Семья (нормальная модель развития)

Введение

Семья - первичная социально-экономическая ячейка общества. Функции ее многообразны. Это прежде всего воспроизводство населения, воспитание и социализация детей, организация быта и досуга членов семьи, попечение престарелых. Характер и формы их осуществления непосредственно зависят от демографического состава и социально-экономичекого статуса семьи, которые постоянно изменяются как в процессе жизнедеятельности семьи, так и под влиянием социально-экономических условий развития общества.

Исходные предпосылки и определения

Исследование зависимостей между полом, возрастом и брачным состоянием индивидов и демографическим типом семей позволило представить основные направления развития простой семьи от момента ее возникновения - образования молодой брачной пары - до того периода, когда в семье остается только один (вдовый или разведенный) из престарелых супругов.

Эти даные позволяют сформулировать общую схему развития группы одновременно вступивших в брак молодых супружеских пар. Назовем ее "нормальной" моделью развития семьи.

Пусть для совокупности одновременно вступивших в первый брак молодых супружеских пар выполняются следующие условия:

1. Брачные пары однородны по возрасту супругов, или различия в возрастах супругов таковы, что не оказывают влияния на интенсивность и продолжительность периода брачной плодовитости.
2. Каждая брачная пара имеет хотя бы одно рождение, и из анализа исключаются все случаи детской смертности, то есть рассматриваются только семьи, где дети дожили до совершеннолетия и выделились из семьи родителей.
3. Все взрослые дети выделяются из семьи родителей, образуя самостоятельные семьи, или становятся одиночками, то есть отсутствует процесс образования сложных семей, члены которых связаны прямым родством.
4. Каждая супружеская пара родителей сохраняется до момента выделения из семьи всех взрослых детей.
5. Отсутствует процесс образования сложных семей с прочими родственниками, то есть семья, состоящая из родителей и их детей, не изменяется в результате присоединения членов семьи, не связанных с ней прямым родством.

Эти ограничения, наолженные на процесс формирования структуры молодой семьи, образованной вступившей в брак супружеской парой, позволяют выделить следующие четыре периода ее развития:

I – период плодовитости или "роста" семьи – от момента образования брачной пары до момента последнего рождения;

II – период "стабильности" с – от момента последнего рождения до момента выделения первого ребенка из семьи родителей;

III – период "зрелости", в течении которого все дети выделяются из семьи родителей;

IV – период "затухания" – от момента выделения из семьи родителей последнего ребенка до момента смерти обоих супругов (последнего из них).

В первом и последнем периодах следует выделить два подпериода: в первом - до и после рождения первого ребенка, а в последнем - до и после смерти первого из супругов. Очевидно, что образ жизни молодой бездетной супружеской пары без детей отличается от образа жизни супружеской пары с детьми, так и значительные различия имеются в образе жизни вдовой(ого) одиночки и полной супружеской пары.

Для формализации предложенной схемы развития семьи введем следующие обозначения:

$\nu \quad (\nu=1, \ldots, k)$ - полное число рождений, имевших место в случайно выбранной семье в течение всего периода плодовитости супружеской пары;

$k$ - максимальное число рождений;

$\omega_i^\rho \quad (i=1, \ldots, k)$ - возраст семьи (длительность брака) в момент $i$-го рождения;

$\tau_1$ - интервал между вступлением в брак и моментом рождения первого ребенка (протогенетический интервал);

$\tau_i \quad (i=2, \ldots, k)$ - интервал между $(i-1)$-ым и $i$-ым рождениями (интергенетические интервалы);

$\omega_{l_i}^s \quad (i=1, \ldots, k)$ - возраст семьи в момент выделения из семьи $i$-го по очередности рождения ребенка (нижний индекс $l_i$ указывает на то, что очередность выделения ребенка из семьи не обязательно соответствует очередности его рождения);

Кроме того, будем пользоваться следующими шифрами демографических типов семей:

$01 (01^\mu)$ - семьи одиночки;

$02 (02^s)$ - семьи, состоящие из супружеской пары без детей;

$03 (03_i^s)$ - семьи, состоящие из супружеской пары с $i$ детьми.

Верхний индекс $\mu$ означает, что семья изменила свой тип в результате смерти одного из супругов.

Верхний индекс $s$ означает, что рассматриваемая супружеская пара уже вышла из периода плодовитости.

