Паскаля распределение

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Паскаля распределение, отрица́тельное биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение дискретной случайной величины равной количеству произошедших неудач в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха $p$, проводимой до $r$-го успеха.

Определение

Пусть $\{ X_i \}_{i=1}^\infty$ — последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

$X_i = \left\{ \begin{matrix} 1, & p \\ 0, & q \equiv 1-p \end{matrix} \right.,\; i\in \mathbb{N}.$

Построим случайную величину $Y$ следующим образом. Пусть $k+r$ — номер $r$-го успеха в этой последовательности. Тогда $Y = k$. Более строго, положим $S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i$. Тогда

$Y = \inf\{n \mid S_n = r\} - r$.

Распределение случайной величины $Y$, определённой таким образом, называется отрицательным биномиальным. Пишут: $Y \sim \mathrm{NB}(r,p)$.

Функции вероятности и распределения

Функция вероятности случайной величины $Y$ имеет вид:

$\mathbb{P}(Y = k) = \binom{k+r-1}{k}\, p^r q^k,\; k=0,1,2,\ldots$.

Функция распределения $Y$ кусочно-постоянна, и её значения в целых точках может быть выражено через неполную бета-функцию:

$F_Y(k) = I_p( r, k+1 )$.

Моменты

Производящая функция моментов отрицательного биномиального распределения имеет вид:

$M_Y(t) = \left(\frac{p}{1 - q e^t}\right)^r$,

откуда

$\mathbb{E}[Y] = r \frac{q}{p}$,

$\mathrm{D}[Y] = r \frac{q}{p^2}$.