Введение[править | править код]

"Парадокс — истинное высказывание, утверждение, суждение или вывод, характеризующиеся неожиданностью, непривычностью, оригинальностью, противоречивостью себе, исходным посылкам, общепринятому, традиционному взгляду или здравому смыслу по содержанию и/или по форме" (Википедия)

Парадокс дней рождения[править | править код]

Выберем наугад 24 человека. Какова, по вашему мнению, вероятность того, что двое или большее число из них родились в один и тот же день одного и того же месяца (но, быть может, в разные годы)? Интуитивно чувствуется, что вероятность такого события должна быть очень мала. На самом же деле она оказывается равной 27/50, то есть чуть выше 50%!

Вероятность того, что дни рождения любых двух людей не совпадают, очевидно, равна 364/365 (поскольку лишь в одном случае из 365 возможных дни рождения совпадают). Вероятность несовпадения дня рождения третьего человека с днем рождения любых двух других членов отобранной группы составляет 363/365. Для четвертого человека вероятность того, что его день рождения отличается от дней рождения любых трех людей, равна 362/365 и т. д. Дойдя до двадцать четвертого участника эксперимента, мы увидим, что вероятность несовпадения его дня рождения с днями рождения остальных двадцати трех участников равна 342/365. Таким образом, мы получаем набор из 23 дробей. Перемножив их, мы найдем вероятность того, что все 24 дня рождения различны. Сократив числитель и знаменатель произведения двадцати четырех дробей, мы получим дробь 23/50. Иначе говоря, заключая пари на то, что среди 24 по крайней мере двое родились в один и тот же день, вы будете выигрывать в 27 и проигрывать в 23 случаях из 50. (Проведенный нами подсчет вероятности не совсем точен, он не учитывает того, что год может быть високосным — то есть в феврале может быть 29 дней — и что дни рождения чаще приходятся на одни месяцы и реже на другие. Первое обстоятельство уменьшает вероятность интересующего нас события, второе — увеличивает.)

Приведенные цифры настолько неожиданны, что экспериментальная проверка их в классе или среди сослуживцев может явиться отличным развлечением. Если присутствует более 23 человек, попросите каждого написать на листке бумаги его день рождения. Соберите и сложите листки. Скорее всего по крайней мере две даты совпадут, что обычно вызывает невероятное удивление даже у людей, знакомых друг с другом в течение многих лет. Результат не изменится, если кто-нибудь схитрит, написав неправильную дату. Вероятность совпадения остается и в этом случае.

Прекрасной иллюстрацией парадокса могут служить даты рождения и смерти 33 президентов Соединенных Штатов. В каждом случае вероятность совпадения (33 даты рождения, 30 дат смерти) близка к 75%. И действительно, Полк и Хардинг родились 2 ноября, а три президента — Джефферсон, Адаме и Монро — умерли 4 июля.

Парадокс Монти Холла или Дилемма игрока[править | править код]

Вы участвуете в игре. Вам выносят 3 черных ящичка, в одном из них лежат ключи от машины/квартиры/дачи/сейфа, в двух других пусто. Первый этап, вы указываете на ящик. Тогда ведущий игры открывает один из двух невыбранных вами ящиков, причем обязательно пустой, и показывает, что он пуст, после чего предлагает снова выбрать уже из двух: остаться при прежнем мнении или указать на второй ящик.

Игрок уверен в себе и мнения не меняет, выбирая всегда тот же ящик, что и вначале. Но зря. Почему так? На первый взгляд, при первом выборе вероятность попасть в цель 1/3, а при втором среди оставшихся ящиков - 1/2, так что выбор можно делать произвольно.

На самом деле, когда вы делаете первый выбор, вероятность не попасть в цель 2/3, то есть вдвое выше. А потом ничего не меняется, только ведущий нам помогает и убирает лишний пустой ящик. А это значит, что ключи лежат в выбранном ящике с вероятностью все еще 1/3, а в последнем из двух невыбранных - все еще 2/3. Конечно, есть вероятность, а есть уверенность в правильном выборе, но, играя во что-то, нужно стремиться повысить свою вероятность, поэтому в описанной игре нужно отказываться от своего мнения и выбирать второй закрытый ящик.

Парадокс со вторым ребенком[править | править код]

Мистер Смит сообщает, что у него двое детей и по крайней мере один из них мальчик. Какова вероятность того, что второй ребенок мистера Смита тоже мальчик? Первое, что приходит в голову, — это сказать, что вероятность равна 1/2, но, перебрав три равновероятных возможности — ММ, МД, ДМ, — мы видим, что ММ — только одна из них, следовательно, искомая вероятность равна 1/3 [Если дети не близнецы!]. Ситуация резко изменилась бы, если бы Смит сказал, что мальчиком является старший (или тот, кто повыше ростом, или тот, чей вес больше) из его детей. В этом случае допустимые комбинации исчерпываются двумя — ММ и МД — и вероятность того, что другой ребенок мистера Смита мальчик, возрастает до 1/2. Не будь этого обстоятельства, мы могли бы очень просто угадывать, какой стороной упала и скрытая от нас монета, причем с вероятностью, превосходящей вероятность отгадывания вслепую. Для этого нам нужно было бы бросить свою монету и, если бы она упала вниз решкой, рассуждать так: бросали две монеты, одна из них (наша) выпала вверх орлом, поэтому вероятность того, что другая монета также выпала вверх орлом, равна всего лишь 1/3, и мы смело можем утверждать, что другая монета выпала вверх решкой. Ошибка этого рассуждения заключается, конечно, в том, что нам точно известно, какая именно монета упала орлом вверх. Ситуация здесь аналогична ситуации в предыдущей задаче, когда мистер Смит сообщает, кто из детей мальчик, поэтому и вероятность правильного ответа в обеих задачах меняется одинаково.