Итак, в некоторый момент времени $T_0$ образуется группа однородных по возрасту и находящихся в фертильном возрасте брачных пар. Момент $T_0$ является началом отсчета длительности брака, которым измеряется возраст семьи.

В произвольно выбранной семье в случайные моменты времени $\omega_1^\rho, \ldots, \omega_\nu^\rho$, осуществляется $\nu$ рождений, и $\omega_\nu^\rho$ - это возраст семьи в момент последнего рождения или длина репродуктивного периода.

В соответствии с поставленными условиями, исключающими случаи детской смертности или распада супружеской пары в то время, когда в семье присутствуют их дети, следующим событием является первое выделение из семьи родителей одного (необязательно старшего) из детей, вступающего в брак или образующего самостоятельную семью-одиночку. Длина периода "стабильности" равна $(\omega_{l_1}^s-\omega_\nu^\rho)$, где $\omega_{l_1}^s$ - момент выделения из семьи первого из взрослых детей. Очевидно, при растянутом периоде брачной плодовитости возможны случаи, когда старшие дети вступают в брак раньше, чем рождаются их самые младшие братья и сестры. Однако при современных тенденциях рождаемости, особенно в условиях города, эти случаи маловероятны, и мы исключаем их из рассмотрения.

Третий период в жизни семьи, период "зрелости", включает весь интервал времени, в течение которого все взрослые дети выделяются из семьи своих родителей, образуя самостоятельные семьи, его длина равна $(\omega_{l_\nu}^s-\omega_{l_1}^s)$, где $\omega_{l_1}^s$ и $\omega_{l_\nu}^s$ - моменты первого и последнего выделения детей.

Наконец, четвертый период, период "затухания", представляет собой два существенно разных подпериода - IVа и IVб. Первый из них это период жизни старой супружеской пары типа $02^s$, из семьи которой выделились все взрослые дети. Его длина равна $(\omega_1^\mu-\omega_{l_\nu}^s)$, где $\omega_1^\mu$ и $\omega_{l_\nu}^s$ определены выше. Второй подпериод, обозначенный IVб, это период жизни вдового супруга, чаще всего вдовой женщины (тип $01^\mu$). Его длина равна $(\omega_2^\mu-\omega_1^\mu)$, то есть длине интервала между моментами смерти супругов. Очевидно, что длина подпериода IVб существенно зависит от соотношения возрастов супругов.

Период "роста" семьи. Количественный анализ

Пусть для первого периода развития семьи, периода "роста", известна следующая информация:

$\{p_\nu\}, \quad \nu=0, \ldots, k, \quad 0\leq p \leq1, \quad \sum_{\nu=1}^k p_\nu=1$ - распределение всех принадлежащих исходной группе супружеских пар по числу рождений $\nu$, где $k$ - максимальное число рождений в семье;

$\overline{W}$ - предельная длительность репродуктивного периода, то есть $\overline{W}$ - длительность брака, при которой наблюдаются последние рождения в исходной группе супружеских пар;

$f^\nu(x_1, \ldots, x_\nu)$ - условная плостность совместного распределения моментов всех рождений $(\omega_1^\rho, \ldots, \omega_\nu^\rho)$ при фиксированном $\nu, \quad \nu=1, \ldots, k$, определенная на множестве значений $(0\leq x_1 \leq \overline{W}, \ldots, 0\leq x_\nu \leq \overline{W})$, причем $f^\nu(x_1, \ldots, x_\nu)=0$ для тех значений $(x_1, \ldots, x_\nu)$, для которых $x_{i_1}\geq x_{i_2}$ хотя бы для одной пары индексов $i_1<i_2$.

Рассмотрим два вопроса, первый из которых относится к формированию числа членов семьи, а второй - к формированию численности и возрастного состава поколения детей.

Формирование числа членов семьи

Если развитие семьи подчиняется ограничениям "нормальной" модели, то в течение репродуктивного периода демографический тип семьи может принимать значения только из множества $02, 03_1, 03_2, \ldots, 03_k$. Длина репродуктивного периода для произвольно выбранной семьи - это случайная величина $\omega_\nu^\rho, \quad 0\leq \omega_\nu^\rho \leq \overline{W}$, где $\omega_\nu^\rho$ - момент последнего рождения.

Рассмотрим распределние семей по числу рождений при любом фиксированном значении длительности брака $0\leq W \leq \overline{W}$.

