Пло́тное мно́жество — подмножество, точками которого можно приблизить любую точку объемлющего пространства.
Определения[]
- Пусть даны топологическое пространство и два подмножества Тогда множество называется плотным во множестве , если любая окрестность любой точки содержит хотя бы одну точку из , то есть
- Множество называется всюду плотным, если оно плотно в
Замечание[]
Приведённое выше определение плотности множества эквивалентно любому из нижеперечисленных:
- Множество плотно в тогда и только тогда, когда замыкание содержит , то есть В частности, всюду плотно, если .
- Множество плотно в тогда и только тогда, когда внутренность дополнения к не пересекается с , то есть . В частности, всюду плотно, если .
Примеры[]
- Любое множество плотно в себе.
- Множество рациональных чисел плотно в пространстве вещественных чисел .
См. также[]
- Нигде не плотное множество
- Сепарабельное пространство