Ранжирования договоров долгосрочного страхования жизни

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Cистема договоров СЖ представляет собой сложную систему, а сами контракты - её элементы. Сложная система - совокупность большого числа элементов, обладающая сложной структурой зависимостей между ними. Поведение всей системы определяется поведением каждого её элемента. Любой страховой договор может быть представим в виде множества людей, с которыми данный договор был заключён. Очевидно, что любой страховой контракт может характеризоваться показателями финансового и социального положения людей, заключивших его.

И.В. Барановой был предложен метод двудольных множеств событий, позволяющий решать различные задачи системного анализа сложных систем, поведение которых описывается числовым и множественными данными. Основная идея метода заключается в представлении любой сложной системы с помощью двудольной эвентологической модели, в которой каждый элемент системы характеризуется двудольным множеством событий: его первая доля определяется случайными величинами, а вторая - случайными множествами событий. А затем анализ поведения элементов системы сводится к анализу эвентологических распределений соответствующих им двудольных множеств событий. Сравнение эвентологических распределений двудольных множеств событий предлагается осуществлять с помощью вероятности сет–операции симметрической разности по Минковскому двудольных множеств событий.

Страхование жизни – один из самых распространённых видов страхования. Во многих развитых странах СЖ является сложной финансовой и социальной услугой, заключающейся в обеспечении материального благополучия страхователя в будущем. Смешанное СЖ – страхование с накопительной составляющей, которая выплачивается после окончания срока договора (состоит из срочного СЖ и страхования на дожитие). Также в долгосрочный договор СЖ заложена возможность досрочного расторжения. Страхователи расторгают договора страхования в зависимости от различных обстоятельств. Ипотечное СЖ – страхование жизни, трудоспособности и риска утраты права собственности на жильё. Как правило, такой договор заключается на весь срок ипотеки, разрыв его практически невозможен.

Страховые обязательства компании с клиентом строятся на принципах платёжеспособности, долгосрочности, стабильности и оформляются договором. Значит, перед страховой компанией стоит задача: проранжировать всё предлагаемые виды страхования по указанным признакам, т.е. определить какие из них лучше, а какие хуже отвечают данным признакам.

Договор является наилучшим с точки зрения его срока, разрыва и стоимости, все другие приближены к нему. Каждый договор предлагается описывать с помощью показателей финансового состояния и социального положения людей, заключивших его. Причем одна часть данных показателей является числовыми, а вторая - множественными. Поэтому систему договоров можно представить с помощью двудольной эвентологической модели, в которой поведение каждого договора описывается с помощью двудольного множества событий, первая доля которого определяется числовыми, а вторая - множественными показателями.

Решение задачи ранжирования страховых договоров с помощью метода двудольных множеств событий будет заключаться в следующем: будет находиться расстояние между каждым страховым договором и идеальным <<наилучшим>> с помощью нахождения вероятностей сет-операции симметрической разности по Минковскому между эвентологическими распределениями соответствующих им двудольных множеств событий, а ранжирование будет производиться на основе полученных значений расстояний.

Двудольное множество случайных событий

Определениее Множество случайных элементов $\{\mathbf{\xi,K}\}$, представимое в виде объединения двух этих долей, будем называть двудольным множеством случайных элементов. Двудольное множество случайных элементов представимо в следующем виде: $\{\mathbf{\xi,K}\}=\mathbf{\xi}\cup\mathbf{K}=\{\xi_a,a\in{A}, K_\beta,\beta\in{B}\}$.

И.В.Барановой было предложено двудольному множеству случайных элементов $\{\xi,\mathbf{K}\}$ поставить в соответствие двудольное множество случайных событий: $\{\xi,\mathbf{K}\}\Rightarrow\{\mathcal{Y},\mathfrak{X}\}$.

Определение Двудольное множество случайных событий представляет собой объединение двух множеств - множества событий, которое определяется случайными величинами, и множества событий, которое определяется случайными множествами событий: $\{\mathcal{Y},\mathfrak{X}\}=\{\mathcal{Y}_a,\mathfrak{X}_\beta, a\in A,\beta\in B\}$.

Эвентологический системный анализ задачи ранжирования для страховых договоров

Система страховых договоров представляет собой сложную систему, элементами которых являются сами договора. Представим данную систему в виде двудольной эвентологической модели, в которой каждому договору страхования ставится в соответствие двудольное множество событий, которое порождается показателями финансового и социального положения людей: $s^1=\{\mathcal{Y}^1,\mathfrak{X}^1\},...,s^n=\{\mathcal{Y}^n,\mathfrak{X}^n\}$ Введём понятие <<наилучшего>> страхового договора как наилучшие значения для каждого показателя финансового и социального положения клиентов: $s^{+}=\{\mathcal{Y}^{+}, \mathfrak{X}^{+}\}$

Определение Произвольной сет–операцией по Минковскому над двумя двудольными множествами событий $s^i$ и $s^j$ называется теоретико -множественная операция, которая представляется как множество событий, полученных с помощью операций по Минковскому над соответствующими событиями из каждой доли.

Задача нахождения наилучшего элемента системы

Наилучшим элементом системы будет элемент $i$, у которого Э-распределение двудольного множества событий $s^i$ наиболее близко к Э-распределению двудольного множества событий идеального <<наилучшего>> элемента $s^+$: $\mathbf{P}(s^+(\Delta)s^{i_*})= (1) \min_{i=1,...,n}\mathbf{P}(s^+(\Delta)s^{i})$, где (2) $\mathbf{P}(s^+(\Delta)s^i)=\frac{1}{|A|}\sum_{a\in A}\frac{1}{\mathcal{Y}_a}\sum_{r_a\in\mathcal{R}_a}\mathbf{P}(\mathcal{Y}_a^+(r_a)(\Delta)\mathcal{Y}_a^i(r_a)) +\frac{1}{B}\sum_{\beta\in B}\frac{1}{\mathfrak{X}}\sum_{X_\beta\subseteq\mathfrak{X}_\beta}\mathbf{P}(X_\beta^+\Delta X_\beta^i).$

Решение задачи ранжирования страховых договоров с помощью метода двудольных множеств событий будет заключаться в следующем: будет находится расстояние между каждым страховым договором и идеальным «наилучшим» с помощью нахождения вероятности сет-операции симметрической разности по Минковскому между соответствующими им Э-распределениями двудольных множеств случайных событий по вышеприведённой формуле (2).

В статистике представлены 2 страховые компании, у каждой страховой компании взято по 2 вида договоров страхования. Ранжирование осуществляется по 5 показателям, имеющимся в статистике:

1. Пол застрахованных
2. Возраст застрахованных
3. Стаж работы
4. Количество иждивенцев
5. Наличие собственности

Причём, первые 4 показателя являются числовыми, а последний - множественным.

Используя формулу (2) найдены расстояния каждого страхового договора идеального. Полученные расстояния для всех страховых договоров позволяют ранжировать – определить, на каком месте по степени доходности и рентабельности находится каждый страховой договор. В таблице приведены полученные вероятности сет-операции по Минковскому:

Вид договора	Расстояние до "наилучшего"	Место
1	2,24454	3
2	0,26603	4
3	0,21864	2
4	0,20925	1

Используя формулу (1), из таблицы видно, что самым доходным и рентабельным для страховой компании является третий страховой договор, т.к. он наиболее приближен к идеальному. Второй договор находится на большем расстоянии от идеального, следовательно, он наименее оптимален для компании. Стоит отметить, что второй договор - это договор ипотечного страхования.