Наука
Advertisement

Введение

"Парадокс — истинное высказывание, утверждение, суждение или вывод, характеризующиеся неожиданностью, непривычностью, оригинальностью, противоречивостью себе, исходным посылкам, общепринятому, традиционному взгляду или здравому смыслу по содержанию и/или по форме" (Википедия)

Парадокс дней рождения

Выберем наугад 24 человека. Какова, по вашему мнению, вероятность того, что двое или большее число из них родились в один и тот же день одного и того же месяца (но, быть может, в разные годы)? Интуитивно чувствуется, что вероятность такого события должна быть очень мала. На самом же деле она оказывается равной 27/50, то есть чуть выше 50%!

Вероятность того, что дни рождения любых двух людей не совпадают, очевидно, равна 364/365 (поскольку лишь в одном случае из 365 возможных дни рождения совпадают). Вероятность несовпадения дня рождения третьего человека с днем рождения любых двух других членов отобранной группы составляет 363/365. Для четвертого человека вероятность того, что его день рождения отличается от дней рождения любых трех людей, равна 362/365 и т. д. Дойдя до двадцать четвертого участника эксперимента, мы увидим, что вероятность несовпадения его дня рождения с днями рождения остальных двадцати трех участников равна 342/365. Таким образом, мы получаем набор из 23 дробей. Перемножив их, мы найдем вероятность того, что все 24 дня рождения различны. Сократив числитель и знаменатель произведения двадцати четырех дробей, мы получим дробь 23/50. Иначе говоря, заключая пари на то, что среди 24 по крайней мере двое родились в один и тот же день, вы будете выигрывать в 27 и проигрывать в 23 случаях из 50. (Проведенный нами подсчет вероятности не совсем точен, он не учитывает того, что год может быть високосным — то есть в феврале может быть 29 дней — и что дни рождения чаще приходятся на одни месяцы и реже на другие. Первое обстоятельство уменьшает вероятность интересующего нас события, второе — увеличивает.)

Приведенные цифры настолько неожиданны, что экспериментальная проверка их в классе или среди сослуживцев может явиться отличным развлечением. Если присутствует более 23 человек, попросите каждого написать на листке бумаги его день рождения. Соберите и сложите листки. Скорее всего по крайней мере две даты совпадут, что обычно вызывает невероятное удивление даже у людей, знакомых друг с другом в течение многих лет. Результат не изменится, если кто-нибудь схитрит, написав неправильную дату. Вероятность совпадения остается и в этом случае.

Прекрасной иллюстрацией парадокса могут служить даты рождения и смерти 33 президентов Соединенных Штатов. В каждом случае вероятность совпадения (33 даты рождения, 30 дат смерти) близка к 75%. И действительно, Полк и Хардинг родились 2 ноября, а три президента — Джефферсон, Адаме и Монро — умерли 4 июля.

Парадокс Монти Холла или Дилемма игрока

Вы участвуете в игре. Вам выносят 3 черных ящичка, в одном из них лежат ключи от машины/квартиры/дачи/сейфа, в двух других пусто. Первый этап, вы указываете на ящик. Тогда ведущий игры открывает один из двух невыбранных вами ящиков, причем обязательно пустой, и показывает, что он пуст, после чего предлагает снова выбрать уже из двух: остаться при прежнем мнении или указать на второй ящик.

Игрок уверен в себе и мнения не меняет, выбирая всегда тот же ящик, что и вначале. Но зря. Почему так? На первый взгляд, при первом выборе вероятность попасть в цель 1/3, а при втором среди оставшихся ящиков - 1/2, так что выбор можно делать произвольно.

На самом деле, когда вы делаете первый выбор, вероятность не попасть в цель 2/3, то есть вдвое выше. А потом ничего не меняется, только ведущий нам помогает и убирает лишний пустой ящик. А это значит, что ключи лежат в выбранном ящике с вероятностью все еще 1/3, а в последнем из двух невыбранных - все еще 2/3. Конечно, есть вероятность, а есть уверенность в правильном выборе, но, играя во что-то, нужно стремиться повысить свою вероятность, поэтому в описанной игре нужно отказываться от своего мнения и выбирать второй закрытый ящик.

Парадокс со вторым ребенком

Мистер Смит сообщает, что у него двое детей и по крайней мере один из них мальчик. Какова вероятность того, что второй ребенок мистера Смита тоже мальчик? Первое, что приходит в голову, — это сказать, что вероятность равна 1/2, но, перебрав три равновероятных возможности — ММ, МД, ДМ, — мы видим, что ММ — только одна из них, следовательно, искомая вероятность равна 1/3 [Если дети не близнецы!]. Ситуация резко изменилась бы, если бы Смит сказал, что мальчиком является старший (или тот, кто повыше ростом, или тот, чей вес больше) из его детей. В этом случае допустимые комбинации исчерпываются двумя — ММ и МД — и вероятность того, что другой ребенок мистера Смита мальчик, возрастает до 1/2. Не будь этого обстоятельства, мы могли бы очень просто угадывать, какой стороной упала и скрытая от нас монета, причем с вероятностью, превосходящей вероятность отгадывания вслепую. Для этого нам нужно было бы бросить свою монету и, если бы она упала вниз решкой, рассуждать так: бросали две монеты, одна из них (наша) выпала вверх орлом, поэтому вероятность того, что другая монета также выпала вверх орлом, равна всего лишь 1/3, и мы смело можем утверждать, что другая монета выпала вверх решкой. Ошибка этого рассуждения заключается, конечно, в том, что нам точно известно, какая именно монета упала орлом вверх. Ситуация здесь аналогична ситуации в предыдущей задаче, когда мистер Смит сообщает, кто из детей мальчик, поэтому и вероятность правильного ответа в обеих задачах меняется одинаково.