Введем следующие обозначения: $\{\pi_j(W)\}; \quad 0\leq \pi_j^\nu(W)\leq 1; \quad \nu=1, \ldots, k;$ $j=0, 1, \ldots, \gamma; \qquad \sum_{j=0}^\gamma \pi_j(W)=1$

- распределние супружеских пар, конечное число рождений у которых равно $\nu, \quad \nu=1, \ldots, k$, по числу рождений $j$, осуществившихся к длительности брака $W$; $\{\pi_j(W)\}; \quad j=0, 1, \ldots, k; \quad \quad 0\leq \pi_j(W)\leq 1; \quad \sum_{j=0}^k \pi_j(W)=1$

- распределение всех супружеских пар по числу рождений $j$, осуществившихся к длительности брака $W, \quad 0\leq W \leq \overline{W}$;

$m(W)$ - среднее число рождений, осуществившихся к моменту $W$.

Итак, $\pi_j^\nu(W)$ - вероятность того, что в семье, принадлежащей подмножеству семей с фиксированным числом всех рождений $\nu$, первые $j$ рождений произойдут до момента $W$, а $(j+1, \ldots, \nu)$ рождения - после него.

Эта вероятность может быть выражена через плотность совместного распределения моментов всех рождений $f^\nu(x_1, \ldots, x_\nu)$, которая предполагается известной: $\pi_j^\nu(W)=P\{\omega_1^\rho \leq W, \ldots, \omega_j^\rho \leq W,\ \omega_{j+1}^\rho > W, \ldots, \omega_\nu^\rho > W / \gamma\} =$

$= \int_0^W \ \ldots \ \int_0^W dx_1 \ldots dx_j \ \int_W^{\overline{W}}\ \ldots \ \int_W^{\overline{W}}f^\nu(x_1, \ldots, x_\gamma)dx_{j+1} \ldots dx_\gamma, \quad j=0,1,\ldots, \gamma. \quad (1)$

Очевидно, то вероятность того, что в семье, общее число рождений в которой равно $\nu$, к моменту $W$ не осуществится ни одного рождения, то есть $j = 0$, равно:

$\pi_0^\nu(W)=P\{\omega_1^\rho > W / \nu\} = \int_W^{\overline{W}}\ldots\int_W^{\overline{W}} f^\nu(x_1, \ldots, x_\nu)dx_1 \ldots dx_\nu, \quad \nu=1, \ldots, k.$

Зная распределение семей с фиксированным числом всех рождлений $\nu$ по числу рождений $j$, осуществившихся к моменту $W$, можно определить распределение всех семей по числу рождений при этой длительности брака:

$\pi_j(W)=\sum_{\nu=1}^k p_\nu \pi_j^\nu (W), \quad j=0,\ldots,k, \quad (2)$

где $p_\nu$ - вероятность того, что произвольно выбранная семья имеет полное число рождений $\nu, \quad \nu=1,...,k$.

Заметим, что $\pi_j^\nu(\overline{W})= 0, \quad j<\nu;$

$\pi_j^\nu(\overline{W})= 1, \quad j=\nu,$

так что $\pi_j^\nu(\overline{W})=p_\nu=p_j$.

При определении схемы развития семьи предполагалось, что каждая супружеская пара имеет хотя бы одно рождение. Однако если известна доля $p_{0}$, то от $\{\pi_j (W)\}, j=0,\ldots,k$ - распределения по числу детей при фиксированной длительности брака супружеских пар, имеющих по крайней мере одно рождение в течение периода плодовитости, легко перейти к $\{\overline{\pi}_j (W)\}$ - распределению всех супружеских пар по числу рождений (детей) в момент $W$:

$\overline{\pi}_0 (W) = \frac{\pi_0 (W) + p_0}{1+p_0}$

$\overline{\pi}_j (W) = \frac{\pi_j (W)}{1+p_0}, \quad j=1, \ldots, k.$

Из формул $(1)$ и $(2)$ следует, что среднее число $m^\nu (W)$ рождений при длительности брака $W, \ 0\leq W \leq \overline{W}$ в семьях с фиксированным $\nu, \ \nu=1, \ldots, k$, есть

$m^\nu(W)=\sum_{j=1}^\nu j \pi_j^\nu(W); \quad m^\nu(0)=0; \quad m^\nu (\overline{W})=\nu, \quad (3)$

а среднее число всех рождений $m(W)$ при длительности брака $W$ равно:

$m(W)=\sum_{\nu=1}^k p_\nu m^\nu(W); \quad m(0)=0; \quad m(\overline{W})=\sum_{\nu=1}^k \nu p_\nu=m. \quad (4)$

Заметим, что $\frac{m(W)}{m(\overline{W})}$ - доля всех рождений, осуществившихся к длительности брака $W$, или доля поколения детей, воспроизведенного к этой длительности брака.

