ФЭНДОМ


Circle

Окружность и её центр

Окружностьгеометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

Связанные определения Править

  • Радиус — не только величина расстояния, но и отрезок, соединяющий центр окружности с одной из её точек.
  • Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
  • Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Circumcircle Angles 1

Через вершину треугольника проведена касательная к описанной окружности

  • Угол, образуемый дугой окружности, равной по длине радиусу, принимается за 1 радиан.
  • Длина единичной полуокружности обозначается через $ \pi $.
  • Геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше, чем заданное ненулевое, называется кругом.
  • Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
  • Прямая, проходящая через две различных точки окружности, называется секущей.
  • Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.
  • Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
  • Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.
  • Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными.

Свойства Править

  • Изопериметрическое неравенство: Из всех замкнутых кривых данной длины окружность ограничивает область максимальной площади.
  • Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
  • Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания.
  • Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  • Точка касания двух окружностей лежит на отрезке, соединяющем их центры.
  • Длина дуги окружности радиуса $ R $, образованной центральным углом $ \varphi $, измеренным в радианах, можно вычислить по формуле $ L= \varphi R $.
    • Длину окружности с радиусом $ R $ можно вычислить по формуле $ \ C= 2\pi R $.
  • Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°.
    • Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
    • Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равен 90°.
  • Угол между двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими.
  • Угол между пересекающимися хордами равен полусумме мер дуги лежащей в угле и дуги напротив нее.
  • Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.
  • Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
  • При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые делится одна из них точкой пересечения, равно произведению отрезков другой.
  • Произведение длин расстояний от выбранной точки до двух точек пересечения окружности и секущей, проходящей через выбранную точку, не зависит от выбора секущей и равно абсолютной величине степени точки относительно окружности.
    • Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей и равен абсолютной величине степени точки относительно окружности.
  • Окружность является простой плоской кривой второго порядка.
  • Окружность является коническим сечением и частным случаем эллипса.

Уравнения Править

Декартовы координаты Править

Circle center a b radius r

Окружность радиуса r = 1, центр (a, b) = (1.2, -0.5)

Общее уравнение окружности записывается как:

$ x^2+y^2+Ax+By+C=0,\, $

или

$ \left(x-x_0\right)^2 + \left(y-y_0\right)^2 = R^2, $

где

$ 2x_0=-A,\; 2y_0=-B,\; 2R = \sqrt{A^2+B^2-4C}. $

Точка $ \left(x_0, y_0\right) $ — центр окружности, $ R $ — её радиус.

Уравнение окружности радиуса $ R $ с центром в начале координат:

$ x^2 + y^2 = R^2.\, $

Уравнение окружности, проходящей через три точки (с помощью определителя) $ \left(x_1, y_1\right), $ $ \left(x_2, y_2\right) $ и $ \left(x_3, y_3\right): $

$ \begin{vmatrix} x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0. $

Окружность также можно описать с помощью параметрического уравнения:

$ \begin{cases} x = x_0 + R \cos \varphi \\ y = y_0 + R \sin \varphi \end{cases},\;\;\;0 \le \varphi < 2 \pi. $

В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:

$ y = y_0 \pm \sqrt{R^2 - (x - x_0 )^2}. $

Если центр окружности совпадает с началом координат, функции принимают вид:

$ y = \pm \sqrt{R^2 - x^2 }. $

Полярные координаты Править

Окружность радиуса $ R $ с центром в точке $ \left(\rho_0,\phi_0\right) $:

$ \rho^2 - 2\rho\,\rho_0\cos\left(\phi-\phi_0\right) + \rho_0^2 = R^2. $

Если полярные координаты центра окружности $ \rho_0 = R,\;\phi_0 = \alpha, $ то проходящая через начало координат окружность описывается уравнением:

$ \rho(\varphi)=2R\cos\,(\varphi-\alpha),\;\;\;\alpha-\frac\pi 2 \leq \varphi \leq \alpha+\frac\pi 2. $

Если же центр является началом координат, то уравнение будет иметь вид:

$ \rho=R.\, $

Комплексная плоскость Править

На комплексной плоскости окружность задаётся формулой:

$ \left|z - z_0\right| = R\, $

или в параметрическом виде

$ z=z_0 + Re^{it},\,t\in\R.\, $

Касательные и нормали Править

Уравнение касательной к окружности в точке $ \left(x_1,y_1\right) $ определяется уравнением

$ \left(\frac{A}{2}+x_1\right)x + \left(\frac{B}{2}+y_1\right)y + \left(\frac{A}{2}x_1+\frac{B}{2}y_1+C\right) = 0. $

Уравнение нормали в той же точке можно записать как

$ \frac{x-x_1}{2x_1+A} = \frac{y-y_1}{2y_1+B}.\, $

Концентрические и ортогональные окружности Править

Две окружности, заданные уравнениями:

$ x^2+y^2+A_1x+B_1y+C_1=0,\;\;\;x^2+y^2+A_2x+B_2y+C_2=0 $

являются концентрическими (то есть имеющими общий центр) в том и только в том случае, когда $ A_1=A_2 $ и $ B_1=B_2 . $ Эти же две окружности являются ортогональными (то есть пересекающиеся под прямым углом) тогда и только тогда, когда выполняется условие

$ A_1A_2 + B_1B_2 = 2\left(C_1+C_2\right). $

См. также Править

Wiktionary
В Викисловаре есть страница о термине «окружность»

Литература Править

  • Математическая энциклопедия в пяти томах. — М: Советская энциклопедия, 1983.
  • Маркушевич А. И. Замечательные кривые, выпуск 4. — М: Гостехиздат, 1952. — 32 с.
  • Корн Г., Корн Т. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 70.