловлен тем, что

$ \alpha\left(0.4992619105929628\right)=\alpha. $

Следует отметить, что число $ \pi $ в последней формуле введено для компенсации $ \pi $ в $ \hbar=h/2\pi $. Оставшаяся в определении двойка присутствует также и в формуле (4). Таким образом, никаких других математических констант в формуле (4) не может быть по определению.

Теперь аппроксимация $ \mathbb{R}(x) $ будет иметь вид:

$ A\left(x\right)=\frac{\mathbb{R}_{max}+\mathbb{R}_{min}}{2}(1+2\alpha cos\left(2\pi x\right))\\ +2\sum_{i=1}^{\infty}\alpha^{4^{i}}\left(cos\left(2i\times 2\pi x\right)-1\right)\\ +\frac{2}{\mathbb{W}_{max}}\sum_{i=1}^{\infty}\alpha^{9{i}^2}\left(cos\left(3 \times (2i-1)\times 2\pi x\right)-cos\left((2i-1) \times 2\pi  x\right)\right).  $
  1. Для выделения всех гипераналитических функций и образованных от них констант используется шрифт MATHEMATICAL DOUBLE-STRUCK CAPITAL.
  2. По определению отсутствие определённой чётности это несохранение чётности.
  3. Кроме упомянутого несохранения чётности следует также сказать о смешанности состояний.

Недавние правкиПравить


Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA , если не указано иное.