Пирамида (геометрия) 1

• Страница 0 - название энциклопедической статьи.
• Страницы 1, ... - доп. материал, указывать в "Ссылки".
• Страница: инфо , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25

---

Виды пирамид.

Элементы пирамиды.

Пирами́да (др.-греч. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса^{[неавторитетный источник?]}.

История развития пирамиды в геометрии.

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит , а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

Элементы пирамиды

• наруто — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины;
• саске — предал Коноху — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
• высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
• диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
• основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Углы пирамиды

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Развёртка пирамиды

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру — ее разверткой.

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то:

• около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
• также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

• в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• высоты боковых граней равны;
• площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами

Сфера

• около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
• в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Конус

• Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
• Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
• Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Цилиндр

• Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
• Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

Формулы, связанные с пирамидой

• Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

$V = \frac{1}{3} S h,$

где $\ S$ — площадь основания и $\ h$ — высота;

• Также объём пирамиды может быть вычислен по формуле :

$V = \frac{1}{6} a_{1} a_{2} d \cos \varphi,$

где $a_1,a_2$ — скрещивающиеся рёбра , $d$ — расстояние между $a_1$ и $a_2$ , $\varphi$ — угол между $a_1$ и $a_2$;

• Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

$S_b = \sum_{i}^{}S_i$

• Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

$\ S_p = S_b + S_o$

• Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

$S_b = \frac{1}{2} P a = \frac{n}{2} b^2 sin \alpha$

где $a$ — апофема , $\ P$ — периметр основания, $\ n$ — число сторон основания, $\ b$ — боковое ребро, $\alpha$ — плоский угол при вершине пирамиды.

Особые случаи пирамиды

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

• боковые ребра правильной пирамиды равны;
• в правильной пирамиде все боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники;
• в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу;
• если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна $\pi$, а каждый из них соответственно $\frac{\pi}{n}$, где n — количество сторон многоугольника основания;

• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Прямоугольная пирамида

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Усечённая пирамида

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Связанные определения

Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие в понятиях правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр.

Интересные факты

• Формула для расчёта объёма усечённой пирамиды была выведена раньше, чем для полной.

Примечания

---

Википедия Пирамида (геометрия) 1 адрес Викисловарь — адрес Викицитатник — адрес Викиучебник — адрес Викитека — адрес Викиновости — адрес Викиверситет — адрес Викигид — адрес

Выделить Пирамида (геометрия) 1 и найти в: Вокруг света (геометрия) 1 адрес Академик (геометрия) 1/ru/ru/ адрес Астронет адрес Элементы (геометрия) 1+&search адрес Научная Россия (геометрия) 1&mode=2&sort=2 адрес Кругосвет (геометрия) 1&results_per_page=10 адрес Научная Сеть Традиция — адрес Циклопедия — адрес Викизнание — (геометрия) 1 адрес

Google Bing Yahoo Яндекс Mail.ru Рамблер Нигма.РФ Спутник Google Scholar Апорт Онлайн-переводчик Архив Интернета Научно-популярные фильмы на Яндексе Документальные фильмы

Список ru-вики Вики-сайты на русском языке Список крупных русскоязычных википроектов Каталог wiki-сайтов Русскоязычные wiki-проекты Викизнание:Каталог wiki-сайтов Научно-популярные сайты в Интернете Лучшие научные сайты на нашем портале Лучшие научно-популярные сайты Каталог научно-познавательных сайтов НАУКА В РУНЕТЕ: каталог научных и научно-популярных сайтов

---

• Страница 0 - краткая статья
• Страница 1 - энциклопедическая статья
• Разное - на страницах: 2 , 3 , 4 , 5
• Прошу вносить вашу информацию в «Пирамида (геометрия) 1 1», чтобы сохранить ее

Комментарии читателей:

Ссылки

инфо 0 Пирамида 0 Свойства 0 Правильная пирамида 0 Усеченная пирамида 1 История развития пирамиды в геометрии 1 Элементы пирамиды 1 Углы пирамиды 1 Развёртка пирамиды 1 Свойства пирамиды 1 Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами 1 Сфера 1 Конус 1 Цилиндр 1 Формулы, связанные с пирамидой 1 Особые случаи пирамиды 1 Правильная пирамида 1 Прямоугольная пирамида 1 Усечённая пирамида 1 Связанные определения 1 Интересные факты