Петербургский парадокс[править | править код]

Впервые этот парадокс был изложен в «Мемуаре», который знаменитый математик Даниил Бернулли представил Санкт-Петербургской Академии. Предположим, что я бросаю монету и согласен уплатить вам доллар, если выпадет орел. В случае же выпадения решки я бросаю монету второй раз и плачу вам два доллара, если при втором подбрасывании выпадет орел. Если же снова выпадет решка, я бросаю монету в третий раз и плачу вам четыре доллара, если при третьем подбрасывании выпадает орел. Короче говоря, с каждым разом я удваиваю выплачиваемую сумму. Бросать монету я продолжаю до тех пор, пока вы не остановите игру и не предложите мне расплатиться. Какую сумму вы должны заплатить мне, чтобы я согласился играть с вами в эту «одностороннюю игру», а вы не остались в убытке?

В ответ трудно поверить: сколько бы вы мне ни платили за каждую партию, пусть даже по миллиону долларов, вы все равно сможете с лихвой окупить свои расходы. В каждой отдельно взятой партии вероятность того, что вы выиграете один доллар, равна 1/2, вероятность выиграть два доллара равна 1/4, четыре доллара — 1/8 и т.д. В итоге вы можете рассчитывать на выигрыш в сумме (1 x 1/2) + (2 x 1/4) + (4 x 1/8) … Этот бесконечный ряд расходится: его сумма равна бесконечности. Следовательно, независимо от того, какую сумму вы будете выплачивать мне перед каждой партией, проведя достаточно длинный матч, вы непременно окажетесь в выигрыше. Делая такое заключение, мы предполагаем, что мой капитал неограничен и мы можем проводить любое число партий. Разумеется, если вы заплатили за право сыграть одну партию, например 1000 долларов, то с весьма высокой вероятностью вы эту партию проиграете, но ожидание проигрыша с лихвой компенсируется шансом, хотя и небольшим, выиграть астрономическую сумму при выпадении длинной серии из одних лишь орлов. Если же мой капитал, как это имеет место в действительности, ограничен, то и разумная плата за право сыграть партию также должна иметь верхний предел. Петербургский парадокс возникает в любой азартной игре с удваивающимися ставками. Подробный анализ этого парадокса приводит ко всякого рода тонким вопросам обоснования теории вероятностей.

Поучительная история про математика, проигравшего велосипед[править | править код]

Это известная история, предостерегающая чересчур увлекаться числами. Была она на самом деле или нет, неизвестно, но в учебниках по теории вероятности этот пример приводят стабильно.

Однажды математик по профессии поспорил со случайным встречным: оппонент говорил, что следующие 100 человек, прошедшие мимо них, будут мужчинами, математик же утверждал, что этого не будет. Причем математик ставил на кон велосипед против всего 1 рубля своего оппонента.

Логика математика была очень проста: есть всего 1 шанс из около 1267 октиллионов (октиллион - единица с 27-ю нулями), то есть, по его мнению, он ничем не рисковал. Логика оппонента была тоже по-своему безупречна: рубль - невелика потеря, а вот возможность, пусть призрачная, выиграть велосипед, того стоит.

Спор решился не в пользу математика, потому что как раз в этот момент по их улице прошел батальон солдат. Так что не стоит забывать, что кроме вероятности и достоверности, есть еще обстоятельства, имеющие привычку образовываться в неподходящий момент.

Парадокс двух конвертов[править | править код]

Проводится лотерея. Предлагаются два конверта, в которых находятся две суммы денег, причём в одном из конвертов сумма отличается от суммы в другом конверте ровно в два раза. Никакие действия (измерительные и т.п.) совершать с конвертами нельзя. Можно лишь открыть один любой конверт и посчитать в нем деньги, после чего сделать выбор - взять этот конверт или взять другой конверт, чтобы получить бОльшую сумму. В каждом последующем розыгрыше в конвертах находятся другие суммы, например 1 и 2, 5 и 10, 100 и 200, 560 и 1120 и т. д. в разной последовательности.

Предположим, что мы увидели в одном из конвертов x рублей. Тогда в другом может быть 0,5x или 2x руб. Таким образом, считая, что в другом конверте равновероятно находится либо 0,5x, либо 2x, определяем средний выигрыш в случае, если мы возьмём другой конверт: (0,5x+2x)/2=1,25x рублей (соответственно, разумнее выбирать именно его, хотя мы и не знаем, больше там денег или меньше), что противоречит интуитивной симметрии задачи.

Кстати, об этом парадоксе учёные спорят до сих пор.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.