Петербургский парадокс

Впервые этот парадокс был изложен в «Мемуаре», который знаменитый математик Даниил Бернулли представил Санкт-Петербургской Академии. Предположим, что я бросаю монету и согласен уплатить вам доллар, если выпадет орел. В случае же выпадения решки я бросаю монету второй раз и плачу вам два доллара, если при втором подбрасывании выпадет орел. Если же снова выпадет решка, я бросаю монету в третий раз и плачу вам четыре доллара, если при третьем подбрасывании выпадает орел. Короче говоря, с каждым разом я удваиваю выплачиваемую сумму. Бросать монету я продолжаю до тех пор, пока вы не остановите игру и не предложите мне расплатиться. Какую сумму вы должны заплатить мне, чтобы я согласился играть с вами в эту «одностороннюю игру», а вы не остались в убытке?

В ответ трудно поверить: сколько бы вы мне ни платили за каждую партию, пусть даже по миллиону долларов, вы все равно сможете с лихвой окупить свои расходы. В каждой отдельно взятой партии вероятность того, что вы выиграете один доллар, равна 1/2, вероятность выиграть два доллара равна 1/4, четыре доллара — 1/8 и т.д. В итоге вы можете рассчитывать на выигрыш в сумме (1 x 1/2) + (2 x 1/4) + (4 x 1/8) … Этот бесконечный ряд расходится: его сумма равна бесконечности. Следовательно, независимо от того, какую сумму вы будете выплачивать мне перед каждой партией, проведя достаточно длинный матч, вы непременно окажетесь в выигрыше. Делая такое заключение, мы предполагаем, что мой капитал неограничен и мы можем проводить любое число партий. Разумеется, если вы заплатили за право сыграть одну партию, например 1000 долларов, то с весьма высокой вероятностью вы эту партию проиграете, но ожидание проигрыша с лихвой компенсируется шансом, хотя и небольшим, выиграть астрономическую сумму при выпадении длинной серии из одних лишь орлов. Если же мой капитал, как это имеет место в действительности, ограничен, то и разумная плата за право сыграть партию также должна иметь верхний предел. Петербургский парадокс возникает в любой азартной игре с удваивающимися ставками. Подробный анализ этого парадокса приводит ко всякого рода тонким вопросам обоснования теории вероятностей.

Поучительная история про математика, проигравшего велосипед

Это известная история, предостерегающая чересчур увлекаться числами. Была она на самом деле или нет, неизвестно, но в учебниках по теории вероятности этот пример приводят стабильно.

Однажды математик по профессии поспорил со случайным встречным: оппонент говорил, что следующие 100 человек, прошедшие мимо них, будут мужчинами, математик же утверждал, что этого не будет. Причем математик ставил на кон велосипед против всего 1 рубля своего оппонента.

Логика математика была очень проста: есть всего 1 шанс из около 1267 октиллионов (октиллион - единица с 27-ю нулями), то есть, по его мнению, он ничем не рисковал. Логика оппонента была тоже по-своему безупречна: рубль - невелика потеря, а вот возможность, пусть призрачная, выиграть велосипед, того стоит.

Спор решился не в пользу математика, потому что как раз в этот момент по их улице прошел батальон солдат. Так что не стоит забывать, что кроме вероятности и достоверности, есть еще обстоятельства, имеющие привычку образовываться в неподходящий момент.

Парадокс двух конвертов

Проводится лотерея. Предлагаются два конверта, в которых находятся две суммы денег, причём в одном из конвертов сумма отличается от суммы в другом конверте ровно в два раза. Никакие действия (измерительные и т.п.) совершать с конвертами нельзя. Можно лишь открыть один любой конверт и посчитать в нем деньги, после чего сделать выбор - взять этот конверт или взять другой конверт, чтобы получить бОльшую сумму. В каждом последующем розыгрыше в конвертах находятся другие суммы, например 1 и 2, 5 и 10, 100 и 200, 560 и 1120 и т. д. в разной последовательности.

Предположим, что мы увидели в одном из конвертов x рублей. Тогда в другом может быть 0,5x или 2x руб. Таким образом, считая, что в другом конверте равновероятно находится либо 0,5x, либо 2x, определяем средний выигрыш в случае, если мы возьмём другой конверт: (0,5x+2x)/2=1,25x рублей (соответственно, разумнее выбирать именно его, хотя мы и не знаем, больше там денег или меньше), что противоречит интуитивной симметрии задачи.

Кстати, об этом парадоксе учёные спорят до сих пор.

Advertisement