Предисловие. По мнению Карла Пирсона, в математике нет другого такого раздела науки, в котором столь же легко допустить ошибку, как в теории вероятностей.": см.   http://www.vixri.ru/d/Sekej%20G.%20_Paradoksy%20v%20teorii%20verojatnostej_.pdf [1].  

Полиномиальное распределение традиционной интерпретации — известное с давних пор как распределение независимых случайных величин получено так называемым методом выбора c возвращением.

Полиномиальное распределение настоящей интерпретации — получено в этом столетии как распределение зависимых случайных величин (кроме первой) методом выбора без возвращения в процессе разделения множества различимых и неупорядоченных элементов на подмножества случайных объёмом, в сумме составляющих исходное множество и число подмножеств равно числу случайных величин распределения.

Биномиальное распределение традиционной интерпретации — известное с давних пор как распределение одной случайной величины и получено так называемым методом выбора без возвращения.

Биномиальное распределение новой интерпретации — получено в этом столетии как распределение двух случайных величин. Первая из них независимая, а вторая зависима от первой). Распределение получено методом выбора без возвращения в процессе разделения множества различимых и неупорядоченных элементов на два подмножества, в сумме составляющих исходное множество и число которых равно числу случайных величин распределения.

Излагается в рамках минимально необходимого набора параметров, под которым  для полиномиального распределения и каждой его случайной величины  понимается:  пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание  и дисперсия [2]. К дополнительным параметрам отнесены производящая и характеристическая функции [3], критерий.

Парадокс №1. Полиномиальное распределение не является распределением независимых случайных величин  [править | править код]

Если утверждается, что полиномиальное распределение традиционной интерпретации является совместным распределением независимых случайных величин и что каждая его случайная величина имеет биномиальное распределение традиционной интерпретации, то произведение вероятностей соответствующих случайных величин  биномиальных распределений 

обязано быть вероятностью полиномиального распределения

Однако полученный результат не соответствует формуле вероятностей полиномиального распределения

Следовательно, полиномиальное распределение  традиционной интерпретации не является распределением независимых случайных величин, что и требовалось доказать.

Парадокс №2. Каждая случайная величина полиномиального распределения не имеет биномиальное распределение[править | править код]

Этот парадокс доказывается аналогично парадоксу №1.

Если каждая случайная величина  полиномиального распределения  традиционной интерпретации имеет биномиальное распределение традиционной интерпретации

то произведение случайных величин биномиального распределения обязано быть полиномиальным распределением. Однако полученный результат перемножения 

не соответствует формуле вероятностей полиномиального распределения. Что и требовалось доказать.

Парадокс №3. Математическое ожидание полиномиального распределения не является произведений математических ожиданий биномиальных распределений  [править | править код]

Если утверждается, что полиномиальное распределение традиционной интерпретации является совместным распределением независимых случайных величин и что каждая его случайная величина имеет биномиальное распределение традиционной интерпретации с математическим ожиданием

то произведение математических ожиданий соответствующих случайных величин  биномиальных распределений, как произведение независимых случайных величин,  должно приводить к математическому ожиданию   полиномиального распределения традиционной интерпретации.

Однако при условии полученный результат

оказывается больше единицы, что противоречит  аксиоматике Колмогорова . Согласно второй её аксиоме  сумма всех вероятностей, включая и математическое ожидание распределения, должна быть равной единице. Что и требовалось доказать.

Более того,  при  безграничном возрастании числа испытаний полученный результат стремится к бесконечности.

Парадокс №4. Математическое ожидание каждой случайной величины полиномиального распределения не является математическим ожиданием соответствующего биномиального распределения[править | править код]

Доказывается аналогично доказательству парадокса №3. 

Если утверждается, что математическое ожидание каждой случайной величины полиномиального распределения является математическим ожиданием соответствующего биномиального распределения традиционной интерпретации, то произведение математических ожиданий соответствующих биномиальных распределений обязано привести к математическому ожиданию полиномиального распределения. Однако это произведение не является математическим ожиданием полиномиального распределения ни современной, ни традиционной  интерпретаций, поскольку при условии 

оно оказывается больше единицы

и противоречит второй аксиоме аксиоматики Колмогорова. Что и требовалось доказать.

Парадокс №5. Биномиальное распределение традиционной интерпретации не является частным случаем полиномиального распределения традиционной интерпретации[править | править код]

Если утверждается, что биномиальное распределение традиционной интерпретации  является частным случаем полиномиального распределения традиционной интерпретации 

при сокращении в нём числа случайных величин до двух, то сокращая  число случайных величин до двух  ,  получаем биномиальное распределение двух случайных величин

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n_1+n_2=n, \quad p_1+p_2=1, }

а не одной, каким принято считать биномиальное распределение традиционной интерпретации. Что и требовалось доказать.

Заключение[править | править код]

По числу парадоксов (как минимум 5, а с учётом парадоксов производящих, характеристических функций и - критерия  8) полиномиальному распределению нет равных. Главные причины возникновения парадоксов — ошибки в логике и в методе получения распределения. В частности, полиномиальное не потому что его формула содержит полиномиальные коэффициенты, а потому что оно первоначально было образовано из полинома (многочлена) и, причём, методом выбора с возвращением.

На самом деле полиномиальное распределение появляется в процессе разбиения множества различимых и неупорядоченных элементов на несколько подмножеств случайных объёмов, в сумме составляющих исходное множество и число подмножеств равно числу случайных величин распределения. Метод получения распределения— так называемый метод выбора без возвращения .

Главным распространителем парадоксов полиномиального распределения (мультиномиального распределения) и биномиального распределения   распределений является Википедия, которая нарушает заодно и свои же правила ВП МАРГ:  http://ru.wikipedia.org/wiki/Мультиномиальное распределение и http://ru.wikipedia.org/wiki/Биномиальное распределение ( в ней не представлено ни одного источника, не говоря об авторитетном).

Пришло время, когда биномиальное распределение и полиномиальное распределение описаны на единой методологической основе:

методом индукции от биномиального распределения  приходим к полиномиальному;

методом дедукции от полиномиального распределения приходим к биномиальному.

Если и найдётся  человек-чудак, который всерьёз будет утверждать, что << полиномиальное распределение — это распределение независимых  случайных величин >>,  поприветствуем его как человека из прошлого века.

 Литература[править | править код]

  1. Секей Габор. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. Будапешт, 1988. 215 С. Цитата на С.10)
  2. Голоборщенко В. С. Парадоксы в современной теории вероятностей. Часть 1: Ложность принятых постулатов и парадигм. // Проблемы создания информационных технологий. Сборник научных трудов МАИТ. М.: ООО Техполиграфцентр, 2006. Вып. 14, C. 9-15.
  3. Голоборщенко В. С. Производящие и характеристические функции полиномиального и биномиального распределений как парадоксы в современной теории вероятностей Сборник научных трудов МАИТ // Минск, 2008. Вып.17, C. 5-11.



См. также[править | править код]

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.