Введение[править | править код]

Функция плотности распределения

Распределение, закон Максвелла-Больцмана — распределение молекул газа по координатам и скоростям при наличии произвольного потенциального силового поля; открыто Л. Больцманом в 1871.

Вывод из распределения Гиббса[править | править код]

Рассмотрим систему частиц, находящуюся в однородном поле. В таком поле каждая молекула идеального газа обладает полной энергией

ε = εkin + u(x,y,z) ,

где εkin — кинетическая энергия её поступательного движения, u — потенциальная энергия во внешнем поле, которая зависит от её положения.

Подставим это выражение для энергии в распределение Гиббса для молекулы идеального газа:

где dw — вероятность того, что частица находится в состоянии со значениями координат q и импульсов p, в интервале dpx dpy dpz dV. Имеем:

,

где интеграл состояний равен:

интегрирование ведется по всем возможным значениям переменных. Далее интеграл состояний можно написать в виде:

,

мы находим, что нормированное на единицу распределение Гиббса для молекулы газа при наличии внешнего поля имеет вид:

.

Полученное распределение, характеризующее вероятность того, что молекула имеет данный импульс и находится в данном элементе объема, называется распределением Максвелла-Больцмана.

Некоторые свойства[править | править код]

При рассмотрении распределения Максвелла-Больцмана бросается в глаза важное свойство - его можно представить как произведение двух множителей:

.

Первый множитель есть не что иное, как распределение Максвелла. Оно характеризует распределение вероятностей по импульсам. Второй множитель зависит только лишь от координат частиц и определяется видом её потенциальной энергии. Он характеризует вероятность обнаружения частицы в объеме dV.

Распределение Максвелла и распределение Больцмана[править | править код]

Согласно теории вероятности, распределение Максвелла-Больцмана можно рассматривать как произведение вероятностей двух независимых событий — данного значения импульса и данного положения молекулы.

Распределение Максвелла[править | править код]

Первая из них:

представляет распределение Максвелла по импульсам.

Распределение Больцмана[править | править код]

Вторая вероятность:

распределение Больцмана по положенниям.

Независимость этих двух событий даёт важный результат: данное значение импульса совершенно не зависит от данного положения молекулы и, наоборот, положение молекулы не зависит от её импульса. Это значит, что распределение частиц по импульсам (скоростям) не зависит от поля, другими словами, остается тем же самым от точки к точке пространства, в котором заключен газ. Меняется лишь вероятность обнаружения частицы или, что тоже самое, число частиц.

Страница: 0

en: [1]

de: [2]

Примечания[править | править код]

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Литература[править | править код]

Для статьи[править | править код]

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.