Итак, формулы $(1)-(4)$ определяют распределение всех семей и семей с фиксированным конечным числом рождений $\nu$ по числу рождений $j, \ j=0, \ldots, k$ при длительности брака $W, \ 0\leq W \leq \overline{W}$.

В предположении, что отсутствуют все случаи десткой смертности, число членов семьи равно $2+j$, поскольку рассматриваются только семьи, состоящие из детей и родителей. Поэтому формулы $(1)-(4)$ могут быть использованы для оценки распределения семей по числу членов в период "роста" семьи.

Формирование возрастной структуры поколения детей

Частная (маргинальная) плотность распределния момента $i$-го рождения, $i=1,\ldots,\nu$ (или момента перехода семьи в тип $03_i$), есть

$f^\nu(x_i)=\int_0^{\overline{W}} \ldots \int_0^{\overline{W}} f^\nu (x_1, \ldots x_\nu)dx_1 \ldots, dx_{i-1} dx_{i+1} \ldots dx_\nu, \quad (5)$

откуда частная функция распределения момента $i$-го рождения определяются как

$F_i^\nu(W)=P\{\omega_i^\rho \leq W / \nu\}= \int_0^W f^\nu (x_i)dx_i, (5a)$

то есть, $F_i^\nu(W)$ есть вероятность того, что $i$-ое рождение в семье с полным числом рождений $\nu$ произойдет не позже момента $W$.

Отсюда частная плотность моментов $i$-ых рождений $f(x_i)$ и их частная функция распределения $F_i(W)$ для всех семей, имеющих по крайней мере $i$ рождений, $i=1,\ldots,k$, есть

$f(x_i)=\frac{1}{d_i} \sum_{\nu=i}^k p_\nu f^\nu(x_i); \quad (6)$

$F_i(W)=\frac{1}{d_i} \sum_{\nu=i}^k p_\nu F_i (W), \quad (7)$

где $d_i=\sum_{\nu=i}^k p_\nu$ - вероятность того, что произвольно выбранная супружеская пара будет иметь по крайней мере $i$ рождений (или достигнет типа $03_i$).

Так как при $i=\nu \quad F_\nu^\nu(W)=P\{\omega_\nu^\rho \leq W / \nu\}$ это частная функция распределения момента $\omega_\nu^rho$ последнего, $\nu$-го рождения в семьях с фиксированным $\nu$, то функция распределения длины репродуктивного периода для всей рассматриваемой совокупности супружеских пар равна:

$F(W)=\sum_{\nu=1}^k F_\nu^\nu (W) p_\nu. \quad (7a)$

Теперь определим функции распределения моментов всех рождений в семьях с фиксированным $\nu$ и во всей рассматриваемой совокупности семей, $G^\nu(W)$ и $G(W)$.

Пусть $\omega^\rho$ - момент произвольно выбранного рождения из всего множества рождений, осуществившихся в исходной группе супружеских пар. Тогда $G^\nu(W)$ - функция распределения момента произвольно выбранного рождения из множества рождений, имевших место в семьях с фиксированным $\nu$, примет вид:

$G^\nu(W)=P\{\omega^\rho \leq W / \nu\}=\frac{1}{\nu}\sum _{i=1}^\nu F_i(W), \quad (8)$

где $\frac{1}{\nu}$ - вероятность того, что случайно выбранное рождение - это $i$-ое рождение, а $F_i^\nu(W)$ - определеннаяя выше частная функция распределения момента $i$-го рождения при фиксированном $\nu$.

Отсюда функция распределния момента $\omega^\rho$ произвольно выбранного рождения из всего множества рождений есть

$G(W)=P\{\omega^\rho \leq W, \ \nu \geq 1\} = \sum_{\nu=1}^k \frac{\nu p_\nu}{m} G^\nu(W) = \frac{1}{m} \sum_{\nu=1}^k \sum_{i=1}^k F_i^\nu (W) p_\nu = \sum_{i=1}^k\frac{d_i}{m} F_i(W), G(0)=0, \ G(\overline{W})=1, \quad (9)$

