Равномерное распределение [ ]
Cлучайная величина
ξ
{\displaystyle \xi}
имеет равномерное распределение на отрезке
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
(
a
<
b
)
{\displaystyle (a < b)}
, если
f
(
x
)
=
{
1
b
−
a
,
x
∈
[
a
,
b
]
,
0
,
x
∉
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle
f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{b-a}, & x \in [a, b], \\ 0, & x \notin [a, b] \end{matrix} \right..
}
Характеристическая функция [ ]
φ
(
t
)
=
(
e
i
t
b
−
e
i
t
a
)
/
(
b
−
a
)
i
t
.
{\displaystyle
\varphi (t) = (e^{itb}-e^{ita})/(b-a)it.
}
Свойства [ ]
E
ξ
k
=
b
k
+
1
−
a
k
+
1
(
b
−
a
)
(
k
+
1
)
;
{\displaystyle
\mathbf{E}\xi ^k=\frac{b^{k+1}-a^{k+1}}{(b-a)(k+1)};
}
D
ξ
=
(
b
−
a
)
2
12
;
{\displaystyle
\mathbf{D}\xi=\frac{(b-a)^2}{12};
}
γ
1
=
0
;
{\displaystyle
\gamma _1=0;
}
γ
2
=
9
/
5.
{\displaystyle
\gamma _2=9/5.
}
Значение [ ]
С помощью линейного преобразования
η
=
(
ξ
−
a
)
(
b
−
a
)
{\displaystyle \eta = \frac{(\xi -a)}{(b-a)}}
приводится к равномерному распределению на отрезке
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
. Равномерное распределение является непрерывным аналогом распределений классической теории вероятностей, описывающих случайные эксперименты с равновероятными исходами.
Погрешность, происходящая от округления числа, удовлетворительно описывается равномерным распределением на отрезке
[
−
1
/
2
,
1
/
2
]
{\displaystyle [-1/2, 1/2]}
.
Если случайная величина
ζ
{\displaystyle \zeta}
имеет непрерывную функцию распределения
F
ζ
(
x
)
{\displaystyle F_{\zeta }(x)}
, то случайная величина
ξ
=
F
ζ
(
ζ
)
{\displaystyle \xi = F_{\zeta }(\zeta)}
имеет равномерное распределение на отрезке
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
. Этим объясняется широкое использование равномерного распределения в статистическом моделировании (методы Монте-Карло).
Треугольное распределение (распределение Симпсона) [ ]
Cлучайная величина
ξ
{\displaystyle \xi}
имеет треугольное распределение (распределение Симпсона) на отрезке
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
(
a
<
b
)
{\displaystyle (a < b)}
, если
f
(
x
)
=
{
2
b
−
a
−
2
(
b
−
a
)
2
|
a
+
b
−
2
x
|
,
x
∈
[
a
,
b
]
,
0
,
x
∉
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle
f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{2}{b-a}-\frac{2}{(b-a)^2}|a+b-2x|, & x \in [a, b], \\ 0, & x \notin [a, b] \end{matrix} \right..
}
Характеристическая функция [ ]
φ
(
t
)
=
[
2
(
e
i
t
b
/
2
−
e
i
t
a
/
2
)
(
b
−
a
)
i
t
]
2
.
{\displaystyle
\varphi (t) = \left[ \frac{2(e^{itb/2}-e^{ita/2})}{(b-a)it} \right] ^2.
}
Свойства [ ]
E
ξ
k
=
4
(
b
−
a
)
2
(
k
+
1
)
(
k
+
2
)
[
a
k
+
2
+
b
k
+
2
−
2
(
a
+
b
2
)
k
+
2
]
;
{\displaystyle
\mathbf{E}\xi ^k=\frac{4}{(b-a)^2(k+1)(k+2)} \left[ a^{k+2}+b^{k+2}-2 \left( \frac{a+b}{2} \right) ^{k+2} \right];
}
D
ξ
=
(
b
−
a
)
2
24
;
{\displaystyle
\mathbf{D}\xi=\frac{(b-a)^2}{24};
}
γ
1
=
0
;
{\displaystyle
\gamma _1=0;
}
γ
2
=
−
3
/
5.
{\displaystyle
\gamma _2=-3/5.
}
Значение [ ]
Если
ξ
1
{\displaystyle \xi _1}
и
ξ
2
{\displaystyle \xi _2}
- независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке
[
a
/
2
,
b
/
2
]
{\displaystyle [a/2, b/2]}
, то случайная величина
ξ
=
ξ
1
+
ξ
2
{\displaystyle \xi = \xi _1 + \xi _2}
имеет треугольное распределение.
См.также [ ]