Полиномиальное распределение независимых случайных величин

Традиционная интерпретация 20-го века

Полиномиа́льное распределе́ние' в теории вероятностей — это обобщение биномиального распределения одной случайной величины на случай независимых испытаний случайного эксперимента с несколькими возможными исходами.

Определение

Пусть $X_1,\ldots ,X_n$ - независимые одинаково распределённые случайные величины, такие, что их распределение задаётся функцией вероятности:

$\mathbb{P}(X_i = j) = p_j,\; j=1,\ldots, k$.

Интуитивно событие $\{X_i = j\}$ означает, что испытание с номером $i$ привело к исходу $j$. Пусть случайная величина $Y_j$ равна количеству испытаний, приведших к исходу $j$:

$Y_j = \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i = j\}},\; j = 1,\ldots, k$.

Тогда распределение вектора $\mathbf{Y} = (Y_1,\ldots,Y_k)^{\top}$ имеет функцию вероятности

$p_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y}) = \left\{ \begin{matrix} {n \choose {y_1 \ldots y_k}} p_1^{y_1}\ldots p_k^{y_k}, & \sum\limits_{j=1}^k y_i = n \\ 0, & \sum\limits_{j=1}^k y_i \not= n \end{matrix} \right., \quad \mathbf{y} = (y_1,\ldots, y_k)^{\top} \in \mathbb{N}^k_0$,

где

${n \choose {y_1 \ldots y_k}} \equiv \frac{n!}{y_1! \ldots y_k!}$ — полиномиальный коэффициент.

Вектор средних и матрица ковариации

Математическое ожидание случайной величины $Y_j$имеет вид: $\mathbb{E}[Y_j] = np_j$. Диагональные элементы матрицы ковариации $\Sigma = (\sigma_{ij})$ являются дисперсиями биномиальных случайных величин, а следовательно

$\sigma_{jj}=\mathrm{D}[Y_j] = np_j(1-p_j),\; j =1,\ldots, k$.

Для остальных элементов имеем

$\sigma_{ij} = \mathrm{cov}(Y_i,Y_j) = -np_ip_j,\; i \not= j$.

Ранг матрицы ковариации полиномиального распределения равен $k - 1$.