Омега-квадрат-распределение

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Омега-квадрат-распределение, $\omega^2$-распределение — распределение вероятностей случайной величины

$\omega^2 = \int_0^1 Z^2(t)dt,$

где $Z^2(t)$ — условный винеровский процесс; характеристическая функция имеет вид

$f(t) = \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{2it}{\pi^2 n^2}\right)^{-1/2}.$

В математической статистике встречается в связи с эмпирической функцией распределения, построенной по независимым наблюдениям за стандартной равномерной случайной величиной на $[0,1].$

Толкование

Пусть по $\xi_1,\ldots,\xi_n$ — независимым наблюдениям за случайной величиной, равномерно распределённой на $[0,1]$, построена эмпирическая функция распределения $F_n.$ Так как случайный процесс

$Z_n(t) = \sqrt{n} (F_n(t)-t)$

слабо сходится к условному винеровскому процессу, то при $\lambda > 0$

$\lim_{n} \mathbf{P} \left\{ \int_0^1 Z_n^2(t)dt < \lambda \right\} = \mathbf{P} (\omega^2 < \lambda) = 1- \frac{2}{\pi}\sum_{n} \int_{(2^n-1)\pi}^{2^n \pi} \frac{e^{-t^2\lambda/2}}{\sqrt{-t\sin t}} dt.$

См.также

• Теория вероятностей
• Распределение вероятностей