О широкой зависимости событий

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Понятие независимости уже достаточно хорошо изучено в теории вероятностей. Представления о независимости, как они рассмотрены в классической теории, характеризуют структуру статистических систем на уровне попарного отношения отдельных элементов друг к другу. Однако реальные события вероятностно зависят друг от друга - либо вероятностно притягиваются, либо вероятностно отталкиваются. Некоторые события зависят от нескольких событий сразу, более того, можно представить себе зависимость между множествами событий. Если же охватить систему таких множеств событий некоторым целостным образом, то она наиболее емко характеризуется словом „хаос“.

Для описания таких систем определяющее значение имеет их структурная характеристика, выражающая особенности взаимоотношений между элементами. Для этого необходим новый математический аппарат, позволяющий более точно описать вероятностную зависимость между множествами событий.

Эвентология позволяет расширить взгляд на понятие зависимости и независимости вообще и понятие вероятностной зависимости и независимости в частности. Для это О. Ю. Воробьевым было предложено ввести понятие широкой зависимости событий, или зависимости событий в широком смысле.

Представления о независимости событий в классической теории

Бернштейн Сергей Натанович

Сергей Натанович Бернштейн

Фундаментальные вклады, которыми теория вероятностей обязана С. Н. Бернштейну, относятся к различным направлениям: аксиоматика теории вероятностей, обоснование нормальной корреляции с помощью предельных теорем и развитие общей теории корреляции, распространение центральной предельной теоремы на суммы стохастически зависимых величин, в частности неоднородных цепей Маркова, стохастические дифференциальные уравнения; приложение теории вероятностей к биологии и экономике: приложения теоретико-вероятностных методов в конструктивной теории функций. Работа 1917 г. является первым трудом по аксиоматическому обоснованию теории вероятностей во всей мировой литературе. Также С. Н. Бернштейну принадлежит замечательный курс теории вероятностей.

Важен вклад С. Н. Берштейна в теорию зависимости событий. Он первым заметил тот факт, что для того, чтобы множество событий было независимо в совокупности, недостаточно всего лишь попарной независимости между событиями: „Попарная независимость между тремя, например, событиями отнюдь не означает, что эти события совершенно независимы“. Данный факт иллюстрируется примером (распределение триплета событий, получившего название триплет Бернштейна): проводится случайный эксперимент с подбрасыванием тетраэдра, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета. Событие $A$(соответственно $B, C$) означает, что выпала грань, содержащая красный (соответственно, синий, зелёный) цвета. Вероятность каждого из этих событий равна $1/2$, так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх. Вероятность пересечения любых двух из них равна $1/4$, так как только одна грань из четырёх содержит два цвета. А так как $1/4 = 1/2*1/2$, то все события попарно независимы. Но вероятность пересечения всех трёх тоже равна $1/4$, а не $1/8$, т.е. события не являются независимыми в совокупности.

Колмогоров Андрей Николаевич

Андрей Николаевич Колмогоров

Современное математическое построение теории вероятностей дается в аксиоматической форме, что прежде всего связывается с именем А.Н.Колмогорова.

В своем основополагающем труде (1933г.) А.Н.Колмогоров подверг специальному анализу понятие независимости: „Понятие независимости двух или нескольких опытов занимает в известном смысле центральное место в теории вероятностей... Одной из важнейших задач философии естественных наук, после разъяснения пресловутого вопроса о сущности самого понятия вероятности, является выяснение и уточнение тех предпосылок, при которых можно какие-либо данные действительные явления рассматривать как независимые...“.

О зависимости же говорится лишь следующее: „Если в новейших исследованиях ... часто отказываются от предположения полной независимости, то оказываются принужденными для получения достаточно содержательных результатов ввести аналогичные ослабленные предположения...“.

Некоторые события действительно можно считать вероятностно независимыми, но если бы все события всегда были независимы друг от друга, то было бы достаточно измерить вероятность каждого из них, чтобы делать прогнозы о наступлении этих событий в будущем.