где $\frac{\nu p_\nu}{m}$ - вероятность того, что случайно выбранное рожджение осуществлялось в семье с фиксированным числом рождений $\nu$, а $\frac{d_i}{m}$ - вероятность того, что это $i$-ое рождение. Так как $G(W)$ - доля всех рождений, осуществившихся к моменту $W$, то это позволяет иначе определить среднее число рождений $m(W)$ в произвольно выбранной семье в момент $W$:

$m(W) = m G(W), \quad m(0)=0, \quad m(\overline{W})=m. \quad (10)$

Распределение по возрасту всех детей на конец репродуктивного периода $\overline{W}$ есть распределение длины интервалов $v=\overline{W}-\omega^\rho$ между моментом произвольно выбранного рождения $\omega^\rho$ и концом репродуктивного периода $\overline{W}$.

Очевидно, что

$P\{v \geq V\} = P\{\overline{W}-\omega^\rho \geq V\}= P\{\omega^\rho \leq \overline{W}-V\} = G(\overline{W}-V), \quad 0 \leq V \leq \overline{W}, \quad (11)$

Тогда функция распределения длины интервала $v$, то есть функция распределения по возрасту всей совокупности детей в момент $\overline{W}$, есть

$H(V)=P\{v < V\}=1-G(\overline{W}-V), \quad H(0)=0, \quad H(\overline{W})=1 \quad (12)$

Это позволяет определить возрастную структуру детей при любой фиксированной длительности брака $W, \ H_W(V)$.

Действительно, если $v_W=W-\omega^\rho$ - возраст в момент $W$ ребенка, родившегося при длительности брака $\omega^\rho$, то

$P\{v_W \geq V /\omega^\rho \leq W\}=P\{W-\omega^\rho \geq V /\omega^\rho \leq W\}=$

$=P\{\omega^\rho \leq W-V / \omega^\rho \leq W\}=\frac{G(W-V)}{G(W)}, \qquad 0 \leq V \leq W. \quad (13)$

Отсюда условная функция распределения по возрасту детей в момент $W$ есть

$H_W(V)=P\{v_W < V/\omega^\rho \leq W\}=1-\frac{G(W-V)}{G(W)}, \quad 0 \leq V \leq W \quad (14)$

Итак, в предположении, что для группы супружеских пар известны $\{p_\nu\}, \nu=1,\ldots,k$ - распределение по числу рождений и $f^\nu(x_1, \ldots, x_\nu)$ - плотности совместного распределения $\nu$ рождений по длительности брака, определены две группы показателей. Первая из них, представленная в формулах $(1)-(4)$, характеризует распределение семей по числу рождений при любой длительности брака $W$ в пределах репродуктивного периода $(0, \ \overline{W})$. Вторая, представленная в формулах $12$ и $14$, характеризует возрастной состав детей как на конец репродуктивного периода $\overline{W}$, так и при любой длительности брака $W, \ 0\leq W \leq \overline{W}$.

В настоящее время существует программа, позволяющая определять:

1. Распределение супружеских пар по числу рождений в зависимости от длительности брака;
2. Среднее число рождений (детей) в семье при фиксированной длительности брака;
3. Распределение детей по возрасту при каждой длительности брака родителей.

Исходная информация записывается в виде матрицы, число строк которой равно максимальному числу рождений, число столбцов - длине (числу лет) периода плодовитости. Строки матрицы - это распределния рождений данной очередности по длительности брака.

Помимо того, что такая программа, составленная по вышеописанным формулам, позволяет непосредственно переходить от данных о рождаемости к составу семей, она может быть использована для экспериментальных или прогнозных расчетов при тех или иных гипотезах об изменении режима брачной плодовитости. Изменение режима может проявляться как в изменении общего числа рождений, так и в изменении распределений рождений данной очередности по длительности брака.

Заключение

Исследования структуры семей и тенденций их формирования необходимы для разработки эффективной демографической политики, конкретных мероприятий, направленных на осуществление широкой программы социального строительства и повышения уровня жизни населения. Демографический состав семьи - родство членов семьи, их пол, возраст, брачное состояние, число членов семьи - оказывает влияние на объем и структуру доходов и потребления семьи, на ее потребность в жилплощади, на отношение к сфере бытового и культурно-массового обслуживания населения. Следовательно, прогноз таких важнейших показателей благосостояния, как средний размер и распределение семей по уровню душевого дохода, объем и структура товаров широкого потребления, развитие сферы услуг, системы дошкольных и школьных учебных заведений, должен опираться на прогноз численности и состава семей.