Виды пирамид.

Элементы пирамиды.

Пирами́да (др.-греч. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину[1]. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса[2][неавторитетный источник?].

История развития пирамиды в геометрии.[править | править код]

Заготовка раздела
Этот раздел не завершён.
Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит [3], а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

Элементы пирамиды[править | править код]

  • наруто — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины[4];
  • саске — предал Коноху — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
  • высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
  • диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
  • основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Углы пирамиды[править | править код]

Заготовка раздела
Этот раздел не завершён.
Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Развёртка пирамиды[править | править код]

Заготовка раздела
Этот раздел не завершён.
Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру — ее разверткой.

Свойства пирамиды[править | править код]

Если все боковые ребра равны, то:

  • около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
  • также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.


Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

  • в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • высоты боковых граней равны;
  • площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами[править | править код]

Сфера[править | править код]

  • около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие).[5] Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
  • в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Конус[править | править код]

  • Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);[6]
  • Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
  • Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Цилиндр[править | править код]

  • Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
  • Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

Формулы, связанные с пирамидой[править | править код]

  • Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:
где площадь основания и — высота;
  • Также объём пирамиды может быть вычислен по формуле [7]:
где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_{1}, a_{2}} — скрещивающиеся рёбра , — расстояние между и , — угол между и ;
  • Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:
  • Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:
  • Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:
где апофема , периметр основания, — число сторон основания, — боковое ребро, — плоский угол при вершине пирамиды.

Особые случаи пирамиды[править | править код]

Правильная пирамида[править | править код]

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

  • боковые ребра правильной пирамиды равны;
  • в правильной пирамиде все боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники;
  • в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу;
  • если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна , а каждый из них соответственно , где n — количество сторон многоугольника основания[8];
  • площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Прямоугольная пирамида[править | править код]

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Усечённая пирамида[править | править код]

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Связанные определения[править | править код]

Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие в понятиях правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр.

Интересные факты[править | править код]

  • Формула для расчёта объёма усечённой пирамиды была выведена раньше, чем для полной.

Примечания[править | править код]

  1. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений Изд. 2-е. Просвещение. 2003 г.. ISBN 5-09-010773-4. 
  2. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 1. Пособие для учителей. Под ред. Л.В. Сабинина. М., Просвещение, 1978. 320 с. С. 253.
  3. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. КомКнига. 2007 г.. ISBN 978-5-484-00848-3. 
  4. Апофема, БСЭ
  5. Изучение геометрии в 10-11-х классах. 
  6. Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. Просвещение. 2008 г.. ISBN 978-5-09-019708-3. 
  7. И. Кушнир Триумф школьной геометрии
  8. «Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу» Э. Готман. — научный журнал «Квант», 1998 г., 4 выпуск



  1. Википедия Пирамида (геометрия) 1 адрес
  2. Викисловарьадрес
  3. Викицитатникадрес
  4. Викиучебникадрес
  5. Викитекаадрес
  6. Викиновостиадрес
  7. Викиверситетадрес
  8. Викигидадрес

Выделить Пирамида (геометрия) 1 и найти в:

  1. Вокруг света (геометрия) 1 адрес
  2. Академик (геометрия) 1/ru/ru/ адрес
  3. Астронет адрес
  4. Элементы (геометрия) 1+&search адрес
  5. Научная Россия (геометрия) 1&mode=2&sort=2 адрес
  6. Кругосвет (геометрия) 1&results_per_page=10 адрес
  7. Научная Сеть
  8. Традицияадрес
  9. Циклопедияадрес
  10. Викизнание(геометрия) 1 адрес
  1. Google
  2. Bing
  3. Yahoo
  4. Яндекс
  5. Mail.ru
  6. Рамблер
  7. Нигма.РФ
  8. Спутник
  9. Google Scholar
  10. Апорт
  11. Онлайн-переводчик
  12. Архив Интернета
  13. Научно-популярные фильмы на Яндексе
  14. Документальные фильмы
  1. Список ru-вики
  2. Вики-сайты на русском языке
  3. Список крупных русскоязычных википроектов
  4. Каталог wiki-сайтов
  5. Русскоязычные wiki-проекты
  6. Викизнание:Каталог wiki-сайтов
  7. Научно-популярные сайты в Интернете
  8. Лучшие научные сайты на нашем портале
  9. Лучшие научно-популярные сайты
  10. Каталог научно-познавательных сайтов
  11. НАУКА В РУНЕТЕ: каталог научных и научно-популярных сайтов

  • Страница 0 - краткая статья
  • Страница 1 - энциклопедическая статья
  • Разное - на страницах: 2 , 3 , 4 , 5
  • Прошу вносить вашу информацию в «Пирамида (геометрия) 1 1», чтобы сохранить ее

Комментарии читателей:[править код]

Ссылки[править код]

  • инфо
  • 0 Пирамида
  • 0 Свойства
  • 0 Правильная пирамида
  • 0 Усеченная пирамида
  • 1 История развития пирамиды в геометрии
  • 1 Элементы пирамиды
  • 1 Углы пирамиды
  • 1 Развёртка пирамиды
  • 1 Свойства пирамиды
  • 1 Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами
    • 1 Сфера
    • 1 Конус
    • 1 Цилиндр
  • 1 Формулы, связанные с пирамидой
  • 1 Особые случаи пирамиды
    • 1 Правильная пирамида
    • 1 Прямоугольная пирамида
    • 1 Усечённая пирамида
  • 1 Связанные определения
  • 1 Интересные факты

См. также - Литература[править | править код]

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.