Широкая зависимость событий

Рассмотрим Э-пространство $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$; конечное множество событий $\mathfrak{X} \subseteq \mathcal{F}$, выбранных из алгебры $\mathcal{F}$ этого пространства, и Э-распределение множества $\mathfrak{X}$ в виде набора вероятностей $\{p(X), X \subseteq \mathfrak{X}\}$, в котором

$p(X) = \mathbf{P}\left( \mathrm{ter}(X) \right)$

- вероятности событий-террасок

$\mathrm{ter}(X) = \bigcap_{x \in X} x \bigcap_{x \in X^c} x^c \in \mathcal{F}$,

образующих по всем $X \subseteq \mathfrak{X}$ разбиение $\Omega$, обеспечивают данному виду Э-распределения множества $\mathfrak{X}$ вероятностную нормировку:

$\sum_{X \subseteq \mathfrak{X}} p(X) = 1$.

Широкая зависимость событий - это семейство структур вероятностных зависимостей событий, определяемых характеристическими соотношениями и ограничениями, которым обязана удовлетворять вероятностная мера. Любая широкая зависимость событий существенно опирается на понятие мощности зависимых множеств событий (в общем случае это зависимость $n$-множества событий от всех его $m$-подмножеств: $n=0,\ldots,N, m=0,\ldots n$), включает в себя классическую зависимость событий, как один из возможных способов характеризации структур зависимости событий (в общем случае классическая зависимость событий - это зависимость $n$-множества событий от всех его $1$-подмножеств: $n=2,\ldots,N$), и содержит вновь определяемые широкие зависимости $I$-го, $II$-го и $III$-го рода.

«Связь между двумя и более» $(m \geq 2)$

Обычно под зависимостью подразумевают «связь между», а под независимостью - «отсутствие связи между». Поэтому классическое понятие вероятностной зависимости событий начинает «работать» лишь для подмножеств событий $X \subseteq \mathfrak{X}$, мощность которых не меньше двух: $|X| \geq 2$, поскольку о зависимости или независимости событий, традиционно начинают говорить только тогда, когда речь заходит по-крайне мере о двух событиях.

«Связь c одним» $(m=1)$

Базовая терминология, применяемая в теории вероятностей для характеристики зависимости и независимости событий, рассчитана исключительно на классический вариант описания вероятностной связи множества событий с одиночными событиями, составляющими данное множество. Иначе говоря, терминология теории вероятностей предназначена для выражения вероятностных «связей с» отдельными событиями. Например, когда вероятность пересечения множества событий выражается через произведение вероятностей отдельных событий из этого множества, такое множество событий называется независимым.

«Связи со множеством произвольной мощности»

Широкая зависимость событий позволяет описать не только «связей с одним», но также и «связи со множеством произвольной мощности», включая «связи с пустым множеством». Кроме того, широкая зависимость событий к «связям между двумя и более» добавляет «связи между одним» и «связи между ничем». Иначе говоря, понятия распространяются на моноплеты событий - подмножества событий $X_{1} = \{x\} \subseteq \mathfrak{X}$, имеющие единичную мощность: $|\{x\}|=1$, и на пустое подмножество событий $X_{0} = \emptyset \subseteq \mathfrak{X}$, имеющее нулевую мощность: $|\emptyset|=0$.

Матричное представление структур широких зависимостей событий

Структуры широкой зависимости событий можно представить в виде башни, составленной из $(n /\!\!/ m)$-блоков, в каждом из которых расположены широкие зависимости $n$-множеств событий $X_n \subseteq \mathfrak{X}$ от всех их $m$-подмножеств $X_m \subseteq X_n$.

Матричное представление структур зависимостей событий

Первый ярус почти весь отведен нижним $(n /\!\!/1)$-зависимостям в широком смысле $(n=2,\ldots,N)$. Эти блоки зависимости в широком смысле соответствуют всем вариантам независимости событий, хорошо известным в классической теории вероятностей. В их числе парная, тройная или более высокого порядка независимость событий вплоть до независимости событий в совокупности. На первом же ярусе расположена еще одна $(1 /\!\!/ 1)$-зависимость в широком смысле, которая всерьез не рассматривается классической теорией вероятностей, но вполне имеет право на существование с новой точки зрения. Подземелья башни предназначены для нижних $(n /\!\!/0)$-зависимостей в широком смысле $(n=0,\ldots,N)$ - нового эвентологического понятия, у которого нет аналогов в современной теории вероятностей. На верхних ярусах располагаются блоки нижних широких $(n /\!\!/ m)$-зависимостей с более высокими мощностями $n=2,\ldots,N$, и $m=2,\ldots,n$, также не имеющих классических аналогов.

