Традиционная интерпретация 20-го века[править | править код]

Полиномиа́льное распределе́ние' в теории вероятностей — это обобщение биномиального распределения одной случайной величины на случай независимых испытаний случайного эксперимента с несколькими возможными исходами (Полиномиальное распределение Буняковского).

Определение[править | править код]

Пусть - независимые одинаково распределённые случайные величины, такие, что их распределение задаётся функцией вероятности:

.

Интуитивно событие означает, что испытание с номером привело к исходу . Пусть случайная величина равна количеству испытаний, приведших к исходу :

.

Тогда распределение вектора имеет функцию вероятности

,

где

полиномиальный коэффициент.

Вектор средних и матрица ковариации[править | править код]

Математическое ожидание случайной величины имеет вид: . Диагональные элементы матрицы ковариации являются дисперсиями биномиальных случайных величин, а следовательно

.

Для остальных элементов имеем

.

Ранг матрицы ковариации полиномиального распределения равен .

Постулаты и их ложность[править | править код]

Традиционная интерпретация 20-го века полиномиального распределения  

основана на трёх ложных постулатах[1]

1. Характеристики случайных величин полиномиального распределения определены при повторных независимых экспериментах, то есть методом выбора с возвращением;

2.  Каждая из случайных величин , полиномиального распределения имеет биномиальное распределение c математическим ожиданием и дисперсий , где ;

3. Биномиальное распределение является распределением одной случайной величины ,  :

.

Ложность постулатов доказывается тремя теоремами [2], [3].

Теорема 1. Случайные величины (кроме первой, в общем случае ) мультиномиального распределения не являются независимыми и не имеют независимые математические ожидания .

Доказательство. Если бы каждая из случайных величин мультиномиального распределения имела независимое математическое ожидание, равное , то произведение математических ожиданий случайных величин обязано было быть математическим ожиданием мультиномиального распределения

Тогда при неограниченном возрастании числа независимых экспериментов математическое ожидание мультиномиального распределения устремилось бы к бесконечности, что недопустимо, поскольку сумма всех вероятностей распределения, включая и его математическое ожидание, согласно аксиоматике Колмогорова, обязана быть равной единице. 

Теорема доказана.

Теорема 2. Каждая из случайных величин мультиномиального распределения не имеет биномиальное распределение .

Доказательство. Если бы случайные величины и их характеристики были независимыми, и каждая из этих величин имела бы биномиальное распределение

, то по правилу перемножения независимых вероятностей их произведение

должно было быть вероятностью полиномиального распределения. Однако полученный результат не соответствует формуле полиномиального распределения. Теорема доказана.

Теорема 3. Биномиальное распределение есть распределение двух случайных величин.

Доказательство. Если утверждается, что полиномиальное распределение естественным образом обобщает биномиальное распределение и совпадает с последним при числе случайных величин и/или экспериментов, равных двум ( и/или ), то, с учетом этих условий из формулы полиномиального распределения обязаны получить биномиальное распределение двух независимых случайных величин (Биномиальное распределение Буняковского):

Теорема доказана.

По аналогии с разложением бинома и получением биномиального распределения двух случайных величин, представленного выше, В.Я. Буняковский [4] в 1846 году определил мультиномиальное (полиномиальное) распределение независимых случайных величин (в те времена зависимые случайные величины ещё не были известными)

На с.19 В.Я. Буняковский написал: "Так как вся эта теория основана на весьма простом разложении степени многочленного количества, то мы считаем излишним входить в дальнейшие подробности по этому вопросу."

Литература[править | править код]

  1. Прохоров А. В. Полиномиальное распределение // Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия. М.: Большая Российская энциклопедия, 1999, с. 470-471. ISBN 5 85 2702 65 X
  2. Голоборщенко В. С. Парадоксы в современной теории вероятностей. Часть 1: Ложность принятых постулатов и парадигм. // Проблемы создания информационных технологий. Сборник научных трудов МАИТ. М.: ООО Техполиграфцентр, 2006. Вып. 14,  С. 9-15.
  3. Голоборщенко В. С. Производящие и характеристические функции полиномиального и биномиального распределений как парадоксы в современной теории вероятностей // Проблемы создания информационных технологий. Сборник научных трудов МАИТ. М.: МАИТ, 2008. Вып. 17, С. 5-11.
  4. Буняковский В. Я. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ сочинение В. Я. БУНЯКОВСКОГО, ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, ОРДИНАРНОГО АКАДЕМИКА, ПРОФЕССОРА С. ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, ДОКТОРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК ПАРИЖСКОЙ АКАДЕМИИ. САНКТПЕТЕРБУРГ. В Типографии Императорской Академии Наук. 1846. 477 с.


Связь с другими распределениями[править | править код]

Если число случайных величин сократить до двух, то будет Биномиальное распределение Буняковского

См.также[править | править код]

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.