1-зависимость в широком смысле

Когда речь идет о зависимости от отдельных событий $x \in \mathfrak{X}$, говорят о зависимости мощности один ($1$-зависимости в широком смысле). Этим типом зависимости обладают множества событий, независимые попарно, потройно и т.д. независимые $n$-арно $(n=2, 3, \ldots, N)$, когда для всех $n$-подмножеств $X_n \subseteq \mathfrak{X}$ выполнено соотношение $\mathbf{P}\left( \bigcap_{x \in X_n} x \right) = \prod_{x \in X_n} p_x$,

выражающее вероятность пересечения событий из $X_n$ при помощи произведения вероятностей этих событий $p_x = \mathbf{P}(x)$. Этим же типом зависимости обладают множества событий, которые в теории вероятностей называются независимыми в совокупности. Э-распределения множеств событий независимых в совокупности имеют для $X \subseteq \mathfrak{X}$ вид:

$p(X) = \prod_{x \in X} p_x \prod_{x \in X^c} (1-p_x)$.

Новые виды зависимости событий в широком смысле

К новым в широком смысле относятся следующие виды зависимостей событий:

$0$-нижняя зависимость в широком смысле

Зависимость «от никаких событий» (от пустого множества событий), когда вообще не говорится о зависимости от каких бы-то ни было событий - это зависимость мощности нуль (0-ой мощности). Множества событий, обладающие этим видом широкой зависимости, называются множествами тотально независимых событий.

$m$-нижние зависимости в широком смысле при $m\ge 1$

Зависимость множеств событий от всех подмножеств из двух, трех и более событий (от дуплетов, триплетов и более мощных множеств событий) - это $2-$, $3-$ или более-нижние зависимости в широком смысле. Множества событий, обладающие этими видами широкой зависимости, называются множествами широкой зависимости высокой мощности.

Широкая зависимость событий как совокупность способов параметризации Э-распределений

Каждая структура широкой зависимости множества событий $\mathfrak{X}$, в конечном итоге, определяется совокупностью параметров, которой достаточно для характеризации его Э-распределения. В наиболее общей ситуации, когда среди множества событий $\mathfrak{X}$ отсутствует какая-либо форма вероятностной независимости, структура зависимости $\mathfrak{X}$ определяется максимальной совокупностью из $2^N-1$ независимого параметра. Сокращение совокупности параметров, определяющих структуру зависимости множества событий $\mathfrak{X}$, всегда объясняется возникновением среди этого множества событий той или иной формы независимости. Верно и обратное. Любой форме независимости среди данного множества событий соответствует способ параметризации его Э-распределения, определяемый некоторой сокращенной совокупностью параметров.

В рамках понятия широкой зависимости событий предлагается для обнаружения, фиксации и применения различных форм независимости использовать специальный инструментарий широко-мультипликативных проекций и аппроксимаций Э-распределений.

Список литературы

[1] Александров П. С., Ахиезер Н. И., Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Cергей Натанович Бернштейн (некролог). УМН, 24:3(147) (1969), 211–218

[2] Бернштейн С. Н. Теория вероятностей. Москва, 1927.

[3] Воробьев О. Ю. Эвентология. Сибирский федеральный университет, Красноярск, 2007, 435с.

[4] Воробьев О. Ю. Широкая зависимость событий и аппроксимация эвентологических распределений широко-мультипликативными сет-функциями. Труды VIII Международ. ФАМ конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам, Красноярск: СФУ, 1 (под ред. Олега Воробьева): 101-122, 2009.

[5] Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. ОНТИ НТКП СССР, Ленинград, 1936.

[6] Линник Ю. В. О работах С. Н. Бернштейна по теории вероятностей. УМН, 16:2(98) (1961), 25–26

[7] Писаревский Б.М., Харин В.Т., Беседы о математике и математиках. Изд. "Нефть и газ", М., 1998 г., 185 стр.

См. также

• Независимость событий
• Эвентология
• Множество случайных событий

Внешние ссылки

• Сайт «Эвентология»
• «О работах С. Н. Бернштейна по теории вероятностей»
• «Сергей Натанович Бернштейн (некролог)»
• Russian Mathematical Surveys, 1961, 16:2, 21–22
• Russian Mathematical Surveys, 1969, 24:3, 169–176